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第十一章
磁场
第59讲　带电粒子在匀强磁场中的运动
学习目标 命题热点
(1)掌握洛伦兹力的大小和方向的判断方法，并理解洛伦兹力的特点。 (2)掌握带电粒子在磁场中运动的半径和周期。 (3)学会分析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间。 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径、速度和时间的计算在高考中命题频率较高。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[59]
考点一　洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力：磁场对___________的作用力。
2．洛伦兹力的方向(左手定则)
(1)伸出左手，使拇指与其余四个手指_______，并且都与手掌在同一个平面内。
(2)让磁感线从掌心进入，并使_______指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。
运动电荷
垂直
四指
(3)_______所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。
如图，①表示_________运动的方向或_________运动的反方向，②表示_______的方向，③表示___________的方向。
拇指
正电荷
负电荷
磁场
洛伦兹力
3．洛伦兹力的大小：F＝______________，θ是v与B之间的夹角。
(1)当v∥B时，F＝______。
(2)当v⊥B时，F＝_______。
注意：洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
4．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
qvBsin θ
0
qvB
5．洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力 静电力
产生 条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
方向 F⊥B且F⊥v 正电荷受力与电场强度方向相同，负电荷受力与电场强度方向相反
做功 情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功
易 错 辨 析
1．带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。(　　)
2．洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。(　　)
3．由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。(　　)
×
×
×
自 主 验 收
1．(洛伦兹力的特点)真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。直径略小于绝缘管直径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球先加速后减速
B．小球受到的洛伦兹力始终为零
C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向始终竖直向上
[答案]　C
[解析]　根据安培定则可知，直导线产生的磁场的磁感线如图中虚线所示，洛伦兹力始终与小球运动方向垂直，故不做功，小球速率不变，A错误；当运动到ab中点时，磁感线与速度方向平行，所受洛伦兹力为零，自a端到中点洛伦兹力竖直向下，中点到b端洛伦兹力竖直向上，B、D错误，C正确。
2．(洛伦兹力与静电力的比较)(多选)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够到达的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图所示。不计空气阻力，则(　　)
A．一定有h1＝h3
B．一定有h1C．h2与h4无法比较
D．h1与h2无法比较
[答案]　AC
考点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
1．粒子的运动性质
(1)若v0∥B，则粒子______________，在磁场中做_____________。
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做_______________。
不受洛伦兹力
匀速直线运动
匀速圆周运动
2．基本公式
(1)由qvB＝________，得r＝______。
3．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。
4．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
易 错 辨 析
1．带电粒子(重力不计)在磁场中可能做匀加速直线运动。(　　)
×
×
√
带电粒子在磁场中的运动
考向1
(3)设速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点时打开磁场开关，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图中③所示
由几何关系有(4r1－2r1)2＋ON2＝(4r1)2
带电粒子在有界磁场中的运动
考向2
(多选)(2025·四川卷·10题)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin 37°＝0.6。则带电粒子(　　)
A．在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D．在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
[答案]　AD
跟 踪 训 练
1．(带电粒子在直线边界磁场中的运动)(2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
[答案]　C
2．(带电粒子在圆形边界磁场中的运动)(多选)半径为R的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场。不计重力的a、b两粒子从圆周上的P点沿着半径方向射入磁场，分别从A、B两点离开磁场，运动轨迹如图所示。已知a、b两粒子进入磁场时的速率之比为1∶2，AOB为直径，∠AOP＝60°。忽略粒子间相互作用。下列说法正确的是(　　)
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a、b两粒子的比荷之比为3∶2
C．a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1
D．a、b两粒子的轨道半径之比为1∶3
[答案]　BD
A．粒子在磁场中运动的半径为L
B．与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出
C．在AC边界上有粒子射出的区域长度为L
D．所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
[答案]　ABC
提能训练　练案[59]
基础巩固练
1．(2023·海南卷·2题)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是(　　)
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
[答案]　A
[解析]　小球带正电，由左手定则可知刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；小球受洛伦兹力和重力的作用，做曲线运动，速度方向时刻变化，B错误；重力方向始终竖直向下，洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，速度方向时刻变化，则合力方向时刻变化，由牛顿第二定律知加速度方向时刻变化，C错误；洛伦兹力始终与小球的速度方向垂直，故洛伦兹力对小球不做功，D错误。
2．(多选)(2025·广东广州市调研)如图，立方体区域abcd－a′b′c′d′处在匀强磁场中，带电粒子以一定初速度从a点沿ab方向垂直磁场进入该区域，粒子仅受磁场力，且能通过c′
点，则该匀强磁场方向可能(　　)
A．由a指向d B．由a指向d′
C．由a′指向d D．由d指向a′
[答案]　CD
[解析]　带电粒子以一定初速度从a点沿ab方向垂直磁场进入该区域，粒子仅受磁场力，且能通过c′点，可知带电粒子在abc′d′平面内做匀速圆周运动，则磁场方向应垂直于abc′d′平面，由于粒子电性未知，所以该匀强磁场方向可能由a′指向d，也可能由d指向a′。故选CD。
3．(2025·全国理综·18题)如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则(　　)
A．t1C．t1＝t2>t3 D．t1>t2>t3
[答案]　A
4．正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是(　　)
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大
D．轨迹3对应的粒子是正电子
[答案]　A
[答案]　A
[答案]　B
能力提升练
7．(多选)(2026·山西太原期末)两个带等量异种电荷的粒子a和b，分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则(　　)
A．a粒子带正电，b粒子带负电
C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
[答案]　BD
[答案]　AC
9．如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里。有一电子(质量为m、电荷量为e)从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)磁场区域的圆心O1的坐标；
(3)电子在磁场中运动的时间。
如图所示，过A、B点分别作速度方向的垂线交于C点，则C点为轨迹圆的圆心，已知B点速度方向与x轴正方向之间的夹角为60°，
由几何关系得，轨迹圆的圆心角∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝r，
已知OA＝L，得OC＝r－L
由几何知识得r＝2L
(1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。
(3)要使(2)问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图
(3)由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图
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