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第九章
静电场
第46讲　静电场能的性质
学习目标 命题热点
(1)知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的含义，掌握静电力做功与电势能变化的关系。 (2)掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系。 (3)会处理电场线、等势面与运动轨迹结合问题。 以下三个问题在高考中考查频率较高
(1)电势高低和电势能大小的判断。
(2)等势面的特点及应用。
(3)等分法画电场线求电场强度。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[46]
考点一　静电力做功、电势能和电势
1．电场力做功的特点
电场力做功与_______无关，只与_____________有关。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。
(2)说明：电势能具有相对性，通常把___________或___________的电势能规定为零。
路径
初、末位置
无限远处
大地表面
3．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的________，即WAB＝_________。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就_______多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就_______多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
减少量
EpA－EpB
减少
增加
4．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的_________与它的电荷量之比叫作电场在这一点的电势。
(3)标矢性：电势是_____量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
电势能
标
若空间中有多个点电荷，则空间中某点的电势等于每个点电荷单独存在于该点的电势的代数和。
(5)相对性：电势具有_________，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
相对性
5．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，_____________与移动电荷的_________的比值。
(2)定义式：UAB＝______。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝_________，UAB＝－UBA。
电场力做的功
电荷量
φA－φB
①注意角标顺序：WAB表示电荷从A移到B电场力做的功；UAB表示φA－φB。
②应用的各量均代入正、负号。
③UAB＝______适用于任何电场。
易 错 辨 析
1．电场中电场强度为零的地方电势一定为零。(　 　)
2．带电粒子仅受电场力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。(　 　)
3．由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关。(　 　)
4．电势差UAB与WAB成正比，与q成反比。(　 　)
×
×
√
×
现代农业通过“空间电场”技术优化大气与地表间形成的自然电场。如图所示，高压电源与悬挂电极连接，电极与土壤间形成空间电场，这样，带负电的病原孢子就会在空间电场的作用下向悬挂电极移动，从而达到防病害的效果。M、N、P为电场中的三点，则可判断出(　　)
A．悬挂电极连接的是电源负极
B．M点电势高于P点电势
C．M、N处电场强度相同
D．病原孢子向悬挂电极移动过程中，电势能增大
[答案]　B
[解析]　带负电的病原孢子会在空间电场的作用下向悬挂电极移动，负电荷所受电场力向上，电场强度向下，悬挂电极带正电，A错误；沿着电场线的方向电势降低，电场强度向下，M点电势高于P点电势，B正确；电场强度的方向沿着电场线的切线方向，M、N处电场强度方向不同，电场强度不相同，C错误；带负电的病原孢子向悬挂电极移动过程中，电场强度向下，负电荷所受电场力向上，电场力做正功，电势能减小，D错误。故选B。
[规律方法]　1．电势高低的判断
2．电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正电荷Ep的绝对值越大，电势能越大；负电荷Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加
能量 守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
跟 踪 训 练
1．如图所示，等边三角形的顶点A、B、C分别固定三个等量正点电荷，O点为三角形的中心，D、E、F为三角形各边中点，G、H两点关于BC的中垂线对称。图中实线为电场线，规定无穷远处的电势为零。下列说法正确的是(　　)
A．O点的电场强度和电势均为零
B．D、E、F点的电场强度相同
C．D、E、F点的电势相等
D．负电荷在H点的电势能大于在G点的电势能
[答案]　C
[解析]　O点为该正三角形的中心，O点到A、B、C点的距离相等，则点电荷在O点的电场强度都相等，由于相邻电场强度的夹角均为120°，则O点合场强为零；无穷远处电势为零，可知O点电势大于零，故A错误；电场线的切线方向为场强方向，D、E、F点的场强方向不同，因此D、E、F点的电场强度不同，故B错误；D、E、F三点电场强度大小相等，E、F在A点电场的等势面上，D、F在B点电场的等势面上，D、E在C点电场的等势面上，又因为AD＝BE＝CF。所以D、E、F三点电势相等，故C正确；由于H、G在同一等势面上，因此负电荷在H点的电势能等于在G点的电势能，故D错误。故选C。
考点二　电势差与电场强度的关系
1．电势差与电场强度的关系式：U＝_________，其中d为电场中两点间沿_____________的距离。
2．电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指_________最快的方向。在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿_____________单位距离上降低的_______。
