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13.2 与三角形有关的线段
第1课时 三角形的边
【知识梳理】
1.三角形的三边关系：三角形两边的和① 第三边；三角形两边的差② 第三边.【温馨提醒】通过三角形的三边关系可判断三条线段能否构成三角形.
2.三角形的稳定性：三角形是具有③ 性的图形.
【核心母题】
核心母题 1 三角形的三边关系①——直接应用三边关系
【例1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是( )
A. 3, 5, 9 B. 4, 6, 12 C. 5, 6, 8 D. 2, 2, 4
【变式】已知三角形的两边长度分别是3和6，第三条边的长度是一个奇数，则第三边长度可能是( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
核心母题2 三角形的三边关系②——参数范围与化简
【例2】已知a, b, c是△ABC的三边,且a=3, b=7.
(1)求c的取值范围；
(2)若c为偶数，求△ABC周长的最大值.
【变式】(1)已知a, b, c是△ABC的三边长,化简: |b-c-a|+|a-b+c|-|a-b-c|的结果是 ;
(2)已知△ABC的三边长分别为3, 5, a,化简: |a-2|+|a-8|.
核心母题3 三角形的三边关系③——分类讨论
【例3】(教材P 习题T 变式)长为9，6，4，3的四根木条，选其中三根组成三角形，选法共有( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【变式】若五条线段的长分别是1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，则以其中三条线段为边可围成 个三角形.
【例4】(1)若等腰三角形的一边长为4，一边长为8，则其周长为 ；
(2)已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长.
【变式】用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一条边长为8cm的等腰三角形吗 为什么
核心母题4 三角形的稳定性
【例5】(1)在上网课时把平板放在三角形支架上，用到的数学道理是( )
A.三角形的稳定性 B.对顶角相等
C.垂线段最短 D.两点之间，线段最短
(2)如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是( )
A.两点确定一条直线 B.垂线段最短
C.两点之间线段最短 D.三角形具有稳定性
【变式】(1)如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学道理是( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间，线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
(2)下列图形中，不具有稳定性的是( )
第2课时 三角形的中线、角平分线、高
【知识梳理】
1.三角形的中线、角平分线和高的概念
(1)中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线.
(2)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
(3)高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.
【温馨提醒】三角形的高、中线与角平分线均指① ，而垂线是② ，角平分线是③ .
2.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
3.三角形的面积公式： (a是三角形的边，h是这条边上的高).三角形一边上的中线把三角形的面积两等分.
【核心母题】
核心母题 1 三角形的中线
【例1】(1) 如图1, 在△ABC中, AB=8, AC=5,AD是△ABC的中线, 则△ABD与△ADC的周长之差为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
(2)如图2,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点, 阴影部分的面积为3, 则△ABC的面积是 .
【变式1】如图3,在△ABC中,AD是BC边上的中线, △ADC的周长比△ABD的周长多5cm,AB 与AC的和为13cm, 则AC= cm.
【变式2】如图, 在△ABC中, D是BC的中点, 点E在边AB 上, △BDE与四边形ACDE 的周长相等.
(1) 求证: BE=AE+AC;
(2) 若AB=24, AC=18, 求AE 的长.
核心母题2 三角形的角平分线
【例2】如图, CD是△ABC的角平分线,DE∥BC交AC于点E, ∠BCD=32°, 求∠AED 的度数.
【变式】(教材P 练习T 变式) 如图, 若∠1=∠2, ∠3=∠4, 则下列结论中错误的是( )
A. CD是△ABC的角平分线 B. AE是△ACD的角平分线
C. D. AE是△ABC的角平分线
核心母题3 三角形的高
【例3】如图, 在△ABC中, AD是边BC上的高. 已知AD=10, AB=12.
(1) 请作出AB边上的高CE;
(2) 若CE=9, 求BC的长.
【变式】(教材P T 变式)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
(1) 如图1, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=3, AC=4, AB=5, CD⊥AB, 则CD= ;
(2) 如图2, 在△ABC中,AB=4, BC=2, 则△ABC的高CD与AE的比是 .
核心母题4 三角形的重心——三条中线的交点
【例4】请仅用无刻度的直尺完成下列画图(不写画法，保留画图痕迹).
(1) 如图1, 在△ABC中, E, F分别为AB, BC的中点, 请在图1中画出AC的中点M;
(2) 如图2,在四边形ABCD中, E,F, G分别为AB,BC, AD的中点, 请在图2中画出CD的中点 N.
13.2 与三角形有关的线段
第1课时 三角形的边
【知识梳理】
1.三角形的三边关系：三角形两边的和①大于第三边；三角形两边的差②小于第三边.【温馨提醒】通过三角形的三边关系可判断三条线段能否构成三角形.
2.三角形的稳定性：三角形是具有③ 稳定 性的图形.
【核心母题】
核心母题 1 三角形的三边关系①——直接应用三边关系
【例1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是(C)
A. 3, 5, 9 B. 4, 6, 12 C. 5, 6, 8 D. 2, 2, 4
【变式】已知三角形的两边长度分别是3和6，第三条边的长度是一个奇数，则第三边长度可能是( B )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
核心母题2 三角形的三边关系②——参数范围与化简
【例2】(2025江岸期中改编)已知a, b, c是△ABC的三边,且a=3, b=7.
