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2025-2026学年江苏省南京市外国语学校高一（下）期末数学试卷（A卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若向量，满足：，，则=（　　）
A. 1 B. 4 C. 0 D. -4
2.若z1，z2为复数，则“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α，β，以下可以得到l∥β的是（　　）
A. l∥m,m β B. 直线l上有两个不同的点到β的距离相等
C. l α，m β，m∥α D. α∥β，l α
4.若tanβ=2tanα，，则sin（α-β）=（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N.设，，则m的值为（　　）
A. B. C. D. 2
6.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（　　）
A. B. C. D.
7.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B=“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（　　）
A. 当n=2时，P（AB）=P（B） B. 当n=2时，事件A和事件B独立
C. 当n=3时，事件A和事件B独立 D. 当n=3时，事件A和事件B互斥
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，点P为线段BC1上靠近C1的三等分点，Q为底面正方形ABCD内的动点，PQ∥平面A1C1D，点Q的轨迹长为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ-isinβ，z3=cos（α+β）+isin（α+β），z4=1，在复平面内对应的点分别为P1，P2，P3，P4，其中i为虚数单位，O为坐标原点，，则下列结论正确的是（　　）
A. ∠P1OP2=α+β B. |z1-z4|=|z2-z4|
C. D.
10.若数据：2、3、a的中位数是a；数据：3、7、a、b的平均数是4.则关于数据：3、5、a、b、a+b的统计量，下列说法正确的有（　　）
A. 平均数是4 B. 中位数是3 C. 极差可能是4 D. 方差一定不是
11.已知在矩形ABCD中，AB=1，，将△ABD沿BD折叠至△A1BD，设球O为三棱锥A1-BCD的外接球，则（　　）
A. 若CD⊥A1C，则三棱锥A1-BCD的体积为
B. 若平面A1BD⊥平面BCD，
C. 若A1C与BD所成的角的正切值为，则二面角A1-BD-C的大小为120°
D. 直线A1C被球O所截得的线段长度的取值范围为（1，2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量=（1，-1），=（1，1），若向量λ-与+2的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为 .
13.现有甲、乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知棱台上、下底面均为正方形，且AB=5，A1B1=1，现匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时13min.若按照相同的速度往乙容器里注水，则当水的高度是四棱台高度的一半时，用时 .（甲：下底大、上底小正放四棱台；乙：倒置四棱台，小底朝下、大底朝上）
14.已知θ∈（0，2π），则关于θ的不等式cos3θ≥cosθ的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，设.
（1）若AB=1，求BC的长；
（2）若点M是AC中点，AC=1，且，求的取值范围.
16.(本小题15分)
为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核，考核成绩的频率分布直方图：
（1）估计这40名选手专项考核成绩的70百分位数（结果精确到0.1）；
（2）现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为A，B，C三个等级（A高于B，B高于C）.若在两项考核中，至少一项为A级，且另一项不低于B级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，甲、乙两人在每项考核中取得A，B，C等级的概率分别都是，求甲、乙两人至少1人获得参赛资格的概率.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，E为线段PB的中点.
（1）证明：PD∥平面AEC；
（2）证明：平面AEC⊥平面PBC；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A；
（2）分别以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3，△O1O2O3被称为“拿破仑三角形”，它是等边三角形.
①若△AO1O3外接圆半径为1，求AO1+AO3的取值范围；
②若，△O1O2O3的面积为，求△ABC的周长.
19.(本小题17分)
如图，在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长均为a,点Q是底面ABCD内任意一点，点Q到侧面PAB，PBC，PCD，PDA的距离分别为d1，d2，d3，d4，平面PAB∩平面PCD=l.
（1）证明：l∥平面ABCD；
（2）求d1d3的最大值；
（3）记PQ与侧面PAB，PBC，PCD，PDA所成的角分别为α，β，γ，δ，求sin2α+sin2β+sin2γ+sin2δ的值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】（2，+∞）
13.【答案】49min
14.【答案】
15.【答案】1
16.【答案】88.3
17.【答案】证明：连接BD交AC于点O，连接OE，
∵四边形ABCD为正方形，∴O是BD中点，
又E为PB中点，∴EO∥PD，
∵EO 平面AEC，PD 平面AEC，
∴PD∥平面AEC 证明：∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，
∵PA∩AB=A，PA，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又AE 平面PAB，∴BC⊥AE，
∵PA=AB=1，E为线段PB的中点，
∴AE⊥PB，
又PB∩BC=B，PB，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC，
又AE 平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBC
18.【答案】 （i）；（ii）
19.【答案】因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
因为AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，所以AB∥l，
又因为l 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以l∥平面ABCD
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