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14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
【知识梳理】
1.尺规作图作角的平分线：先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离 .
【核心母题】
核心母题 l 尺规作图作已知角的平分线
【例1】如图, 已知△ABC, 点D在△ABC的AB边上, 且∠ACD=∠A.
(1)尺规作图：作∠BDC的平分线DE，交BC于点E (保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由.
【变式】如图,在△ABC中,∠C=90°,利用直尺和圆规作∠ABC的平分线, 交AC于点D (保留作图痕迹).
核心母题2 角的平分线的性质
【例2】如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F. 求证: PE=PF.
【变式1】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E, DE=2,AB=5. 求AC的长.
【变式2】如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AO, BO是两内角的平分线,OD⊥AB于点 D,求OD 的长.
核心母题3 角的平分线与对称型全等①——截长补短
【例3】如图, 在△ABC中, ∠A=100°, ∠ABC=40°,BD是△ABC的角平分线, 延长BD至点E,使DE=AD, 连接EC. 求证: BC=AB+CE.
【变式】如图, AD∥BC, E是CD上一点, 且∠1=∠2, ∠3=∠4. 求证: AB=AD+BC.
核心母题4 角的平分线与对称型全等②——延长处理 (角平分线+垂直)
【例4】如图,在 Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠BAC的角平分线AD交BC于点D, 交∠ABC的角平分线于点 E.
(1) 求∠BED 的度数;
(2) 过点E作EF⊥AE, 交AC于点 F, 求证: AF+BD=AB.
第2课时 角的平分线的判定
【知识梳理】
1.角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在① .
2.三角形的角的平分线的性质：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且该点到三边的距离② .
【核心母题】
核心母题1角的平分线的判定
【例1】如图, PC⊥OA于点C, PD⊥OB于点D, PC=PD. 求证: ∠COP=∠DOP.
【变式】如图, 已知BE⊥AC于点E, CF⊥AB于点F,BE, CF相交于点D,BD=CD. 求证: AD平分∠BAC.
核心母题2作垂构造垂线，角平分线的性质与判定综合应用
【例2】如图, 已知∠ADC+∠ABC=180°, DC=BC. 求证: 点C在∠DAB的平分线上.
【变式】(教材P T 改编) 如图, ∠B=∠C=90°, E是BC的中点, DE平分∠ADC.
(1) 求证: AE 是∠DAB 的平分线;
(2) 若AE=4, DE=3, 求四边形ABCD的面积.
核心母题3 三角形三条角平分线的交点
【例3】(教材 练习 变式)如图,BP,CP 都是△ABC的外角平分线,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点 N. 求证: AP平分∠MAN.
【变式】如图, 在△ABC中, ∠ABC=50°, ∠ACB=60°, 点E在BC的延长线上, ∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线 CD相交于点 D,连接AD. 求∠CAD的度数.
核心母题4 作垂构造全等或利用面积法判定角平分线
【例4】如图, 已知C为射线AD上一点, ∠DAP=∠PBC, PA=PB. 求证: CP平分∠DCB.
【变式】如图, CA=CB, CD=CE, ∠ACB=∠DCE, AD, BE交于点H, 连接CH.
求证:(1) △ACD≌△BCE;(2) HC平分∠AHE.
14.3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
【知识梳理】
1.尺规作图作角的平分线：先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离 相等 .
【核心母题】
核心母题1 尺规作图作已知角的平分线
【例1】如图, 已知△ABC, 点D在△ABC的AB边上, 且∠ACD=∠A.
(1)尺规作图：作∠BDC的平分线DE，交BC于点E (保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由.
解：(1)如图，射线DE 即为所求作.
(2) DE∥AC. 理由如下: ∵DE平分∠BDC, ∴∠BDE=∠CDE.
而∠BDC=∠A+∠ACD, 即∠BDE+∠CDE=∠A+∠ACD.
∵∠ACD=∠A, ∠BDE=∠CDE, ∴∠BDE=∠A, ∴DE∥AC.
【变式】如图,在△ABC中, ∠C=90°,利用直尺和圆规作∠ABC的平分线,交AC于点D(保留作图痕迹).
解:∠ABC 的平分线 BD 如图所示.
A
核心母题2 角的平分线的性质
【例2】如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F. 求证: PE=PF.
证明: ∵OC是∠AOB的平分线, ∴∠POE=∠POF.
∵PE⊥OA, PF⊥OB, ∴∠PEO=∠PFO=90°.
∴△POE≌△POF (AAS).∴PE=PF.
【变式1】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E, DE=2,AB=5. 求AC的长.
解: 过点 D 作DF⊥AC, 垂足为 F.
∵AD平分∠BAC, DE⊥AB, ∴DF=DE=2,
∴AC=4.
【变式2】如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AO, BO是两内角的平分线,OD⊥AB于点 D,求OD 的长.
解: 过点 O作OE⊥AC于点 E,OF⊥BC于点 F, 连OC,
∵AO平分∠BAC, BO平分∠ABC, ∴OD=OE=OF.
∴OD=2.
核心母题3 角的平分线与对称型全等①——截长补短
【例3】如图,在△ABC中, ∠A=100°, ∠ABC=40°,BD 是△ABC的角平分线, 延长BD至点E,使DE=AD, 连接EC. 求证: BC=AB+CE.
解: 在BC上截取 BM=BA,连接DM, ∵BD平分∠ABC,
易证△ABD≌△MBD (SAS),
∴DA=DM, ∠ADB=∠BDM=180°-∠A-∠ABD=60°,
∴∠EDC=∠ADB=60°, ∠MDC=60°, ∴∠EDC=∠MDC.
∵DE=AD, ∴DE=DM, 易证△EDC≌△MDC (SAS),
∴EC=MC, ∴BC=BM+MC=AB+EC.
