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第九章
静电场
第49讲　带电粒子(或带电体)在电场中的运动
学习目标 命题热点
(1)会利用动力学、功能关系分析带电粒子在电场中的直线运动。 (2)掌握带电粒子在电场中的偏转规律，会分析带电粒子在电场中偏转的功能关系。 (3)会分析、计算带电粒子在交变电场中的直线运动和偏转问题。 带电粒子(或带电体)在电场中的直线和曲线运动在高考中命题频率均较高。
考点一
考点二
提能训练　练案[49]
考点一　带电粒子(或带电体)在电场中的直线运动
1．带电粒子(或带电体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力。
2．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。
(2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。
3．用动力学观点分析
4．用功能观点分析
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
带电粒子在电场中的直线运动
考向1
　　(2026·安徽黄山八校联考)当今医学上对某些肿瘤采用质子疗法进行治疗，该疗法用一定能量的质子束照射肿瘤杀死癌细胞。现用一直线加速器来加速质子，使其从静止开始被加速到1.0×107 m/s。已知加速电场的场强为1.3×105 N/C，质子的质量为1.67×10－27 kg，电荷量为1.6×10－19 C，则下列说法正确的是(　　)
A．加速过程中质子电势能增加
B．质子所受到的电场力约为2×10－15 N
C．质子加速需要的时间约为8×10－6 s
D．加速器加速的直线长度约为4 m
[答案]　D
带电体在电场中的直线运动
考向2
[答案]　B
[解析]　根据平衡条件和几何关系，对小球受力分析如图所示
[规律方法]　带电粒子(体)在电场中直线运动的分析方法
带电粒子在交变电场中的直线运动
考向3
(2026·山东菏泽市开学考)如图甲为直线加速器原理图，由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上。序号为奇数的圆筒和交流电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交流电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。已知电子的质量为m、元电荷为e、电压的绝对值为u，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板(序号为0)中央有一个初速度为零的电子。下列说法正确的是(　　)
A．电子在圆筒中做匀加速直线运动
B．本装置可采用直流电进行加速
[答案]　C
考点二　带电粒子(或带电体)在电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中的偏转
(1)研究条件：带电粒子_______于电场方向进入匀强电场。
(2)处理方法：类似于___________，应用运动的合成与分解的方法。
①沿初速度方向做___________运动，运动时间t＝______。
②沿电场方向，做初速度为零的_____________运动。
垂直
平抛运动
匀速直线
匀加速直线
2．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。
3．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
带电粒子在电场中的偏转
考向1
(2025·重庆卷·5题)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　)
A．具有不同比荷
B．电势能均随时间逐渐增大
C．到达M、N的速度大小相等
D．到达K所用时间之比为1∶2
[答案]　D
均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误；沿电场方向，由公式vy＝at可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为2∶1，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误；由图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1，则所用时间之比为1∶2，故D正确。故选D。
跟 踪 训 练
1．如图所示，空间固定两平行板电容器甲、乙，甲电容器水平放置，乙电容器两极板与水平方向的夹角为53°，B极板的右端与C极板的下端彼此靠近且绝缘，忽略极板外的电场。一电子从靠近A板左端的位置，以水平向右的速度v0射入，飞离甲后垂直C从小孔进入乙，且恰好到达D。已知电子的质量为m，电荷量为e，甲、乙板间距离均为d，甲的板长为2d，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
(1)电子离开甲电容器的速度大小；
(2)甲电容器的板间电压；
(3)乙电容器的板间电压；
(4)电子从开始至到达D极板所用时间。
带电体在电场中的匀变速曲线运动
考向2
(多选)如图所示，一质量为m、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为v0，方向与竖直方向的夹角为30°，它运动到B点时速度大小仍为v0，方向与竖直方向的夹角为60°，则液滴从A运动到B的过程(　　)
A．液滴在水平方向和竖直方向的分位移相等
[答案]　AD
带电粒子在电场中的先加速后偏转
考向3
(2025·甘肃卷·7题)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO′方向射入电压为U2的电场(OO′为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2－t关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O′点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2＝±Um时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
[答案]　B
的辐照范围，则需减小U1，C错误；由题图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到A点时的竖直位移小于打到B点时的竖直位移，D错误。故选B。
[规律方法]　确定最终偏移距离
思路一
思路二
带电粒子在交变电场中的偏转
考向4
1．带电粒子在交变电场中偏转时的运动分析
当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。
2．思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
3．解题技巧
(1)按周期性分段研究。
4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场瞬间可认为是在匀强电场中运动。
A．所有电子离开电场时的速度方向均与初速度方向相同
B．离开金属板时，侧位移越大的电子动能越大
[答案]　AC
提能训练　练案[49]