E·d
电场线方向
电势降低
电场线方向
电势
3．匀强电场中电势差与电场强度关系的三个推论
(3)在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等，如图乙所示， ABCD中，UAB＝UDC，UBC＝UAD。
易 错 辨 析
1．电势降低的方向一定是电场强度方向。(　 　)
2．匀强电场中，任意一条直线上，经过相等距离电势差一定相等。(　 　)
3．U＝E·d适用于任何电场。(　 　)
×
√
×
等分法求解电场强度
考向1
(多选)(2025·湖南卷·8题)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为＋q、－q和＋2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A．OA中点的电势为零
B．电场的方向与x轴正方向成60°角
[答案]　AD
[规律方法]　等分法确定电场线及电势高低的解题思路
跟 踪 训 练
2．(2026·山东青岛二中期末)如图所示，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长L＝4 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、C、D的电势分别为－4 V、0、 8 V、12 V。则下列说法正确的是(　　)
A．E点的电势φE＝0
B．A、F间的电势差UAF＝0
C．该匀强电场的电场强度大小E＝100 V/m
D．该匀强电场的电场线垂直于BF连线，且指向A
[答案]　D
非匀强电场中电场强度和电势差的关系
考向2
如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是(　　)
A．O点电势与Q点电势相等
B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C．MO间的电势差等于ON间的电势差
D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
[答案]　B
[解析]　过O点和Q点作电场的等势面，如图所示，由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A项错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，故电荷的电势能减少，故B项正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均场强大于ON间的平均场强，因
此由U＝Ed可推得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C项错误；在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D项错误。
[规律方法]　非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
考点三　等势面　电场线(等势面)与粒子运动轨迹的关系
1．等势面
(1)定义：电场中___________的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与_________垂直。
②在_____________上移动电荷时电场力不做功。
③任意两个等势面都不相交。
④等差等势面越密的地方电场强度_______，反之_______。
电势相等
电场线
同一等势面
越大
越小
(3)常见电场线与等势面
电场 等势面(实线)图样 重要特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
电场 等势面(实线)图样 重要特点
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场 在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
2．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便。
(2)判断静电力的方向：从轨迹的弯曲方向判断受力方向，从而分析电场线的方向或电荷的正负。
若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线。
若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直。
(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
易 错 辨 析
1．同一等势面上各点的电势和电场强度都相同。(　 　)
2．等势面一定与电场线垂直。(　 　)
3．等差等势面，等势面密处，电场线一定也密集。(　 　)
×
√
√
等势面的理解和应用
考向1
[答案]　C
[解析]　根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故A、B错误；一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc＝－eUbc＝2 eV，故C正确；一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad＝－eUbc＝4 eV，由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减少了4 eV，故D错误。故选C。
电场线、等势面与粒子运动轨迹
考向2
(多选)静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)和电子显微镜中。如图所示为某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹运动，下列说法正确的是(　　)
A．O点的电场强度小于P点的电场强度
B．各点电势高低为φP＜φO＜φR
C．该电子束从P点到R点过程中动能一直增大
D．该电子束从P点到R点过程中电势能一直增大
[答案]　BC