【变式】如图, AD∥BC, E是CD上一点, 且∠1=∠2, ∠3=∠4. 求证: AB=AD+BC.
解: 在AB上截取AF=AD, 连接EF, 易证△ADE≌△AFE(SAS), ∴∠D=∠AFE.
∵AD∥BC, ∴∠D+∠C=180°.
∵∠AFE+∠BFE=180°, ∴∠C=∠BFE,
易证△BEF≌△BEC (AAS),
∴BF=BC, ∴AB=AF+BF=AD+BC.
核心母题4 角的平分线与对称型全等②——延长处理 (角平分线+垂直)
【例4】如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,交∠ABC的角平分线于点 E.
(1) 求∠BED的度数;
(2) 过点E作EF⊥AE, 交AC于点F, 求证: AF+BD=AB.
解: (1) ∵∠C=90°, ∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵AE平分∠CAB, BE平分∠ABC,
(2) 延长FE交AB 于点 M, ∵EF⊥AE, ∴∠AEF=∠AEM=∠DEM=90°.
∵∠DEB=45°, ∴∠BEM=∠BED=45°, 易证△AEF≌△AEM(ASA), ∴AF=AM,易证△BDE≌△BME (ASA), ∴BD=BM.
第2课时 角的平分线的判定
【知识梳理】
1.角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在① 角的平分线上 .
2.三角形的角的平分线的性质：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且该点到三边的距离② 相等 .
【核心母题】
核心母题1 角的平分线的判定
【例1】如图,PC⊥OA于点C, PD⊥OB于点D, PC=PD. 求证: ∠COP=∠DOP.
证明: ∵PC⊥OA, PD⊥OB, ∴∠OCP=∠ODP=90°.
在Rt△OCP和Rt△ODP中, ∴Rt△OCP≌Rt△ODP (HL),
∴∠COP=∠DOP.
【变式】如图, 已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB 于点F,BE,CF 相交于点D,BD=CD. 求证: AD平分∠BAC.
证明: ∵BE⊥AC, CF⊥AB, ∴∠BFD=∠CED=90°.
在△DFB和△DEC 中、(CADFECCOE、∴△DFB≌△DEC(AAS).
∴DE=DF. 又∵DE⊥AC, DF⊥AB, ∴AD平分∠BAC.
核心母题2 作垂构造垂线，角平分线的性质与判定综合应用
【例2】如图, 已知∠ADC+∠ABC=180°, DC=BC. 求证: 点C在∠DAB的平分线上.
证明: 作CE⊥AB, CF⊥AD, 垂足分别为 E, F, ∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵∠ADC+∠ABC=180°, ∠ADC+∠CDF=180°, ∴∠ABC=∠CDF.
∴△CBE≌△CDF(AAS).
∴EC=FC, ∴点 C 在∠DAB 的平分线上.
【变式】(教材P T 改编) 如图, ∠B=∠C=90°, E是BC的中点, DE平分∠ADC.
(1) 求证: AE 是∠DAB的平分线;
(2) 若AE=4, DE=3, 求四边形ABCD的面积.
解:(1) 过点E作EF⊥AD 于点 F, ∵DE平分∠ADC, EC⊥DC, EF⊥DA, ∴EC=EF.
∵E是BC的中点, ∴EC=EB=EF. ∵EF⊥AD,EB⊥AB, ∴AE 是∠DAB的平分线.
(2)在 Rt△CDE 和 Rt△FDE 中, ∴Rt△CDE≌Rt△FDE (HL),
∴∠CED=∠FED, 同理可证Rt△AEB≌Rt△AEF(H L) ,
∴∠AEB=∠AEF,
核心母题3 三角形三条角平分线的交点
【例3】(教材P 练习T 变式)如图,BP,CP都是△ABC的外角平分线,PM⊥AB于点 M,PN⊥AC于点 N. 求证: AP 平分∠MAN.
证明: 过点 P作 PF⊥BC于点 F,
∵BP, CP分别平分∠CBM, ∠BCN, PM⊥AB, PN⊥AC,
∴PM=PF, PN=PF, ∴PM=PN, ∴AP平分∠MAN.
【变式】如图,在△ABC中, ∠ABC=50°, ∠ACB=60°,点E在BC的延长线上, ∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD. 求∠CAD的度数.
解: 过点 D作DF⊥AC于点 F,DM⊥BA 于点 M,DN⊥BC于点 N,
∵BD, CD分别平分∠ABC, ∠ACE, ∴DM=DN, DF=DN,
∴DM=DF, ∴AD平分∠CAM.
∵∠CAM=∠ABC+∠ACB=110°,
核心母题4 作垂构造全等或利用面积法判定角平分线
【例4】如图, 已知C为射线AD上一点, ∠DAP=∠PBC,PA=PB. 求证: CP平分∠DCB.
解: 过点 P作 PF⊥AD 于点 F, PE⊥BC于点E,
在△PAF和△PBE中,
∴△PAF≌△PBE (AAS), ∴PF=PE.
∵PF⊥AD, PE⊥BC, ∴CP平分∠DCB.
【变式】如图, CA=CB, CD=CE, ∠ACB=∠DCE, AD, BE交于点H, 连接CH.
求证:(1) △ACD≌△BCE; (2) HC平分∠AHE.
证明: (1) ∵∠ACB=∠DCE, ∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD 和△BCE中,CACDE∠BCE, ∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)过点C作CM⊥AD于点 M, CN⊥BE于点 N,
∵△ACD≌△BCE, ∴∠CAM=∠CBN,
在△ACM和△BCN中,
∴△ACM≌△BCN (AAS), ∴CM=CN.
又 CM⊥AH, CN⊥HE, ∴HC平分∠AHE.

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