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河南省三门峡市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（）
A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量
3.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
4.下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，是由四个全等的直角三角形和一个面积为7的小正方形拼成的大正方形．直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（ ）
A. B. 6 C. 5 D. 4
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）
A. AB // CD，AD // BC B. AD // BC，AB＝CD
C. OA＝OC，OB＝OD D. AB＝CD，AD＝BC
7.已知一组数据0，1，2，3，4，现将其分为和两组，则这两组数据的组内离差平方和为（ ）
A. 0.5 B. 1.5 C. 2.5 D. 3
8.如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点，，都在网格的格点上，则结论①；②；③；④中正确的有（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④
10.用如图甲所示的装置探究不同物质吸热升温的现象．两个相同试管内分别装有水和食用油，同时放置在红外加热器中，用温度传感器分别测得水和食用油的温度随时间变化图象如图乙所示，下列说法中正确的是（ ）
A. 实验中食用油函数图象为正比例函数图象
B. 加热后，水的温度比食用油的温度要高
C. 水吸热升温比食用油快
D. 食用油的温度要升至，需加热
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.函数中自变量的取值范围是 ．
12.一次函数y=kx-1（k为常数，且k≠0），y随x增大而增大，则k的值可以为 .（写一个即可）
13.图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， °．
14.如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．则线段的长为 ．
15.如图，在矩形中，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动，点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图所示．当 时，的面积．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.计算
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度．
18.(本小题9分)
已知一次函数与的图象相交于点．
(1) 求点的坐标；
(2) 结合图象，当时，直接写出的取值范围；
(3) 若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，求的面积．
19.(本小题9分)
如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点．
(1) 尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 在（1）中作图的基础上，连接，，判断和的关系，并说明理由．
20.(本小题9分)
2026年，中国航天事业迎来70周年．回望来路，中国航天一步一跨越、一步一辉煌，在浩瀚宇宙镌刻下属于中华民族的壮丽史诗．为普及航天科普知识，丰富校园科技文化生活，我校举办了航天知识竞赛．全校学生积极组队参与，赛后，学校对各组的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，以下是甲、乙两组学生的成绩信息．
【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分）
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98．
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差
统计量 平均数 众数 中位数 方差
甲 84.6 70 171.44
乙 86.3 90 73.41
【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分）
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ， ；
(2) 补全甲组竞赛成绩的箱线图；
(3) 根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由．
21.(本小题9分)
定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为
，
所以．
请你根据上面材料提供的方法解决下列问题：
(1) 已知：，求的值；
(2) 计算：．
22.(本小题9分)
三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元．
(1) 求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价；
(2) 由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元．
①求关于的函数解析式；
②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元．
23.(本小题12分)
如图1，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，以为一边作正方形，连接．
(1) 【探索发现】与的数量关系是 ， ；
(2) 【猜想证明】如图2，连接交于点，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3) 【拓展延伸】在（2）的条件下，若，点为的三等分点，则的长为 ．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】1（答案不唯一）
13.【答案】 /135度
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】解：设，
、
在中，由勾股定理得
解得
因此，秋千绳索的长度为尺．

18.【答案】【小题1】
解：联立，解得：，
点的坐标为；
【小题2】
解：由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象上方，
则当时，的取值范围为；
【小题3】
解：如图，令一次函数的图象与轴交于点，
一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
令，则，解得：；令，则，
,，
，,
一次函数的图象与轴交于点，
令,则，
，
，
，
．

19.【答案】【小题1】
解：即为所求：
【小题2】
解：和的数量关系为，位置关系为，理由如下：
连接，，如图，
在中，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
则由，可得，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，且，
故和的数量关系为，位置关系为．

20.【答案】【小题1】
90
92
【小题2】
解：甲组10名学生的成绩按从小到大排列为：60、70、70、80、89、91、92、96、98、100，则最大值为100，最小值为60，中位数为90，
解法一：第一四分位数为前5个数据的中位数，则第一四分位数；
第三四分位数为后5个数据的中位数，则第三四分位数；
解法二：，
第一四分位数为第3个数，即；
，
第三四分位数为第8个数，即；
【小题3】
乙组竞赛成绩较好．
理由：由【信息2】可知，甲乙两组的中位数相同，但乙组的平均数和众数均大于甲组平均数，且乙组的方差小于甲组的方差，所以乙组平均分更高，成绩更稳定，由【信息3】可知，乙组的箱线图的箱体更扁，成绩更集中，所以乙组竞赛成绩较好．

21.【答案】【小题1】
解：设，，
则
即，
已知，
所以，
即；
【小题2】
解：原式
．

22.【答案】【小题1】
解：设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则1个菌菇礼盒的销售单价为元，
由题意，得，
解得，
则；
答：菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元；
【小题2】
解：①每个菌菇礼盒的进价为（元），利润为（元），
则，其中；
②，且
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为，
答：当购进10个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是450元．

23.【答案】【小题1】

【小题2】
，
理由：，
，，
，
、、三点共线，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
；
【小题3】
或

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