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第十一章
磁场
第60讲　专题强化十六　带电粒子在磁场中运动的多解问题　用“动态圆”思想处理临界问题
学习目标 命题热点
(1)会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。 (2)理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”的适用条件。 (3)会用“平移圆”法、“旋转圆”法、“放缩圆”法分析临界问题。 临界问题在高考中命题频率均较高，主要考查临界速度、最长时间、最短时间、大量的带电粒子打到板上范围的计算；多解问题主要考查带电粒子往复性形成的多解问题。
考点一
考点二
提能训练　练案[60]
考点一　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
多解分类 多解原因 示意图
带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
多解分类 多解原因 示意图
磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况
粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
多解分类 多解原因 示意图
临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出
运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性
CD＝l，l＝n·2r，即粒子到D点半径有n个值
临界状态不唯一形成的多解问题
考向1
[答案]　C
磁场方向不确定形成的多解问题
考向2
[答案]　BD
[解析]　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图(大圆弧)
运动的往复性形成的多解问题
考向3
[答案]　BC
[解析]　若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
当粒子上下均经历一次时，如图
[规律方法]　求解有界磁场中多解问题的技巧
(1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。
考点二　用“动态圆”思想处理临界问题
分析临界、极值问题常用的四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场区域圆直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
动态圆放缩法
考向1
适用 条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径与粒子速度大小有关
特点 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
[答案]　BD
[答案]　BD
[解析]　由题意，作出a粒子运动轨迹图，如图所示
定圆旋转法
考向2
[答案]　C
平移圆法
考向3
(多选)(2026·湖北黄冈期末)如图所示，在等腰直角三角形ABC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)。一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是(　　)
[答案]　AB
[规律方法]　1．临界问题的分析重点是临界状态
临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。
2．极值问题
所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。
提能训练　练案[60]
基础巩固练
1．(多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时
间可能为(　　)
[答案]　AD
2．如图所示，正方形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中，边长为l，不计粒子的重力，为使粒子从cd边射出磁场区域，粒子的速度可能为(　　)
[答案]　C
3．(多选)(2026·海南海口市期末)如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们轨迹在同一平面(纸面)内，忽略粒子重力及相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场
区域的运动周期相同
B．④粒子的速率最大
C．③粒子的向心加速度最大
D．②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
[答案]　AB
4．如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计，粒子间的相互作用不计)，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　)
[答案]　C
5．如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为L，∠C＝30°，相同带正电粒子(不计重力及粒子间相互作用)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场，则(　　)
A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B．粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C点
射出的
C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长
[答案]　D
6．(多选)(2025·洛阳高三模拟)如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q的粒子(不计粒子重力)，在竖直平面内，沿着与MN夹角为θ＝30°的方向射入磁场中。则下列说法正确的是(　　)
[答案]　BC
[答案]　C
8．(多选)(2025·河北卷·10题)如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距为d，M板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知OQ＝3L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电荷量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是(　　)
A．粒子一定带正电
B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小
C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为7L
[答案]　BCD
9．(2026·河南信阳质检)如图，平行的MN、PQ与MP间(含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界MN与MP的夹角α＝30°，点P处有一离子源，离子源能够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于MP的正、负离子，离子运动一段时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从边界PQ射出的离子，离子速度为v0时射出点与P点距离最大为xm，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用。求：
(1)射出点与P点最大距离xm；
(2)从边界MP射出的离子，速度的最大值。
[解析]　(1)设离子的质量为m、电荷量为q，从边界PQ射出的速度为v0的离子，设其运动半径为R1，运动轨迹恰好与MN相切，
运动轨迹如图中2所示
(3)若所有粒子的速度为第(2)问所求，欲使所有粒子经磁场偏转后，都平行于y轴负方向离开磁场，求磁场区域的最小面积，并画出磁场区域，计算结果用R表示，R为粒子在磁场中运动的轨道半径。
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