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福建省莆田市2025-2026学年下学期七年级期末试卷数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，最大的是（）
A. B. C. D.
2.如图，计划把河水引到处，应在河岸B（于点B）处挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（ ）
A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线
3.下列调查中，适合采用抽样调查的是（）
A. 高铁动车乘客安检
B. 全市观众对电影《给阿嬷的情书》的喜爱程度
C. 全班同学的视力情况
D. 神舟二十三号载人飞船的设备零件的质量情况
4.如图是闽超莆田队队徽的示意图，建立适当的平面直角坐标系，则图中点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
5.方程与下面一个方程组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长尺，绳子长尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
9.每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（）
序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/
1 家庭用电
2 水
3 天然气
4 鸡肉
5 牛肉
A. 水的耗碳量为
B. 牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多
C. 天然气的碳排放系数约为
D. 若用电量减少，可减少耗碳量
10.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，各顶点落在三个不同的象限，下列，的取值正确的个数有（ ）
，；②，；③，；④，；
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.图中是对顶角量角器，已知，则 ．
12.把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式，得y= ．
13.图中记录了8位男生和他们的父亲的身高，用趋势图描述儿子身高与父亲身高之间的关系，估计当父亲身高为时儿子的身高为 ．
14.已知≈1.414，≈4.472，那么≈ .
15.一个篮球队共打了场比赛，其中赢的场数比平的场数和输的场数都要少，那么这个篮球队最多赢了 场球．
16.科普体验馆里设置了一个模拟光线反射的趣味装置，由两块互相垂直的平面镜，组成．如图，入射光线经过两次反射后得到反射光线，反射时满足，．将平面镜绕点顺时针旋转，使得入射光线与反射光线所在直线互相垂直，则旋转后两块平面镜所夹锐角的度数为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共30分。
17.计算：．
18.解方程组：．
19.解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
如图，．求证：∠B+∠CDE=180°．
21.(本小题12分)
某校为了解七年级学生一分钟跳绳情况，现从七年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，将跳绳个数（单位：个）分为 A（）， B（）， C（）， D（）， E（）五组进行统计，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图．
根据图中信息，回答下列问题：
(1) 本次抽查的学生有 人；
(2) 补全频数分布直方图；
(3) 若该校七年级共有500名学生，根据上述调查结果，估计七年级学生跳绳个数不少于150个的人数．
22.(本小题10分)
2026年2月1日起正式实施的《全民阅读促进条例》明确规定，每年4月第四周为全民阅读活动周．某校以此为契机，开展“书香校园·阅读打卡”活动，计划采购甲、乙两种图书套装作为奖品，奖励阅读打卡活动中表现优秀的学生．
(1) 已知购买1套甲种图书套装和2套乙种图书套装共需160元，购买3套甲种图书套装和2套乙种图书套装共需280元．求甲、乙两种图书套装的单价各是多少元？
(2) 经评选，共有20名同学在本次活动中获奖，学校计划为每位获奖同学奖励1套甲种或1套乙种图书套装．若学校用于购买奖品的资金不超过1100元，求甲种图书套装最多能购买多少套？
23.(本小题15分)
【阅读理解】
素材一：为什么不是有理数？教材中给出一种证明方法：
假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得，
于是，两边平方得，
由是偶数，可得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数，
因此可设（是正整数），则有，即，
所以也是偶数，这与，互质矛盾，
所以不能写成分数的形式，故不是有理数，是无理数．
素材二：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得，若，其中，为有理数，是无理数，则，．
【问题解决】
(1) 下列说法正确的是（）
A. 有理数与无理数的差一定是无理数 B. 有理数与无理数的积一定是无理数
C. 无理数与无理数的差一定是无理数 D. 无理数与无理数的积一定是无理数
(2) 已知有理数，满足，求的值．
(3) 请模仿材料的推理过程，证明：是无理数．
24.(本小题15分)
十九世纪德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基提出曼哈顿距离，又称折线距离，定义如下：在平面直角坐标系中，设，，则称为点到点的曼哈顿距离．
例如，，则．
(1) 若点，，则 ；若点，，，则 ．
(2) 如图1，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，点为平面内一点，且，，求点到点A，B，C，D的曼哈顿距离之和．
(3) 如图2，已知，，点满足，画出所有符合条件的点组成的图形，并求出这个图形的面积．
25.(本小题10分)
如图1，直角三角板的直角顶点落在直线上，已知，，，点为线段上一动点，过点作，射线平分．
(1) 若射线与线段交于点（不与点，重合）．
①求证：．
②判断与的大小关系： ，并说明理由．（填“>”，“<”或“=”）
(2) 如图2，若，射线平分，连接，当点在线段上运动时，是否存在射线与射线相交？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】120
12.【答案】3-2x
13.【答案】176
14.【答案】14.14
15.【答案】
16.【答案】 /45度
17.【答案】解：


18.【答案】解：
把①代入②，，
得．
把代入①，得．
这个方程组的解为

19.【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：

20.【答案】证明：ABCD，
B=C，
BCDE，
C+CDE=，
B+CDE=．
21.【答案】【小题1】
50
【小题2】
【小题3】
解：（人）
答：估计七年级学生跳绳个数不少于150个的人数是120人．

22.【答案】【小题1】
解：设1套甲种图书套装的单价为元，1套乙种图书套装的单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：1套甲种图书套装的单价为60元，1套乙种图书套装的单价为50元．
【小题2】
解：设购买套甲种图书套装，则购买套乙种图书套装，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种图书套装最多能购买10套．

23.【答案】【小题1】
A
【小题2】
解：，
，
，为有理数，是无理数，
，，
，，
．
【小题3】
证明：假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得
于是有，两边同时平方得，
是偶数，得也是偶数，所以也是偶数．
设（是正整数），代入上式，得，即．
是偶数，是奇数，
是偶数，
是偶数，
这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．
即不能写成分数的形式，即不是有理数，是无理数．

24.【答案】【小题1】
4
2或0
【小题2】
，
，，
原式
．
【小题3】
已知，，点满足，设点，
所以，
①时，若，则原式可化为，即，
因为，所以；
若，则原式可化为，即；
若，则原式可化为，即，
因为，所以；
②时，若，则原式可化为，即，
因为，所以；
若，则原式可化为，即；
若，则原式可化为，即，
因为，所以；
综上所述，满足条件的点是由以上函数图象围成的图形，图如下：
这个图形的面积为．

25.【答案】【小题1】
①证明：如图，过点作，
∵，
∴，
，
，
②>，理由如下：
设，则，
，
平分，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
；
【小题2】
存在射线与射线相交．理由如下，
当射线经过点时，射线与射线相交于点，如图，
，
，
平分，
，
∵，
，
，
当射线经过点时，射线与射线相交于点，如图，
，，
，
平分，
，
，
存在射线与射线相交，．

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