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第5课时 直角三角形全等的判定(HL)
【知识梳理】
1.已知一直角边长和斜边长，尺规作图画出直角三角形可得：已知一直角边长和斜边长的直角三角形形状唯一确定.
2.直角三角形全等的“HL”判定方法：斜边和① 分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
【注意】由于直角三角形是特殊的三角形，它不仅具有一般三角形的性质，而且还具有一般三角形所不具备的性质，因而不仅可用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”来判定直角三角形全等，还可用它自己所特有的方法② 来判定.
【核心母题】
核心母题1 利用“HL”判定三角形全等
【例1】(教材 )如图, 在△ABC中, AB=AC, AD是高. 求证: BD=CD, ∠BAD=∠CAD.
【变式】如图, 点A, B, C, D在同一条直线上, EA⊥AD, FD⊥AD, AB=DC, BF=CE.求证: ∠ACE=∠DBF.
【方法总结】用“HL”定理时，首先要判定三角形为直角三角形，然后用直角三角形全等条件“HL”来证明这两个直角三角形全等.
核心母题2 直角三角形全等判定方法的选用
【例2】如图,在△ABC中,D是AB的中点,DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N,且DM=DN. 求证: AC=BC.
【变式1】(一题多问) 如图, 已知∠ABC=∠DEF=90°, AB=DE, 要判定△ABC≌△DEF.
(1)若以“SAS”为依据，还需添加一个条件为 ；
(2)若以“ASA”为依据，还需添加一个条件为 ；
(3)若以“AAS”为依据，还需添加一个条件为 ；
(4)若以“HL”为依据，还需添加一个条件为 .
【变式2】如图, DE⊥AB 于点 E, DF⊥AC于点F, 若BD=CD, BE=CF.
(1) 求证: △ADE≌△ADF;
(2) 已知AC=18, AB=12, 求BE 的长.
核心母题3 连线构造全等
【例3】如图, ∠C=∠D=90°, BC与AD交于点E, AD=BC. 求证: AC=BD.
【变式】(1) 问题背景: 如图1, 已知∠ADB=∠AEC=90°, AD=AE, AB=AC. 求证: EC=DB.
(2)变式运用: 如图2, AD=AE, AC=AB, ∠D=∠AEC=90°, 点E在线段AB 上, CE的延长线交 BD于点 F. 求证: CF=DF+DB.
第5课时 直角三角形全等的判定(HL)
【知识梳理】
1.已知一直角边长和斜边长，尺规作图画出直角三角形可得：已知一直角边长和斜边长的直角三角形形状唯一确定.
2.直角三角形全等的“HL”判定方法：斜边和① 一直角边 分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
【注意】由于直角三角形是特殊的三角形，它不仅具有一般三角形的性质，而且还具有一般三角形所不具备的性质，因而不仅可用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”来判定直角三角形全等，还可用它自己所特有的方法②斜边，直角边 (或HL)来判定.
【核心母题】
核心母题1 利用“HL”判定三角形全等
【例1】(教材P T ) 如图, 在△ABC中, AB=AC, AD是高. 求证: BD=CD, ∠BAD=∠CAD.
证明: ∵AD是高, ∴∠ADB=∠ADC=90°.
在 Rt△ADB和Rt△ADC 中 ∴Rt△ADB≌Rt△ADC (HL),∴BD=CD, ∴∠BAD=∠CAD.
【变式】如图, 点A,B, C, D在同一条直线上,EA⊥AD, FD⊥AD, AB=DC, BF=CE.求证: ∠ACE=∠DBF.
证明: ∵EA⊥AD, FD⊥AD, ∴∠A=∠D=90°.
∵AB=DC, ∴AB+BC=DC+BC, 即 AC=DB.
在Rt△ACE和 Rt△DBF 中, ∴Rt△ACE≌Rt△DBF (HL),
∴∠ACE=∠DBF.
【方法总结】用“HL”定理时，首先要判定三角形为直角三角形，然后用直角三角形全等条件“HL”来证明这两个直角三角形全等.
核心母题2 直角三角形全等判定方法的选用
【例2】如图,在△ABC中,D是AB的中点,DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点 N,且DM=DN. 求证: AC=BC.
证明: 连接CD, ∵DM⊥AC, DN⊥BC, ∴∠AMD=∠BND=90°.
∵D为AB的中点, ∴AD=BD.
在Rt△DAM和Rt△DBN中,
∴Rt△DAM≌Rt△DBN (HL), ∴AM=BN,
同理可证 Rt△CDM≌Rt△CDN (HL), ∴CM=CN,
∴AM+CM=BN+CN, ∴AC=BC.
【变式1】(一题多问)如图, 已知∠ABC=∠DEF=90°,AB=DE, 要判定△ABC≌△DEF.
(1) 若以“SAS”为依据,还需添加一个条件为 BC=EF或BE=CF ;
(2) 若以“ASA”为依据,还需添加一个条件为 ∠A=∠D ;
(3)若以“AAS”为依据，还需添加一个条件为 ∠F或AC∥DF ;
(4) 若以“HL”为依据,还需添加一个条件为 AC=DF .
【变式2】如图,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, 若BD=CD, BE=CF.
(1) 求证: △ADE≌△ADF;
(2) 已知AC=18, AB=12, 求BE的长.
(1) 证明: ∵DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点 F, ∴∠E=∠DFC=∠DFA=90°.在Rt△EBD与Rt△FCD中, ∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴DE=DF.
在Rt△AED与 Rt△AFD 中, ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
(2)解: ∵Rt△AED≌Rt△AFD, ∴AE=AF,∴AB+BE=AC-CF.
∵BE=CF, ∴12+BE=18-BE, ∴BE=3.
核心母题3 连线构造全等
【例3】如图, ∠C=∠D=90°, BC与AD交于点E, AD=BC. 求证: AC=BD.
证明：连接AB，在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL), ∴AC=BD.
【变式】(1) 问题背景: 如图1, 已知∠ADB=∠AEC=90°, AD=AE, AB=AC. 求证: EC=DB.
(2)变式运用: 如图2, AD=AE,AC=AB, ∠D=∠AEC=90°, 点E在线段AB 上, CE 的延长线交 BD 于点 F. 求证: CF=DF+DB.
解: (1) 在 Rt△AEC和Rt△ADB中,
∴Rt△AEC≌Rt△ADB (HL), ∴EC=BD.
(2) 连接AF, 在 Rt△AEC和Rt△ADB中,
∴Rt△AEC≌Rt△ADB (HL), ∴EC=BD.
∵∠AEC=90°, ∴∠AEF=90°, ∴∠AEF=∠D=90°.
在Rt△ADF和Rt△AEF中, ∴Rt△ADF≌Rt△AEF (HL),
∴DF=EF, ∴CF=EF+CE=DF+DB.

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