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第2章《特殊三角形》检测2026-2027学年上学期浙教版八年级数学上册（解析版）
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A.原图是轴对称图形，符合要求；
B.原图不是轴对称图形，不符合要求；
C.原图不是轴对称图形，不符合要求；
D.原图不是轴对称图形，不符合要求．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．
如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，
在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m路，却踩伤了花草
A．1 B．5 C．2 D．7
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出，再根据解答．
【详解】解：如图所示，根据题意，得，
根据勾股定理，得，
则，
所以他们仅仅少走了路．
3．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】由已知顶角为70°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．
【详解】∵等腰三角形的顶角是70°，
∴两底角的和为180°-70°=110°，
由等腰三角形的两底角相等可得底角为×110°=55°.
故选B.
4．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等
C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形
【答案】B
【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题，
先说明各命题的逆命题，再判断真假可得答案.
【详解】解：因为A的逆命题是：开方开不尽的数是无理数，是真命题，所以不符合题意；
因为B的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，所以符合题意；
因为C 的逆命题是：若，则，是真命题，所以不符合题意；
因为D的逆命题是：正多边形的各边都相等，是真命题，所以不符合题意.
故选：B.
5．如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（ ）
A．9 B．7 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据中点，求出的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵点D、E分别为中点，
∴，
在中，，
∴
已知，如图，在中，和分别平分和，
过作分别交，于点，，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵在中，和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故选：．
“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1所示的“三等分角仪”可三等分任意一角．
三等分角仪（图2）由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，
点固定，点可在槽中滑动，若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理及外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，然后根据，求出即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：D．
如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，
在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法：
①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，
乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米；
②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完；
③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米．
则四楼教室到地面的距离的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】设米，绳子总长度为米，通过作辅助线构造直角三角形，分别在、中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：根据题意可得，
过点作于， 则点在上，
设米，绳子总长度为米，
由题意得： 乙同学手高米，米，米，
第一次绳长剩余米，故，第二次绳子用完，，
米，米，米，，
在中，，
在中，，
得：，解得，
把代入得：，即，边长为正，故，得米，
因此四楼教室到地面的距离为米．
9. 如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，
且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，
交于点F，过点O作于D，下列四个结论：
①； ②；
③点O到各边的距离相等； ④设，，则，
正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，同理，据此可对结论①进行判断；②先根据角平分线的定义得，，进而得，然后根据即可对结论②进行判断；③过点作于，于，连接，根据角平分线的性质得，，由此可得，据此可对结论③进行判断；④由③得，则，，进而得，据此可对结论④进行判断．
【详解】解：①是的平分线，
，
，
，
，
，
同理：，
，
故结论①正确；
②和的平分线相交于点，
，，
，
，
，
，
故结论②正确；
③过点作于，于，连接，如图所示：
是的平分线，
，
是的平分线，，
，
，
点到各边的距离相等，
故结论③正确；
④，，
由③正确得：，
，，
．
故结论④正确．
故选：D．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，
大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为_______
【答案】米
【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案．
【详解】解：由图可知，，，
在中，，
这棵树折断前的高度为．
12．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是利用三角形的三边关系判断能否构成三角形．
分为6是腰长和6是底边长两种情况，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求三角形的周长．
【详解】解：当6是腰长时，
三角形的三边长分别为6、6、5，
，
以6、6、5为三边能组成三角形，
此等腰三角形的周长为；
当6是底边长时，三角形的三边长分别为6、5、5，
，
以6、6、5为三边能组成三角形，
此等腰三角形的周长为．
故答案为：或．
在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC ，交AB于点D，交AC于点E，
若BD＋CE＝9，则线段DE的长为 .
【答案】9
【详解】∵∠B和∠C的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，
∴DF=DB，EF=EC，
即DE=DF+FE=DB+EC=9.
故答案为9.
如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，
连接，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵在中，点D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，
在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，
在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是__________海里．
【答案】
【分析】根据在B处观测到的灯塔A和C处的方向确定，且B处在C处的北偏西方向上，再结合在C处观测到的灯塔A的方向确定，进而求出，然后根据等腰三角形的判定定理确定AC=BC=25海里，再根据勾股定理可求出B处与灯塔A的距离．
【详解】解：∵灯塔A在B处南偏东方向上，C处在B处南偏东方向上，
∴，B处在C处的北偏西方向上．
∴．
∴．
∴．
∴AC=BC．
∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处，
∴海里．
∴AC=25海里．
∴海里．
故答案为：．
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：
①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是_________
【答案】①②④．
【分析】在EA上截取EF=BE，连接CF，根据“AC平分∠BAD”和“∠ADC＋∠ABC＝180°”证明出△ACD≌△ACF，故选项①正确；由①可知，AD=AF，再根据线段间的和差关系可得：AD＋AB＝2AE，AB－AD＝2BE，故选项②④正确.
