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14.2三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定(SAS)
【知识梳理】
1.三角形全等的判定：
(1)如果两个三角形满足三条边分别相等，三个角分别相等，那么它们全等；
(2)如果两个三角形满足三边三角六个条件中的一个或两个对应相等，那么不能保证这两个三角形全等；
(3)两个三角形全等至少需要三个条件对应相等.
2.已知一个三角形的两边及其夹角，利用尺规作图画出三角形可得：已知两边及其夹角的三角形形状① .
3.三角形全等的“SAS”判定方法：两边和它们的② 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”) .
【温馨提醒】此法包含“边”和“角”两种元素，是两边夹一角而不是两边及一边的对角对应相等，一定要注意元素的③ .
【易错点】易和边边角 (SSA)相混淆，误将“SAS”写成“SSA”来证明两个三角形全等.一定要按“边→角→边”的顺序排列，不能出现“边→边→角”的错误.
【核心母题】
核心母题1 利用“SAS”判定证明边角关系①——直接证明
【例1】如图, AB是∠CAD的平分线,AC=AD, 求证: ∠C=∠D.
【变式】如图, 点C是线段AB的中点,AD=BE, ∠A=∠B. 求证: ∠D=∠E.
核心母题2 利用“SAS”判定证明边角关系②——先导线段再证明
【例2】如图, 点A, B, C, D在一条直线上, EA∥FB, EA=FB,AB=CD. 求证: ∠E=∠F.
【变式】如图,点A,C,E,F在同一条直线上,CD=AB,∠C=∠A,CE=AF.求证:△CDF≌△ABE.
核心母题3 利用“SAS”判定证明边角关系③——先导角再证明
【例3】(教材 改编)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2. 求证: BC=DE.
【变式】(2025武汉二中月考)如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C，D，E三点在同一条直线上，连接BD.
(1) 求证: △BAD≌△CAE;
(2)试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明.
【方法总结】应用“SAS”证明两个三角形全等的“两点提示”：
(1)对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要提示元素的“对应”关系.
(2)顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等.
核心母题4 利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
【例4】如图，数学活动课上，小勤用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度, 已知OA=OD, OB=OC,AB=8cm,EF=10cm, 则该容器壁的厚度为 cm.
核心母题5 利用“SAS”构造全等三角形
【例5】在3×4的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，已知A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺作图：
(1) 在图1中, 画△ABC的高CD;
(2) 在图2中,在线段AC上求作一点 P, 使得∠PBC=∠BAC.
14.2三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定(SAS)
【知识梳理】
1.三角形全等的判定：
(1)如果两个三角形满足三条边分别相等，三个角分别相等，那么它们全等；
(2)如果两个三角形满足三边三角六个条件中的一个或两个对应相等，那么不能保证这两个三角形全等；
(3)两个三角形全等至少需要三个条件对应相等.
2.已知一个三角形的两边及其夹角，利用尺规作图画出三角形可得：已知两边及其夹角的三角形形状① 唯一确定 .
3.三角形全等的“SAS”判定方法：两边和它们的② 夹角 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”) .
【温馨提醒】此法包含“边”和“角”两种元素，是两边夹一角而不是两边及一边的对角对应相等，一定要注意元素的③ 对应关系 .
【易错点】易和边边角(SSA)相混淆，误将“SAS”写成“SSA”来证明两个三角形全等.一定要按“边→角→边”的顺序排列，不能出现“边→边→角”的错误.
【核心母题】
核心母题1 利用“SAS”判定证明边角关系①——直接证明
【例1】如图,AB是∠CAD的平分线,AC=AD, 求证: ∠C=∠D.
证明: ∵AB是∠CAD的平分线, ∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC 和△ABD中,LCAB,∴△ABC≌△AED (SAS),∴∠C=∠D.
【变式】如图, 点C是线段AB的中点,AD=BE, ∠A=∠B. 求证: ∠D=∠E.
证明: ∵点C是线段AB的中点, ∴AC=BC.
在△ACD和△BCE中,(2)4.45=0,∴△ACD≌△ACE(SAS).∴∠D=∠E.
核心母题2 利用“SAS”判定证明边角关系②——先导线段再证明
【例2】如图, 点A, B, C, D在一条直线上, EA∥FB, EA=FB, AB=CD. 求证: ∠E=∠F.
证明: ∵EF∥FB, ∴∠A=∠DBF, ∵AB=CD, ∴AB+BC=CD+BC, 即AC=BD.
在△ACE和△BDF中, ∴△ACE≌△BDF (SAS),
∴∠E=∠F.
【变式】如图,点A,C,E,F在同一条直线上,CD=AB,∠C=∠A,CE=AF.求证:△CDF≌△ABE.证明: ∵CE=AF, ∴CE-EF=AF-EF, 即 CF=AE.
在△CDF和△ABE中, ∴△CDF≌△ABE (SAS).
核心母题3 利用“SAS”判定证明边角关系③——先导角再证明
【例3】(教材P T 改编)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2.求证:BC=DE.
证明：∵∠1=∠2, ∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD, 即∠BAC=∠DAE.
在△ABC 和△ADE中,14420LDAE,∴△ABC=△DDE(SAS).
∴BC=DE.
【变式】(2025武汉二中月考)如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C，D，E三点在同一条直线上，连接BD.
(1) 求证: △BAD≌△CAE;
(2)试猜想 BD，CE有何特殊位置关系，并证明.
证明:(1) ∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,ABACCCAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2) BD⊥CE. 由 (1) 得△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE.
令BD, AC交于点O, 则∠BOC=∠BAC+∠ABD=∠BDC+∠ACE,
∴∠BAC=∠BDC=90°, ∴BD⊥CE.
【方法总结】应用“SAS”证明两个三角形全等的“两点提示”：
(1)对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要提示元素的“对应”关系.
(2)顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等.
核心母题4 利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
【例4】如图，数学活动课上，小勤用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度, 已知OA=OD, OB=OC,AB=8cm,EF=10cm, 则该容器壁的厚度为 1 cm.
核心母题5 利用“SAS”构造全等三角形
【例5】在3×4的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，已知A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺作图：
(1) 在图1中, 画△ABC的高CD;
(2) 在图2中,在线段AC上求作一点 P,使得∠PBC=∠BAC.
解：如图所示.

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