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第2课时 三角形全等的判定(ASA，AAS)
【知识梳理】
1.已知一个三角形的两角及夹边，利用尺规作图画出三角形可得：已知两角及它们的夹边的三角形形状唯一确定.
2.三角形全等的“ASA”判定方法：两角和它们的① 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”) .
【易错点】在应用“ASA”判定条件时，一定要注意“两角及夹边”的边角顺序.
3.三角形全等的“AAS”判定方法：两角分别相等且其中一组等角的② 相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
【易错点】在应用“角角边”判定条件时，一定要注意“两角及其中一组等角的对边”的边角顺序.
【核心母题】
核心母题1 利用“ASA”判定三角形全等
【例1】如图,点C在线段AE上,AB=CD, ∠B=∠D, ∠A=∠ECD. 求证: C是AE的中点.
【变式1】如图, CD⊥AB 于点 D, BE⊥AC于点E, AD=AE. 求证: AB=AC.
【变式2】如图, AB=AE, AB∥DE, ∠ECB=70°, ∠D=110°, 求证: △ABC≌△EAD.
核心母题2 利用“AAS”判定三角形全等
【例2】如图, ∠C=∠D=90°, ∠CBA=∠DAB.
(1) 求证: △ABC≌△BAD;
(2) 若∠DAB=70°, 则∠CAB= °.
【变式1】如图, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°, AB=CA, 分别过点B, C作过点A的直线的垂线BD, CE, 垂足分别为D, E. 若BD=6, CE=2, 求DE的长.
【变式2】如图, 锐角△ABC的高AD,BE交于点 F, 且BF=AC.
(1) 求证: DF=DC;
(2) 若 BC=9, CD=3, 求S△ABF.
【变式3】如图，已知AD 是△ABC的中线，过点C，B分别作AD的垂线，垂足分别为F，E.
(1) 求证: CF=BE;
(2) 若△ACF的面积为28, △CFD的面积为12, 求△ABE的面积.
【方法总结】证三角形全等寻找等角的方法：
1.公共角相等、对顶角相等、直角相等.
2.等角加(减)等角，其和(差)相等.
3.同角或等角的余(补)角相等.
4.根据角平分线、平行线得角相等.
第2课时 三角形全等的判定(ASA，AAS)
【知识梳理】
1.已知一个三角形的两角及夹边，利用尺规作图画出三角形可得：已知两角及它们的夹边的三角形形状唯一确定.
2.三角形全等的“ASA”判定方法：两角和它们的① 夹边 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
【易错点】在应用“ASA”判定条件时，一定要注意“两角及夹边”的边角顺序.
3.三角形全等的“AAS”判定方法：两角分别相等且其中一组等角的② 对边 相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
【易错点】在应用“角角边”判定条件时，一定要注意“两角及其中一组等角的对边”的边角顺序.
【核心母题】
核心母题1 利用“ASA”判定三角形全等
【例1】如图, 点C在线段AE上,AB=CD, ∠B=∠D, ∠A=∠ECD. 求证: C是AE的中点.
证明: ∵AB=CD, ∠B=∠D, ∠A=∠ECD∴△ABC≌△CDE (ASA).
∴AC=CE, ∴C是AE的中点.
【变式1】如图, CD⊥AB于点 D,BE⊥AC于点E, AD=AE. 求证: AB=AC.
解: ∵CD⊥AB, BE⊥AC, ∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(ASA),
∴AB=AC.
【变式2】如图, AB=AE, AB∥DE, ∠ECB=70°, ∠D=110°, 求证: △ABC≌△EAD.
证明: 由∠ECB=70°, 得∠CAB+∠B=70°.
又∵∠D=110°, ∴∠ACB=∠D, ∵AB∥DE, ∴∠D+∠DAB=180°.
∵∠D=110°, ∴∠DAB=70°, ∴∠CAB+∠DAE=70°, ∴∠B=∠DAE.
在△ABC和△EAD中, ∴△ABC≌△EAD (ASA).
核心母题2 利用“AAS”判定三角形全等
【例2】如图, ∠C=∠D=90°, ∠CBA=∠DAB.
(1) 求证: △ABC≌△BAD;
(2) 若∠DAB=70°, 则∠CAB= 20 °.
解: (1) ∵∠C=∠D=90°, ∠CBA=∠DAB.AB=BA∴△ABC≌△BAD(AAS)
【变式1】如图, 在 Rt△ABC中, ∠BAC=90°,AB=CA, 分别过点B, C作过点A 的直线的垂线BD, CE, 垂足分别为D, E. 若BD=6, CE=2, 求DE的长.
解: ∵BD⊥DE, CE⊥DE, ∴∠D=∠E=90°=∠BAC,
∴∠ABD+∠BAD=90°, ∠CAE+∠BAD=90°, ∴∠ABD=∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(AAS).
∴BD=AE=6, AD=CE=2, ∴DE=AD+AE=8.
【变式2】如图,锐角△ABC的高AD,BE交于点F, 且BF=AC.
(1) 求证: DF=DC;
(2) 若BC=9, CD=3, 求S△ABF.
解: (1) ∵AD⊥BC, BE⊥AC, ∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°,∴∠EBC+∠C=90°, ∠DAC+∠C=90°, ∴∠EBC=∠DAC.
∴△CAD ≌△FBD
(2)由(1)得DF=DC=3, BD=AD.
∵BC=9, ∴AD=BD=BC-CD=6, ∴AF=AD-FD=6-3=3,
【变式3】如图，已知AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD的垂线，垂足分别为F，E.
(1) 求证: CF=BE;
(2) 若△ACF的面积为28, △CFD的面积为12, 求△ABE的面积.
(1)证明: ∵CF⊥AD, BE⊥AD, ∴∠CFD=∠BED=90°,∵AD 是△ABC的中线, ∴BD=CD.
∴△CPD≌△BED(AAS).
∴CF=BE.
(2)解:
∵BD=CD, ∴S△ABD=S△ACD=40, 由 (1) 得: △CFD≌△BED,
【方法总结】证三角形全等寻找等角的方法：
1.公共角相等、对顶角相等、直角相等.
2.等角加(减)等角，其和(差)相等.
3.同角或等角的余(补)角相等.
4.根据角平分线、平行线得角相等.

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