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2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.若数列{an}是等比数列，则“首项a1＞0，且公比q＞1”是“数列{an}单调递增”的（　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 非充分非必要条件
2.已知复数z1，z2，z3，下列说法正确的有（　　）
A. 若，则 B. 若，则z1=z2=0
C. 若z1z2=z1z3，则z1=0或z2=z3 D. 若|z1-z2|=|z1+z2|，则z1z2=0
3.已知△ABC是边长为2a（a＞0）的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的值不可能是（　　）
A. -a2 B. C. D. -2a2
4.已知O是锐角△ABC所在平面内的一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知向量，，若，则实数x= .
6.已知数列{an}满足：2an+1=2an+1，a1=1，则a7= .
7.已知复数z满足z=i（2-i），则的虚部是 .
8.已知等差数列{an}中，a3+a12=8，Sn为{an}的前n项和，则S14= .
9.已知，，则在方向上的数量投影是 .
10.已知复数z满足|z+2-i|=2，则|z|的最小值是 .
11.已知m∈R，关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m2+1=0的一个根z是纯虚数，则|（z+2m）2|= .
12.已知单位向量，满足，则= .
13.已知数列{an}中，a1=1，，Sn为{an}的前n项和，则S50= .
14.若点A，B，C是半径为1的圆O上三点，且，则= .
15.设等比数列{an}的公比为q,Tn为前n项积，且满足a1＞1，a2025a2026＞1，，则下列结论正确的是 .（填序号）
①0＜q＜1 ②a2025a2027＞1 ③Tn的最大值为T2025 ④若Tn≤1，则n≥4052
16.在复平面中，已知点A（-1，0）、B（0，3），复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，且满足|z1|=|z2|=2，|Z1Z2|=4，则的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知向量，，，且；
（1）求与的夹角；
（2）若，求k的值.
18.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若不等式λSn+1≥an-1对任意n∈N，n≥2恒成立，求实数λ的取值范围.
19.(本小题15分)
已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+（m2+1）=0（m∈R）有两根x1，x2.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若|x1|+|x2|=3，求实数m的值.
20.(本小题17分)
对于一个给定的数列{an}，令bn=an+an+1（n∈N，n≥1），则数列{bn}称为数列{an}的一阶和数列.
（1）若{bn}是等比数列，且a1=0，a2=2，a3=4，求a5；
（2）若，令cn=anbn，证明：{cn}是等比数列，并求的值；
（3）若{an}是首项为1的等差数列，d为公差，3ak-1≤2bk-1（k≥2），a1+a2+…+ak=100，求正整数k的最大值，以及k取最大值时d的值.
21.(本小题12分)
对任意两个非零向量，定义新运算：，其中θ为与的夹角.
（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；
（2）若向量，且，求正数t的值；
（3）已知非零向量满足（k是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求sinθ.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】3
6.【答案】4
7.【答案】-2
8.【答案】56
9.【答案】-1
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】-25
14.【答案】
15.【答案】①③
16.【答案】
17.【答案】解：（1）因为向量，，，
又，
所以，
解得x=2，
所以，，
得，
所以，
即与夹角的余弦值为．
又，
所以，
即与的夹角为．
（2）由（1）知，，，
所以，，，
所以，
即k2=1，
解得k=±1，
所以k的值为±1．
18.【答案】
19.【答案】 1或
20.【答案】40 因为，所以，
所以．
所以数列{cn}是首项为，公比为的等比数列．
= 正整数k的最大值199，此时
21.【答案】；
2；
．
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