[解析]　由题图知，O点附近的等差等势面比P点附近的等差等势面密集，则O点的电场强度大于P点的电场强度，故A错误；根据沿电场线方向电势降低，有φP＜φO＜φR，故B正确；电子束从P点到R点过程中，静电力一直做正功，因此该电子束从P点到R点过程中电势能一直减小，动能一直增大，故C正确，D错误。
跟 踪 训 练
3．(多选)(2024·甘肃卷·9题)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带负电荷
B．M点的电场强度比N点的小
C．粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
[答案]　BCD
[解析]
4．如图所示，由于细胞的存在，两带电的平行金属板间形成了如图所示的电场。其中实线为电场线，关于y轴对称分布。虚线为带电的外源DNA分子在电场中运动的轨迹，M、N为轨迹上的两点，P点与N点关于y轴对称。下列说法正确的是(　　)
A．N、P两点的电场强度相同
B．M点的电势比N点的电势高
C．DNA分子在M点的加速度比在N点的大
D．DNA分子在M点的电势能比在N点的大
[答案]　D
[解析]　电场强度是矢量，N、P两点关于y轴对称，从图中可以看出电场强度大小相等，但方向不同，所以N、P两点的电场强度不相同，故A错误；沿电场线方向电势逐渐降低，从图中可以看到电场线方向，由此可判断M点所在等势面的电势低于N点所在等势面的电势，即M点的电势比N点的电势低，故B错误；电场线的疏密表示电场强度的大小，从图中可以看出M点处电场线比N点处电场线稀疏，所以M点的电场强度小于N点的电场强度，设DNA分子所带电荷量为q，对DNA分子列牛顿第二定律方程有F＝Eq＝ma，解得DNA分子的加速度为a＝
提能训练　练案[46]
基础巩固练
1．(多选)如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知MQ＜NQ。下列叙述正确的是(　　)
A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电
力对该电荷做正功，电势能减少
B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加
C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移到M点，则该电荷克服静电力所做的功等于静电力对该电荷所做的功，电势能不变
[答案]　AD
[解析]　由点电荷产生的电场的特点可知，M点的电势高，N点的电势低，所以正的点电荷从M点沿直线移到N点，静电力做正功，电势能减少，故选项A正确，B错误；负的点电荷由M点沿直线移到N点，克服静电力做功，电势能增加，故选项C错误；静电力做功与路径无关，负的点电荷从M点出发然后又回到M点，则整个过程中静电力做的总功为零，电势能不变，故选项D正确。
2．(多选)(2023·广东卷·9题)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒。当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(每个微粒电荷量保持不变)，像素由黑色变成白色。下列说法正确的有(　　)
A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势
B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势
C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功
D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功
[答案]　AC
[解析]　像素呈黑色时，胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A正确；像素呈白色时，胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力向上，位移向上，电场力对白色微粒做正功，故C正确；像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力向下，位移向下，电场力对黑色微粒做正功，故D错误。故选AC。
3．一电荷量为1×10－9 C的负电荷从电场中的A点移至B点克服静电力做功为2×10－6 J，从A点移至C点静电力做功为3×10－6 J，则B、C间的电势差UBC为(　　)
A．1 000 V B．－1 000 V
C．5 000 V D．－5 000 V
[答案]　D
4．(2025·河南卷·4题)如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
[答案]　C
[解析]　匀强电场中任意两点间的中点电势等于这两点的平均值，可知ac中点d的电势与b点相同，bd的连线为该匀强电场的等势线。电场线垂直于等势线且由高电势指向低电势，故电场线沿ac方向且由a指向c，C选项正确。故选C。
5．(多选)两个不规则带电导体间的电场线分布如图所示，a、b、c、d为电场中几个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，以无穷远为零电势点，则(　　)
A．导体表面处电场强度为0
B．电势大小关系有φa>φc>φd
C．将一负电荷由d点移到a点的过程中电场力做正功
D．将一正电荷从b点由静止释放将沿电场线运动至导体表面
[答案]　BC
[解析]　处于静电平衡的导体，表面处电场线与表面处处垂直，电场强度不为0，故A错误；沿着电场线，电势逐渐降低，故φa>φc>φd，故B正确；因a点电势高于d点，将一负电荷由d点移到a点的过程中电势能减小，则电场力做正功，故C正确；因b点附近的电场线是曲线，则将一正电荷从b点由静止释放，电荷不会沿电场线运动，故D错误。故选BC。
6．(2026·湖南株洲一模)如图，一对固定不动的等量异种点电荷的连线与其中垂线相交于O点，以O点为圆心的两个半径不等的圆，分别与中垂线交于e、f两点，与连线交于g、h两点，两圆的直径均小于两点电荷连线的长度，则(　　)
A．g点的电场强度大于h点的电场强度
B．g点的电势大于h点的电势
C．e点的电势大于f点的电势
D．将质子从e点移到g点与从f点移到h点静电力做功相等
[答案]　B
