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2025-2026学年上海市黄浦区大同中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.在复平面内，复数z=i（1-i）的共轭复数对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设θ∈R，若对任意的，都存在，使得成立.则θ可以是（　　）
A. B. C. D.
4.已知各项均为正实数的数列{an}，若对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得am=Sn（Sn为{an}的前n项和），那么称{an}为J数列，记bn=m,称{bn}为{an}的“J和数列”，则下列命题中真命题的序号为（　　）
①存在等差数列{an}为J数列
②存在等比数列{an}为J数列
③若J数列{an}为严格增数列，则其“J和数列”{bn}为严格增数列
④若J数列{an}的“J和数列”{bn}为严格增数列，则{an}为增数列
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知向量，设m∈R，向量，若，则m= .
6.已知，α在第二象限，则sinα的值为 .
7.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，a1+a2+a3+a5=5，则S11= .
8.若复数z满足：z2=4-3i,则|z|= .
9.已知复数z的虚部为1，且，则实数m为 .
10.已知数列{an}的通项公式为（n为正整数），则数列{an}的前n项和Sn的最小值为 .
11.已知向量，，a＞0，b＞0，则的取值范围是 .
12.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则m= .
13.已知数列{an}，{bn}满足a1=1，b1=2，an+1=|2an-bn|，bn+1=|2bn-an|，a20+b20= .
14.已知函数在区间[0，π）上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是 .
15.若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为 .
16.为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度AM=3（米），此时AM=ME-AE，停车位相对道路倾斜的角度∠E′A′M=α，其中该路段改造后的停车位比改造前增加 个.
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数.
（1）求实数m；
（2）设复数，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围.
18.(本小题10分)
已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
19.(本小题10分)
如图所示，在△ABC中，P在线段BC上，满足2=，O是线段AP的中点，
（1）延长CO交AB于点Q（图1），求的值；
（2）过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F（图2），设，．
（ⅰ）求证：2λ+μ为定值；
（ⅱ）设△AEF的面积为S1，△ABC的面积为S2的面积为S2，求的最小值．
20.(本小题10分)
设a∈R，f（x）=sin2x+acosx.
（1）当a＜-2时，直接写出函数y=f（x）在区间上的单调性；
（2）①根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）在区间[0，2π]上零点的个数；②若函数y=f（x）在区间[0，kπ]（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围.
21.(本小题10分)
已知整数n≥4，数列A：a1，a2，…，an是递增的整数数列，即a1，a2，…，an∈Z且a1＜a2＜…＜an，定义数列A的“相邻数列”为B：b1，b2，…，bn，其中b1=a1，bn=an，bi=ai-1+1或bi=ai+1-1（i=2，3，…，n-1）
（1）已知n=4，数列A：3，5，7，9，写出A的所有“相邻数列”；
（2）已知n=10，数列A：a1，a2，…，a10是递增的整数数列，a1=1，a10=20，且A的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列A的个数；
（3）已知n=20，数列A：a1，a2，…，a20是递增的整数数列，a1=0，a2=2，且存在A的一个“相邻数列”B，对任意的i,j∈{2，3，…，19}，ai+aj≠bi+bj，求a20的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】2
6.【答案】
7.【答案】121
8.【答案】
9.【答案】±2
10.【答案】-51
11.【答案】（1，2]
12.【答案】
13.【答案】310
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】18
17.【答案】-3；
（，3）．
18.【答案】解：（1）因为函数（ω＞0）的最小正周期为π，
所以π=，可得ω=2，可得f（x）=2sin（2x+），
所以=2sin（2×+）=；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+），
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．
19.【答案】解：（1）依题意，因为，
所以，
因为O是线段AP的中点，所以，
设，则有，
因为C，O，Q三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
（2）证明：（i）根据题意，
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因为E，O，F三点共线，所以，
化简得2λ+μ=3，
即2λ+μ为定值，且定值为3；
（ii）根据题意，，
，
所以，
由（i）可知2λ+μ=3，则μ=3-2λ，
所以，
易知，当时，有最小值，此时．
20.【答案】函数y=f（x）在区间上单调递增 ①a≤-2或a≥2时，y=f（x）有2个零点，
当0＜a＜2或-2＜a＜0时，y=f（x）有4个零点，
当a=0时，y=f（x）有5个零点．
②k的最小值为3，此时a∈（-2，0]
21.【答案】3，4，6，9，3，4，8，9，3，6，6，9，3，6，8，9 11 37
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