基础巩固练
1．(2025·全国卷理综·17题)匀强电场中，一带正电的点电荷仅在电场力的作用下以某一初速度开始运动，则运动过程中，其(　　)
A．所处位置的电势一定不断降低
B．所处位置的电势一定不断升高
C．轨迹可能是与电场线平行的直线
D．轨迹可能是与电场线垂直的直线
[答案]　C
[解析]　在匀强电场中，带正电的点电荷所受电场力恒定，方向与电场线方向一致，加速度恒定。分析各选项：若初速度方向与电场力方向相反(如初速度向左，电场力向右)，电荷会先减速至零再反向加速。在减速阶段，电荷沿电场线反方向运动，电势升高。因此电势不一定一直降低，故A错误；若初速度方向与电场力方向相同(如初速度向右，电场力向右)，电荷将一直加速，电势不断降低，因此电势不一定升高，故B错误；若初速度方向与电场力方向共线(同向或反向)，电荷将做匀变速直线运动，轨迹与电场线平行，故C正确；若轨迹与电场线垂直，则电荷初速度方向与电场力方向垂直。但电场力大小方向恒定，此时电荷将做类平抛运动，轨迹是曲线，故D错误。故选C。
2．四个带电粒子的电荷量和质量分别(＋q，m)、(＋q，2m)、 (＋3q，3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一沿y轴负方向的匀强电场，不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是(　　)
[答案]　A
3．(2024·辽宁朝阳市二模)如图所示，两平行金属板带有等量异种电荷，极板与外电路断开，一电子从O点沿垂直极板方向射出，最远能达到A点，然后返回。不计电子的重力，若电子从O点射出的初速度不变，将右极板向右平移一小段距离，则(　　)
A．电子最远能达到A点右侧某点
B．电子最远不可能再达到A点
C．电子返回O点所用时间不变
D．电子返回O点时速度会变小
[答案]　C
4．(多选)如图所示，六面体真空盒置于水平面上，它的ABCD面与EFGH面为金属板，其他面为绝缘材料。ABCD面带正电，EFGH面带负电。从小孔P沿水平方向以相同速率射入三个质量相同的带正电液滴a、b、c，最后分别落在1、2、3三点，不计三个液滴间的相互作用，则下列说法正确的是(　　)
A．三个液滴在真空盒中都做平抛运动
B．三个液滴的运动时间一定相同
C．三个液滴落到底板时的速率相同
D．液滴c所带电荷量最多
[答案]　BD
[解析]　三个液滴在水平方向受到静电力作用，水平方向不是匀速直线运动，所以三个液滴在真空盒中不是做平抛运动，选项A错误；由于三个液滴在竖直方向均做自由落体运动，三个液滴的运动时间相同，选项B正确；三个液滴落到底板时竖直分速度相等，而水平分速度不相等，所以三个液滴落到底板时的速率不相同，选项C错误；由于液滴c在水平方向位移最大，说明液滴c在水平方向加速度最大，所带电荷量最多，选项D正确。故选BD。
5．如图所示的纸面是光滑、绝缘的水平桌面。在桌面上有一直角坐标系xOy，它的第一象限内有一过O点的虚线OP，虚线与x轴正方向间夹角θ＝30°。虚线右下方到第四象限内有与虚线平行、电场强度E＝1.0×103 N/C的匀强电场。虚线上有一点K，OK＝5 m。一个质量为m＝0.02 kg、电荷量为q＝－1.0×10－4 C的带负电小球从K点以速度v＝4 m/s垂直虚线射入电场，则小球运动过程中(　　)
A．到x轴的最小距离为0.1 m
B．到x轴的最小距离为2.4 m
C．恰能到达x轴
D．能穿过x轴
[答案]　A
能力提升练
6．如图所示，在真空中，将一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子从A点以初速度v0竖直向上射入水平向右的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速度vB＝2v0，方向与电场的方向一致，则A、B两点的电势差为(　　)
[答案]　C
7．(2024·辽宁卷·6题)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中(　　)
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
[答案]　D
[解析]　根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场强度方向水平向右，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的运动方向相同，则电场力对小球做正功，小球的动能增大，电势能减小。故选D。
8．(2025·浙江高三校联考)让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物由静止开始经过同一加速电场加速，然后在同一偏转电场里偏转，最后都从偏转电场右侧离开，图中画出了其中一种粒子的运动轨迹，下列说法正确的是(　　)
A．在加速电场中运动时间最长的是一价氢离子
B．经加速电场加速度后动能最小的是二价氦离子
C．在偏转电场中三种离子的加速度之比为1∶4∶2
D．在加速和偏转过程中三种离子的轨迹都重合
[答案]　D
9．(多选)如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入(记为t＝0时刻)，同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受电场力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出，则下列说法中正确的是(　　)
A．若粒子在t＝3 s时未射出，则粒子在垂直极板方向的速度不为0
B．粒子射出时的速度大小一定为v
[答案]　BC
10．(2025·河南卷·13题)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞)，液滴质量均为m＝2.0×10－10 kg。当液滴穿过
激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为q＝1.0×10－3 C。随后，液滴以v＝2.0 m/s的速度竖直进入长度为l＝2.0× 10－2 m的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为E＝2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h＝0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B细胞收集管的间距。
[答案]　(1)5×10－3 m　(2)0.11 m
(2)含A细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则h＝vt2，x2＝at1t2
联立解得x2＝0.05 m
由对称性可知则A、B细胞收集管的间距Δx＝2(x1＋x2)＝2×(0.005＋0.05)m＝0.11 m。
11．如图甲所示，真空中相距d＝5 cm的两块平行金属板A、B与电源连接(图中未画出)，其中B板接地(电势为零)，A板电势变化的规律如图乙所示。将一个质量m＝2.0×10－27 kg、电荷量q＝＋1.6×10－19 C的带电粒子从紧邻B板处释放，不计粒子重力。求：
(1)若A板电势变化周期T＝1.0×10－5 s，在t＝0时将带电粒子从紧邻B板处无初速度释放，粒子到达A板时的速度大小；
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