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河南许昌市襄城县部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末摸底数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设，则z的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2.一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（　　）
A. 140 B. 105 C. 70 D. 30
5.已知向量，不共线，且则实数（ ）
A. B. 1 C. D. 2
6.在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
7.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，若圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 3
8.三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A与B互斥，则 B. 若，则
C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立
10.如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ）
A. 异面直线和所成的角为
B. 直线与平面所成的角等于
C. 点C到平面的距离为
D. 线段长度的最小值为
11.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为 B. 圆锥的体积为
C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 圆锥的内切球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为 .
13.《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为 （结果精确到整数，参考数据：）
14.如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数．
(1)求事件“为实数”的概率；
(2)求事件“”的概率．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明.
17.(本小题15分)
台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐.为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测.所有样本的单果质量全部分布在区间[60，120]内（单位：克），将所得数据分成6组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，[110，120]，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a的值；
（2）估计这批蜜桔的平均质量；
（3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？
18.(本小题17分)
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C．
(2)．
（ⅰ）若的周长为，角C的平分线交于点D，求的长；
（ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求二面角所成角的余弦值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】36
14.【答案】或
15.【答案】解：先后抛掷两次骰子，a,b的取值均为1,2,3,4,5,6，
总基本事件数为个，每个基本事件发生的概率相等,
(1) ∵，∴，
若为实数，则虚部，即，
此时a可取1,2,3,4,5,6，共6个符合条件的基本事件，
故所求概率;
(2) ∵，
∴，
两边平方得，其中，
枚举符合条件的：当时，，得，共4组；
当时，，得，共4组；
当时，，得，共1组；
当时，，无符合条件的a，
合计符合条件的基本事件数为个，
故所求概率.
16.【答案】解：（1）由三棱柱的性质可得：，
平面，平面，
所以平面.
（2）
当时，直线平面，证明如下：
过点作交于点，连接，所以，
因为是的中点，所以为的中点，是的中点，
所以在中，，平面，平面，
所以平面，同理平面，，
平面，所以平面平面，
又平面，所以直线平面.
即当时，直线平面.

17.【答案】a=0.025 95克
18.【答案】解：（1），即，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，所以，
所以，即，
又，所以．
（2）（ⅰ）因为，的周长为，所以，
由余弦定理可得，即，
即，得，
所以的面积为，
则，
所以．
（ⅱ）因为，所以E是的中点，所以，
则，
又，所以，
由正弦定理可得，
所以，，
所以
．
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，所以，则的取值范围是．

19.【答案】解：(1)证明：因为，，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面.
(2)证明：因为，所以，
又，所以在中，，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面.
（3）由（2）平面，平面，所以，
又，所以为二面角所成角，
因为平面，平面，所以，
在中，由，则，
所以.

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