(1)求c的取值范围；
(2)若c为偶数，求△ABC周长的最大值.
解: (1)4【变式】(1)已知a, b, c是△ABC的三边长,化简: |b-c-a|+|a-b+c|-|a-b-c|的结果是 3a-3b+c ;
(2)(2025武昌期中改编)已知△ABC的三边长分别为3, 5, a,化简: |a-2|+|a-8|.
解:(2) ∵△ABC的三边长分别为3, 5, a, ∴5-3∴|a-2|+|a-8|=a-2+8-a=6.
核心母题3 三角形的三边关系③——分类讨论
【例3】(教材P 习题T 变式)长为9，6，4，3的四根木条，选其中三根组成三角形，选法共有( B )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【变式】若五条线段的长分别是1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，则以其中三条线段为边可围成 3 个三角形.
【例4】(1)(教材) 变式)若等腰三角形的一边长为4，一边长为8，则其周长为 20 ；
(2)已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长.
解: (2) 当腰长为4cm时, 底边长为16-4-4=8(cm), 三边长分别为4cm, 4cm, 8cm,
不符合三角形的三边关系，这样的三边不能围成三角形，所以此种情况舍去；
当底边长为4cm时, 腰长为(16-4)÷2=6(cm), 三边长分别为4cm, 6cm, 6cm,
符合三角形的三边关系，故另外两边长都为6cm.
【变式】用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一条边长为8cm的等腰三角形吗 为什么
解: ①若腰长为8cm, 则底边长为36-8×2=20.
∵8+8=16<20, ∴不能组成三角形, 此情况不成立;
②若底边长为8cm,则腰长为(36-8)÷2=14, 此情况成立.
综上所述，可以围成一边长为8cm 的等腰三角形.
核心母题4 三角形的稳定性
【例5】(1)在上网课时把平板放在三角形支架上，用到的数学道理是(A)
A.三角形的稳定性 B.对顶角相等
C.垂线段最短 D.两点之间，线段最短
(2)如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是(D)
A.两点确定一条直线 B.垂线段最短
C.两点之间线段最短 D.三角形具有稳定性
【变式】(1)如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学道理是(C)
A.两点确定一条直线
B.两点之间，线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
(2)下列图形中，不具有稳定性的是 (A)
第2课时 三角形的中线、角平分线、高
【知识梳理】
1.三角形的中线、角平分线和高的概念
(1)中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线.
(2)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
(3)高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.
【温馨提醒】三角形的高、中线与角平分线均指① 线段 ，而垂线是② 直线 ，角平分线是③ 射线 .
2.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
3.三角形的面积公式： (a是三角形的边，h是这条边上的高).三角形一边上的中线把三角形的面积两等分.
【核心母题】
核心母题1 三角形的中线
【例1】(1)如图1, 在△ABC中, AB=8, AC=5,AD 是△ABC的中线, 则△ABD与△ADC的周长之差为 3 .
(2)如图2,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点, 阴影部分的面积为3,则△ABC的面积是 6 .
【变式1】如图3,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ADC的周长比△ABD的周长多5cm,AB与AC的和为13cm, 则AC= 9 cm.
【变式2】(2025七一中学月考)如图, 在△ABC中, D是BC的中点, 点E在边AB上, △BDE与四边形ACDE 的周长相等.
(1) 求证: BE=AE+AC;
(2) 若AB=24, AC=18, 求AE的长.
解: (1) ∵△BDE 与四边形 ACDE的周长相等,
∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE, ∵BD=DC, ∴BE=AE+AC.
(2)设AE=x, 则 BE=24-x, 由 (1) 得BE=AE+AC,
∴24-x=x+18, 解得x=3, ∴AE=3.
核心母题2 三角形的角平分线
【例2】如图, CD是△ABC的角平分线,DE∥BC交AC于点E, ∠BCD=32°, 求∠AED 的度数.解: 64°.
C
【变式】(教材P 练习T 变式) 如图, 若∠1=∠2, ∠3=∠4, 则下列结论中错误的是 (D)
A. CD是△ABC的角平分线 B. AE 是△ACD的角平分线
C. D. AE是△ABC的角平分线
核心母题3 三角形的高
【例3】如图, 在△ABC中, AD是边BC上的高. 已知AD=10, AB=12.
(1) 请作出AB边上的高CE;
(2) 若CE=9, 求BC的长.
解: (1) 如图所示; (2)
【变式】(教材P T 变式)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
(1) 如图1, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=3, AC=4, AB=5, CD⊥AB, 则CD= ;
(2) 如图2, 在△ABC中,AB=4, BC=2, 则△ABC的高CD与AE的比是 1:2 .
核心母题4 三角形的重心——三条中线的交点
【例4】请仅用无刻度的直尺完成下列画图(不写画法，保留画图痕迹).
(1) 如图1, 在△ABC中,E, F分别为AB,BC的中点, 请在图1中画出AC的中点M;
(2)如图2, 在四边形ABCD中, E, F, G分别为AB,BC,AD的中点, 请在图2中画出CD的中点 N.
解：如图所示.

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