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第4课时 尺规作角及其应用
【知识梳理】
1.基本的尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角.
2.基本的尺规作图的应用：①利用基本的尺规作图作平行线；②利用基本的尺规作图作三角形.
【核心母题】
核心母题 1 基本常用的尺规作图
【例1】如图, 已知∠AOB和∠α. 请用尺规在∠AOB 内部作∠AOC, 使得∠AOC=∠α.
【变式】如图，∠ABC=90°，∠ABC内部有一射线BD，利用直尺和圆规作图.在 BC左侧作出射线BE, 使得∠DBE=90°.(要求: 保留作图痕迹, 不写作法)
核心母题2 利用基本的尺规作图作平行线
【例2】用尺规作图作平行线的方法：
已知：直线AB 及直线AB 外一点 P.
求作: 经过点 P 的直线CD, 使得CD∥AB.
尺规作图步骤：
如图，①过点 P 作直线AB的相交线，与直线AB交于点 H；
②以点H为圆心，任意长为半径画弧，交直线HP 于点E，交直线AB于点 F；
③以点 P 为圆心，以线段 HF 长为半径画弧，交射线 HP 于点 M；
④以点 M 为圆心，以线段 EF长为半径画弧交前弧于点 N；
⑤过点 P,N作直线 CD.
(1)在上述作图步骤中通过 (填写合适的选项)可判定△PMN≌△HEF，从而可得到∠MPN=∠EHF.
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
(2)在上述作图步骤中用到的判定CD∥AB的依据是 .
【变式】利用直尺和圆规按下列要求作图.
(1) 如图1,P是∠AOB 的边OA上的一点, 过点P 作OB 的平行线;
(2) 如图2, 过△ABC的顶点 C作AB 的平行线;
(3)如图3，过直线AB外的一点 M作AB的平行线.
核心母题3 利用基本的尺规作图作三角形
【例3】如图，已知线段a，b和∠α，∠β.利用直尺和圆规分别作出符合下列条件的三角形.
(1) 作△ABC, 使AB=a, ∠A=∠αα, Ab;
(2) 作△DEF, 使∠DEF=∠α, EF=b,DFE=∠β.
【变式】如图, 已知△ABC, 点 D 在边BC上.
(1) 尺规作图: 求作△DEF,使△DEF≌△BCA, 并满足点E在线段BC的延长线上, DF∥AB;(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 根据(1) 中的作图痕迹, 说明△DEF≌△ABC的理由.
核心母题4 利用基本的尺规作图和转化思想作等角和倍角
【例4】如图，已知△ABC，利用直尺和圆规按下列要求作图.
(1) 在图1中, 在BC上作点D, 使∠ADB=2∠C;
(2) 在图2中, 在BC上作点E, 使∠AEC=∠BAC.
第4课时 尺规作角及其应用
【知识梳理】
1.基本的尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角.
2.基本的尺规作图的应用：①利用基本的尺规作图作平行线；②利用基本的尺规作图作三角形.
【核心母题】
核心母题 1 基本常用的尺规作图
【例1】如图, 已知∠AOB和∠α. 请用尺规在∠AOB 内部作∠AOC, 使得∠AOC=∠α.
解：如图，先在∠α以点E作圆心，
任意长为半径作弧交∠α的两边分别为点 F，G；
再以点O为圆心，以EF长为半径画弧，交OA 于点H，
然后以点H为圆心，以FG长为半径画弧，
与上一步作的弧相交于点C，作射线OC，则∠AOC为所求作的角.
【变式】如图，∠ABC=90°，∠ABC内部有一射线BD，利用直尺和圆规作图.在BC左侧作出射线BE, 使得∠DBE=90°.(要求: 保留作图痕迹, 不写作法)
解：如图所示.
核心母题2 利用基本的尺规作图作平行线
【例2】用尺规作图作平行线的方法：
已知：直线AB及直线AB 外一点 P.
求作: 经过点 P 的直线CD,使得CD∥AB.
尺规作图步骤：
如图，①过点 P 作直线AB的相交线，与直线AB 交于点 H；
②以点H为圆心，任意长为半径画弧，交直线HP于点 E，交直线AB于点 F；
③以点 P 为圆心，以线段HF长为半径画弧，交射线 HP 于点 M；
④以点 M为圆心，以线段EF长为半径画弧交前弧于点 N；
⑤过点 P,N作直线 CD.
(1)在上述作图步骤中通过 A (填写合适的选项)可判定△PMN≌△HEF，从而可得到∠MPN=∠EHF.
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
(2)在上述作图步骤中用到的判定CD∥AB的依据是 同位角相等，两直线平行 .
【变式】利用直尺和圆规按下列要求作图.
(1) 如图1, P是∠AOB 的边OA上的一点, 过点P作OB 的平行线;
(2) 如图2,过△ABC的顶点C作AB的平行线;
(3)如图3，过直线AB外的一点 M作AB的平行线.
解: (1) 如图1所示;
(2)如图2所示;
(3)如图3所示.
核心母题3 利用基本的尺规作图作三角形
【例3】如图，已知线段a，b和∠α，∠β.利用直尺和圆规分别作出符合下列条件的三角形.
(1) 作△ABC, 使AB=a, ∠A=∠α, AC=b;
(2) 作△DEF, 使∠DEF=∠α, EF=b, ∠DFE=∠β.
【变式】如图, 已知△ABC, 点D 在边BC上.
(1) 尺规作图: 求作△DEF,使△DEF≌△△BCA,并满足点E 在线段 BC的延长线上,DF∥AB;(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 根据(1) 中的作图痕迹, 说明△DEF≌△ABC 的理由.
解：(1)如图，△DEF即为所求作的三角形.
(2)根据作图, 得DF=AB,∠FDE=∠B, DE=BC, ∴△DEF≌△BCA(SAS).
核心母题4 利用基本的尺规作图和转化思想作等角和倍角
【例4】如图，已知△ABC，利用直尺和圆规按下列要求作图.
(1) 在图1中, 在BC上作点D, 使∠ADB=2∠C;
(2) 在图2中, 在BC上作点E, 使∠AEC=∠BAC.
解: (1) 如图1所示;
(2)如图2所示.

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