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2025-2026学年湖南省邵阳市邵东市第四中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（　　）
A. r1 B. r2 C. r3 D. r4
2.口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（　　）
A. 26 B. 30 C. 32 D. 52
3.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　　）
A. 40个 B. 42个 C. 48个 D. 52个
4.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≥4）=0.2，则P（X≤2）的值为（　　）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
5.二项式的展开式中，系数最大的项为（　　）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
6.已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为，且在小明已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为，则小明报名围棋兴趣小组的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.现安排甲、乙、丙、丁、戊5位数学老师负责学校校本课程的授课任务，学校提供数独、数学建模、数学史、解题逻辑四门课程供学生选择，每位老师仅负责一门课程，每门课程至少有1位老师负责，已知甲、乙不能讲授数独但能讲授另外三门课程，丙、丁、戊能讲授这四门课程中的任意一门，则不同安排方案的种数是（　　）
A. 72 B. 108 C. 120 D. 126
8.下列有关说法正确的是（　　）
A. 已知随机变量X服从二项分布，若E（3X+1）=6，则n=6
B. 记两个变量的样本相关系数为r,若|r|越接近0，线性相关程度越强
C. 设随机变量ξ服从正态分布N（μ，2），若P（ξ＜1）=P（ξ＞9），则μ=5
D. 一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设A，B为一次随机试验中的两个事件.若，，，则（　　）
A. B. C. D.
10.下列选项正确的是（　　）
A. 从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法
B. 5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法
C. 3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法
D. 10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法
11.下列结论正确的有（　　）
A. 若随机变量ξ～N（3，σ2），P（ξ≤1）=0.23，则P（ξ≤5）=0.77
B. 若随机变量，则D（3X+1）=11
C. 样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 如果随机变量ξ服从N（μ，σ2），且F（x）=P（ξ＜x），那么F（x）是R上的增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中，的系数为 .
13.某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 （用数字作答）.
14.某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知且满足各项的二项式系数之和为256.
（1）求a3的值；
（2）求的值.
16.(本小题15分)
一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为.
（1）求这位教授迟到的概率；
（2）现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率.
17.(本小题15分)
某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求m的值；
（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望.
18.(本小题17分)
某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y（单位：人），得到如下样本数据：
天数（序号）x 1 2 3 4 5
每日取件人数y 120 100 80 70 55
（1）计算样本相关系数r,并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱（结果保留两位小数）；
（2）从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望.
注：（1）样本（xi，yi）（i=1，2，3， ，n）的相关系数
（2）参考数据：.
19.(本小题17分)
杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.
如我们最熟悉的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，其中展开式的各项系数分别为1，2，1.
补充一：
补充二：n!=n×（n-1）×（n-2）× ×1
（1）求图2中第10行的各数之和；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3：8：14，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由；
（3）杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第3行开始，除了1以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当m、n∈N*，n≥m,.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】BC
11.【答案】AD
12.【答案】18
13.【答案】150
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以2n=256，所以n=8，
二项式展开式的通项为，
所以；
（2）令x=0，得a0=1，
令，得，
所以．
16.【答案】．
．
17.【答案】m=0.030 76.5 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
E（X）=1.2
18.【答案】r≈-0.99；变量x与y之间具有很强的线性相关关系
19.【答案】1024 存在，且这三个数为，， 证明：因为当k≥m且k、m∈N*时，，
故
=
=
=，
即当m、n∈N*，n≥m，
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