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江西九江市2025-2026学年度下学期期末考试七年级数学试题卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列平面图形中，轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为
A. B. C. D.
3.如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.如图，将三角形纸片，沿折叠后，点落在点的位置．若，且，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6.用“特殊化”策略解决问题：如图，有两个边长都相同的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合，四边形EICJ各边的中点分别为点K、N、M、L．若阴影部分的面积和为2，则正方形ABCD的面积为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
二、填空题：本题共7小题，共24分。
7.一种新型半导体材料的一个关键的原子间距为米，将这个数据用科学记数法表示为 米．
8.将花生油滴入水中，油会浮在水面上的概率是 ．
9.如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据图中的程序算法过程，可得与之间的关系式是 ．
10.如图是一款手推车的平面示意图，其中，若，，则的度数是 ．
11.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为 ．
12.在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为 ．
13.请完善解答过程并在括号内填上相应的依据：
如图，已知，，平分，，试说明平分．
解：∵，
∴ （ ）
∵，
∴ （ ）
（等量代换）
∵平分，
，
，
．
平分
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
14.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
化简求值：，其中，．
16.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，、、、、为网格中的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图：
(1) 作线段关于直线对称的线段；
(2) 在直线上作一点，使的值最小．
17.(本小题6分)
一个不透明的口袋里装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
(1) 从中任意摸出一个球，摸到 球的概率小（填“白”或“红”）．
(2) 从口袋里取走个红球，放入个白球，充分摇匀．若随机摸出一个球是白球的概率是，求的值．
18.(本小题6分)
炎炎夏日，一池清水让人感觉清凉．为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水，换水时关闭进水孔打开排水孔．设某游泳池的存水量为立方米，以每小时立方米的速度匀速将水排出．借助智能系统得到了如下数据：
排水时间（/时） 1 2 3 4
游泳池的存水量（/立方米）
(1) 请直接写出 ， ， ．
(2) 写出与的关系式并求排完水所用的时间．
19.(本小题8分)
如图，，，，．
(1) 试说明．
(2) 求的度数．
20.(本小题8分)
回忆整式乘除学习过程，大致经历了先观察一些具体的数式运算，归纳总结规律，继而借助几何图形面积“算两次”，直观分析、解释规律．
(1) 观察下列各式计算过程并填空．
，
，
，
……
(2) 请类比（1）中计算过程计算：① ②．
(3) 图是长为，宽为的长方形，将其沿虚线剪开，拼成图的阴影部分，图的形状是一个大正方形中有一个边长为的小正方形（字母，为正数），请根据两图阴影部分面积不变写等式： ．
21.(本小题9分)
数学建模小组参观完滕王阁展台全息幻影成像后，结合“制作万花筒”综合实践课的学习经验，探索了光线与水平方向所夹角的关系．已知玻璃面与水平面的夹角，入射光线和反射光线与玻璃面所成的角相等，即，．
(1) 如图，和所在直线交于点，当时，的度数为 ．
(2) 如图，当点在的垂直平分线上时，说明．
(3) 如图，当与两条射线的反向延长线始终相交于点时，数学建模小组惊奇地发现，和的数量关系不变．请写出和的关系，并说明理由．
22.(本小题10分)
甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人在终点处休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示．
(1) 甲的速度是 米分，乙的速度是 米分；
(2) 求乙追上甲时的路程；
(3) 当两人的距离为米时，求甲所用的时间．
23.(本小题13分)
等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决．
【理解探究】
(1) 如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为 ．
(2) 如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3) 【转化应用】如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求．
(4) 在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】
8.【答案】1
9.【答案】
10.【答案】 /度
11.【答案】6
12.【答案】或或
13.【答案】
两直线平行内错角相等
两直线平行，同位角相等

14.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
.

15.【答案】解：
，
当，时
原式
．

16.【答案】【小题1】
线段即为所求
【小题2】
点即为所求
理由：如图：
∵垂直平分，
∴，
故，即此时的值最小．

17.【答案】【小题1】
白
【小题2】
解：取放后总球数个，其中白球个
则
则．

18.【答案】【小题1】
70
700
7
【小题2】
解：由（1）可知，排水前的存水量为立方米，
，
∴排完水的时间为小时.

19.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
在和中，
，
．
【小题2】
解：，
，
，
．

20.【答案】【小题1】


【小题2】
解：①，
②．
【小题3】


21.【答案】【小题1】

【小题2】
证明：，
，
又，
，
当点在的垂直平分线上时，，
，
又，
，
，
．
【小题3】
，理由如下：
根据题意可得，，，
∴在中，
，
在中，
，
，
，
，
．

22.【答案】【小题1】
60
100
【小题2】
解：设乙追上甲所用的时间为分，
则，
解得，
（米），
∴乙追上甲时的路程为米；
【小题3】
解：乙未出发前，由图知，
当两人的距离为时，甲所用的时间为分；
乙追上甲到达终点前，
当两人的距离为米时，
则，
解得；
乙到达终点后，甲到达终点前，
当两人的距离为米时，
则，
解得，
综上：当两人的距离为米时，甲所用的时间为分或分或分．

23.【答案】【小题1】

【小题2】
解：（1）中结论不成立，应为，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
【小题3】
解：∵与均为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
过点A作，交的延长线于点E，则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【小题4】
解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论：
①若点B，F均在点C上方，
∵，
∴存在或．
若，如图，
则，
∴．
若，如图
则，
∴．
②若点B，F均在点C下方，
∵，
∴存在或．
若，如图，
则，
∴．
若，如图
则，
∴．
综上所述，所有满足条件的的长为或或．

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