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湖北孝感市普通重点高中2025-2026学年高二下学期期末联考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数在处的切线方程为，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
3.若随机变量，若，则（ ）
A. 4 B. 6 C. 12 D. 13
4.已知随机变量满足，则（ ）
A. B. C. D.
5.若等差数列的公差为，前项和为，则“为单调递减数列”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.某班一天上午排4节课，下午排3节课，现要安排7门不同的学科各一节的课程表，要求语文，英语都在上午且不相邻，体育在下午，则不同的排课方法种数有（）
A. 72 B. 108 C. 216 D. 432
7.设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
8.设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列描述中说法正确的是（）
A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1
B. 正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”
C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为
10.记公比为的等比数列的前项和为，前项积为，若数列满足，，，则（）
A. B. 数列没有最大值，有最大值
C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 当时，
C. 函数的图象是中心对称图形
D. 当且时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是二项式的展开式中的一项，则n的值为 ．
13.已知样本数据点集合为，且，利用最小二乘法求得线性回归方程为，后发现样本数据对应的散点远离回归直线，将其剔除后得到新的线性回归方程为，则 .
14.已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联；
性别 是否喜欢数学 合计
是 否
男生
女生
合计
(2)已知该校男生和女生的人数之比为3：2，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率．
参考公式：，其中
16.(本小题15分)
已知数列，的各项均为正数，的前n项和，满足，为等比数列，且有，．
(1)若，求数列的前n项和；
(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围．
18.(本小题17分)
近年来，羽毛球运动因其特有的运动性价比在全国各地区受到越来越多的人的喜欢，某地区的羽毛球爱好者组织起了A，B两支羽毛球队进行比赛，他们协商规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立．
(1)当时．
（i）记比赛开始的前三场中，A队获胜的场数为X，求X的分布列；
（ⅱ）求在A队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率；
(2)根据每场比赛的结果，会赋予球队一些经验值，若比赛结果为或者时，胜方赋经验值3分，负方赋经验值0分，比赛结果为时胜方赋经验值2分，负方赋经验值1分，求A队本次比赛赋经验值的期望，并求的取值范围．
19.(本小题17分)
已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左焦点为F，过F的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点．
（i）若，求直线l的方程；
（ⅱ）若点，直线与直线相交于Q点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据等高堆积条形图完成列联表：
性别 是否喜欢数学 合计
是 否
男生
女生
合计
零假设为：该校的学生性别与是否喜欢数学没有关联，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为该校学生喜欢数学与性别有关联．
（2）设事件A为：“抽取的学生喜欢数学”事件B为“抽取的学生为女生”，
则为“抽取的学生为男生”则，，
，，
由全概率公式：，
故抽取学生喜欢数学的概率为．

16.【答案】解：（1）已知：时，；
时，相减得故．
，得，
是首项为1、公比为2的等比数列，故，．
则：①
两边同乘得：②．
①②得：
中间等比数列求和得，
代入整理得：．
（2）不等式，对恒成立，
代入，得：．
设，作差得：
，2时，；
时，；
时，，
故的最大值为3，因此，即．

17.【答案】解：（1）
当时，恒成立，故函数在单调递增；
当时，令得．
令得．
故当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，，，
，，．
令，，而在恒成立，即在单调递增，
又因为
故当时，即时，，在单调递增，
在恒成立；
当，即时，当时，，所以，存在，使得时，
，时，，
所以在单调递减，在上单调递增，故由可知，时，与在恒成立矛盾；
综上，实数k的取值范围是．

18.【答案】解：（1）（i）由题意可知，，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为
X 0 1 2 3
P
（ⅱ）设事件M表示“比赛恰好进行4场”，事件N表示“A队获胜”．
A队获胜包含三种情况：比赛3场A队获胜，其概率为，
比赛4场A队获胜，即前3场A队胜2场，第4场A队胜，概率为，
比赛5场A队获胜，即前4场A队胜2场，第5场A队胜，概率为，
∴A队获胜的概率为，
A队获胜且比赛恰好进行4场的概率为，
∴在A队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为.
（2）A队本次比赛的经验值得分Y的可能取值为3，2，1，0．
；
；
；
．
，
令，则，
，，
再令，，
判别式，的两根为，，
由可得，则在上单调递减，则，
所以时，，，因此函数在上单调递增，
又，当p趋近于1时，，则，
故的取值范围是．

19.【答案】解：（1）渐近线为，得，又因为右焦点到该渐近线的距离为，所以，
双曲线中有，所以代入得，
故双曲线的标准方程为：.
（2）（i）易得焦点坐标，
设直线方程为：，，由，得，
联立得到，，
由韦达定理得，
将代入得，，解得
故直线l的方程为：，或者
（ii）
根据A，P的坐标，得到直线的方程为：
当时Q的坐标为,
，
由A，F，B三点共线可知，
即 ，
.

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