【详解】在EA上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
，
∴△ACD≌△ACF（AAS），
∴CD=CF，
∴CD=CB，
故①正确；
∴AD=AF，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE．
故②正确；
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE，
故③错误；
AB-AD=AB-AF=BF=2BE，
故④正确．
其中正确的是①②④．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．
画出与△ABC关于y轴对称的ΔAB1C1，并写出点B1的坐标；
在x轴上找出点P，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要的作图痕迹）
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，P（2，0）．
【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可，再根据的位置可得坐标；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求点，再求解的解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，△AB1C1即为所求；
∴
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，
则 此时最小，
∵C（-1，3）， ∴
设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B1（4，2），
解得 ，
∴直线的解析式为y=x-2，
∴当y=0时，x=2，
∴P（2，0）．
18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．
某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
① 测得水平距离的长为16米；
② 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；
③ 牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度为31.7米
(2)他应该往回收线14米
【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
米（负值舍去），
（米），
答：风筝的高度为31.7米．
（2）解：由题意得，米，
米，
（米），
（米），
他应该往回收线米．
如图，由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，
经测量，，，，，．
求这块四边形空地的面积；
现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
【答案】(1)
(2)2400元
【分析】此题考查了勾股定理和逆定理的应用．
（1）连接，根据勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，，进而利用求出四边形的面积；
（2）根据面积乘以单价即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴四边形的面积
；
（2）解：在该空地上种植草皮共需（元）．
已知在中，的平分线交于点，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，
若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及在直角三角形中，所对的边是斜边的一半进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，，
∴．
已知：如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点P，
与相交于点M，与相交于点N．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质和题意，可以得到△ACD≌△BCE的条件，从而证明△ACD≌△BCE，故可求解；
（2）证得△ACM≌△BCN，就可以证得结论．
【详解】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵∠AMC＝∠BMP，
∴∠APB＝∠ACB＝60°；
在△ACM和△BCN中
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN．
某农场结合场区的实际情况准备开垦一块四边形试验田．
如图1，四边形是其平面示意图，，，， 连接，；
其中，是两条需建设的灌溉主管道所在的位置，已知灌溉主管道的长度为200米．
在试验田建设过程中，该农场综合考虑场区的整体远景规划，为后续扩大试验田做准备，
打算增加建设一条灌溉主管道，灌溉主管道可看作将灌溉主管道绕点D逆时针旋转所得，请在图1 中画出灌溉主管道的位置，连接，并求出的大小；
为了使灌溉效果达到最佳，需要从C 处到E 处再建设一条灌溉支管道，
在（1）的条件下求灌溉两端点A 和E之间距离的最大值．
【答案】(1)图形如图所示，
(2)米
【分析】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据要求画出图形，证明，推出可得结论；
（2）如图，在的右侧作等边，取的中点K，O，连接，．求出可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，在的右侧作等边，取的中点K，O，连接，，，，．
∵是等边三角形，米，
∴，
∴（米），
∵，
∴，
∴（米），
∵，
∴（米），
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（米），
∵米，
∴的最大值为米．
23．在中，，，直线过点，于，于．

当直线绕点旋转到图1位置时，求证：；
当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明；
当直线绕点旋转到图3位置时，
、、之间的等量关系是__________________（直接写出答案）．
（1）证明：由题意知，，，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：．
证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，，
又∵,
∴．
（3）解：．
证明：∵于，于，
∴，
∴，，
∴∠ACD＝∠EBC，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
24．如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接．
求证：；
求，的度数；
探索，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)，；
(3)，见解析．
【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明是解本题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，，，由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，进而得到，作，全等三角形的性质，推出，得到平分，求出；
（3）由全等三角形的性质可得，由“”可证，由全等三角形的性质得出，证明△是等边三角形，可得，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：△与△都是等边三角形，
，，，
，
在△与△中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
∴；
∴，
作，
∵，，
∴，
∴平分，
，
（3）解：，
证明：如图，在线段上截取，连接，
，
，
在△与△中，
，
，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
．
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第2章《特殊三角形》检测2026-2027学年上学期浙教版八年级数学上册
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．
如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，
在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m路，却踩伤了花草
A．1 B．5 C．2 D．7
3．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
4．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等
C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形
5．如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（ ）
A．9 B．7 C．6 D．8
已知，如图，在中，和分别平分和，
过作分别交，于点，，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1所示的“三等分角仪”可三等分任意一角．
三等分角仪（图2）由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，
点固定，点可在槽中滑动，若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，
在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法：
①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，
乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米；
②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完；
③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米．
则四楼教室到地面的距离的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9. 如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，
且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1
如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，
交于点F，过点O作于D，下列四个结论：
①； ②；
③点O到各边的距离相等； ④设，，则，
正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，
大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为_______
12．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC ，交AB于点D，交AC于点E，
若BD＋CE＝9，则线段DE的长为 .
如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，
连接，若，，则的长为______．
15．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，
在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，
在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是__________海里．
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：
①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是_________
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．
画出与△ABC关于y轴对称的ΔAB1C1，并写出点B1的坐标；
在x轴上找出点P，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要的作图痕迹）
18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．
某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
① 测得水平距离的长为16米；
② 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；
③ 牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？
如图，由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，
经测量，，，，，．
求这块四边形空地的面积；
现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
已知在中，的平分线交于点，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，
若，求的长．
已知：如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点P，
与相交于点M，与相交于点N．求证：
（1）；
（2）．
某农场结合场区的实际情况准备开垦一块四边形试验田．
如图1，四边形是其平面示意图，，，， 连接，；
其中，是两条需建设的灌溉主管道所在的位置，已知灌溉主管道的长度为200米．
在试验田建设过程中，该农场综合考虑场区的整体远景规划，为后续扩大试验田做准备，
打算增加建设一条灌溉主管道，灌溉主管道可看作将灌溉主管道绕点D逆时针旋转所得，请在图1 中画出灌溉主管道的位置，连接，并求出的大小；
为了使灌溉效果达到最佳，需要从C 处到E 处再建设一条灌溉支管道，
在（1）的条件下求灌溉两端点A 和E之间距离的最大值．
23．在中，，，直线过点，于，于．

当直线绕点旋转到图1位置时，求证：；
当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明；
当直线绕点旋转到图3位置时，
、、之间的等量关系是__________________（直接写出答案）．
24．如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接．
求证：；
求，的度数；
探索，，之间的数量关系，并说明理由．
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