[解析]　根据等量异种点电荷连线上电场强度分布规律可知，g点的电场强度小于h点的电场强度，故A错误；根据沿电场线方向电势降低，可知g点的电势大于h点的电势，故B正确；根据等量异种点电荷连线中垂线上各点电势相等，可知e点的电势等于f点的电势，故C错误；根据电势差定义式，可得Ueg＝φe－φg，Ufh＝φf－φh又φe＝φf，φg>φh，解得Ueg7．(2025·浙江1月选考·4题)三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d、e与e、f两点间的距离相等，则(　　)
A．a点电势高于b点电势
B．a、c两点的电场强度相同
C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等
[答案]　D
[解析]　电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误；a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误；从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合U＝Ed可知08．高压电场干燥中药技术基本原理如图所示，在一个很大的导体板MN上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生较强的电场。水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电，另一端带等量负电。水分子在静电力的作用下会加速从中药材中分离出去，被鼓风机吹出的水平微风裹挟着飞离电场区域。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始运动的轨迹，不计阻力与水分子的重力。下列说法正确的是(　　)
A．水分子的运动轨迹ABCD是一条抛物线
B．水分子运动过程中的加速度保持不变
C．水分子运动过程中轨迹上各点电势逐渐降低
D．水分子运动过程中的电势能不断减小
[答案]　D
[解析]　因为电场不是匀强电场，所以水分子受力方向一直在变，所以不是类平抛运动，轨迹不是抛物线，故A错误；根据电场线疏密可以判断电场强度大小，所以D点电场线最密，电场强度最大，所以水分子运动过程中所受静电力越来越大，加速度越来越大，故B错误；沿电场线方向电势越来越低，所以A点电势最低，沿着曲线ABCD方向电势越来越高，故C错误；水分子从静止开始运动，静电力做正功，电势能减小，故D正确。
能力提升练
9．如图所示，A、B、C、D是正方形的四个顶点，在A点和C点放有电荷量均为q的正电荷，在B点放了某个未知电荷q′后，D点的电场强度恰好等于0。规定无穷远处电势为零，则(　　)
A．放入电荷q′前D点电场方向与AC连线平行
B．q′的电荷量大小等于q
C．放入电荷q′后D点电势降低
D．将q′沿BD移到D点，电势能先增大再减小
[答案]　C
10．(2025·北京卷·8题)某小山坡的等高线如图，M表示山顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则(　　)
A．小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B．小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大
D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快
[答案]　D
[解析]　等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得a＝ gsin θ(θ为坡面与水平面夹角)，MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时加速度比沿着MA运动时加速度大，A错误；A、B在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒，运动到A、B点时速度大小相同，B错误；等势线越密集，电场强度越大，B处等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误；等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。故选D。
11．(多选)冷冻电镜技术可解析晶态冰中蛋白质三维结构。电子透镜是冷冻电镜中的关键部分，其中一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等，现有一电子以一定初速度进入该区域，实线为运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。下列说法正确的是(　　)
A．电子透镜的电场可能是两个等量异种点电荷产生的
B．a点的电势高于b点的电势
C．若该电子从a向b运动，则电子在a点的动能小于在b点的动能
D．电子a点的电势能大于在b点的电势能
[答案]　CD
[解析]　根据等势面电场线关系，画出电场线，如图所示，由电场线的分布看，电子透镜的等差等势面不可能是两个等量异种点电荷产生的，故A错误；根据物体做曲线运动时，合外力指向轨迹的凹侧，故电子受电场力大致指向右侧，故电场线方向大致指向左侧，沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以a点的电势低于b点的电势，故B错误；根据公
式Ep＝φq可知，电子在a点的电势能大于在b点的电势能，若该电子从a向b运动，电势能减小，电场力做正功，电子的动能增加，则电子在a点的动能小于在b点的动能，故C、D正确。故选CD。
12．如图所示，某平面内有一个矩形，已知AC＝10 cm，∠CAB＝53°，∠CAD＝37°，在该平面内存在一匀强电场，A、B、D三点电势分别为φA＝100 V，φB＝64 V，φD＝36 V，下列说法正确的是(　　)
A．该电场的电场强度大小为10 V/m
B．A点电势比C点电势低100 V
C．电子自D点移动到B点电势能增加75 eV
D．电子自C点移动到B点电势能减少64 eV
[答案]　D
13．如图所示，空间中存在平行于菱形abcd所在平面的匀强电场(未画出)，a点处有一粒子源，可不断地朝各方向发射电荷量为q、初动能为Ek的带正电的粒子，经过b点时粒子的动能为3Ek，经过d点时粒子的动能为5Ek。已知菱形的边长为L，∠a＝60°，粒子的重力忽略不计。则该电场的电场强度的大小为(　　)
[答案]　C
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