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第九章
静电场
第47讲　专题强化十二　电场中功能关系及图像问题
学习目标 命题热点
(1)掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。 (2)掌握电场中的几种常见图像。 以下两个问题在高考中考查频率较高
(1)电场中各种功能关系的应用。
(2)φ－x图像的理解和应用。
考点一
考点二
提能训练　练案[47]
考点一　电场中功能关系的综合问题
1．电场力做功的求解方法
由公式W＝Flcos α计算 只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcos α
由WAB＝qUAB计算 适用于任何电场
由电势能的变化计算 WAB＝EpA－EpB
由动能定理计算 W电场力＋W其他力＝ΔEk
2．几种常见的功能关系
(1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝ －ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep弹1－Ep弹2＝ －ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。
3．电场中的能量守恒
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(2025·黑吉辽蒙卷·7题)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A．EkAC．EkA[答案]　C
[解析]　由题意可得A点弹簧伸长量为r，B点和C点弹簧压缩量为r，即三个位置弹簧弹性势能相等，则由A到B过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加，EkB>EkA，同理B到C过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小，EkB>EkC，由A到C全过程则有qElAB－mglBC＝EkC－EkA>0，因此EkA跟 踪 训 练
1．(多选)(2024·山东卷·10题)如图所示，电荷量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、电荷量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　)
[答案]　AD
2．(多选)如图所示，倾角为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有平行斜面向上的匀强电场。一质量为m＝1 kg的带正电小物块(视为质点)自斜面底端以v0＝6 m/s的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为3 m/s2，方向沿斜面向下，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中，小物块的(　　)
A．重力势能增加36 J B．电势能增加42 J
C．机械能增加18 J D．机械能减少24 J
[答案]　AC
考点二　电场中的图像问题
v－t图像
考向1
(1)由v－t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化。
(3)根据v－t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方向。
(4)由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等。
(多选)(2026·辽宁抚顺联考)一带负电粒子仅在静电力的作用下从A点沿直线运动到B点，速度由v1变为v2，其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．A、B两点的电势关系为φA>φB
B．A点附近的等势面要比B点附近的等势面稀疏
C．A、B两点的电场强度大小关系为EA>EB
D．粒子从A点到B点的过程中，可能两次经过同
一个等势面
[答案]　AC
[解析]　根据速度由v1变为v2，速度减小，可知静电力对粒子做负功，电势能增加。根据带电粒子在电场中的运动规律可知，负电荷高势低能，则φA>φB，故A正确；电场线密集的位置等势面密集，电场强度更大，则带电粒子受到的静电力更大，加速度大，在v－t图像中斜率的绝对值更大，A处斜率的绝对值大于B处斜率的绝对值，则电场强度的关系EA>EB，A点附近的等势面要比B点附近的等势面密集，故B错误，C正确；粒子从A点到B点的过程中，速度一直减小，则静电力一直做负功，电势能一直增大，故不可能两次经过同一个等势面，故D错误。故选AC。
E－x图像
考向2
(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点电势的高低。
某静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为场强正方向，其中x1、x2、x3、x4是间隔相等的四点，x1到x4范围内的E－x图像与横轴所包围的面积为S，对于电荷量为q，质量为m的正点电荷，下列说法正确的是(　　)
A．x3处电势最高
B．x2和x4处电势相等
C．由x1静止释放仅在电场力作用下运动到x4
时的动能Ek＝qS
D．由x1静止释放仅在电场力作用下运动到x4过程中，电势能先增大后减小
[答案]　C
[解析]　x1～x4范围内场强方向沿x轴正方向，根据沿着电场方向电势降低，可知x1处电势最高，且从x1处到x4处电势逐渐降低，所以x2和x4处电势不相等，故A、B错误；根据U＝Ex，可知，E－x图线与x轴所围的面积表示电势差，则x1、x4两点之间的电势差可以用S表示，根据动能定理可得正电荷由x1静止释放仅在电场力作用下运动到x4时的动能Ek＝qU＝qS，故C正确；正点电荷由x1静止释放仅在电场力作用下运动到x4的过程中电场力始终做正功，所以电势能一直减小，故D错误。故选C。
φ－x图像
考向3
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。
2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图)
(2025·海南卷·6题)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向沿x负方向
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．电子在P点的动能小于在N点的动能
D．电子在M点的电势能大于在P点的电势能
[答案]　D
[解析]　由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ－x图像斜率表示电场强度，由图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。故选D。
跟 踪 训 练
3．某平行于x轴的静电场，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的曲线。一质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0从O点进入电场，沿x轴正方向运动，能够到达x4。下列叙述正确的是(　　)
A．带电粒子从x1向右运动到x3运动的过程中先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动
D．带电粒子从O到x4的过程中，动能先减小再增大
[答案]　C
Ep－x图像、Ek－x图像
考向4
1．Ep－x图像(描述电势能随位移变化的规律)
(1)其绝对值等于静电力大小。
(2)正负代表静电力的方向：若斜率为正，说明电势能增加，静电力沿x轴正方向做负功，静电力方向沿x轴负方向；若斜率为负，说明电势能减小，静电力沿x轴正方向做正功，静电力方向沿x轴正方向。
2．Ek－x图像
A．x＝1 m处的电场强度大小为20 V/m
B．滑块向右运动过程中，加速度先增大后减小
C．滑块运动至x＝3 m处时，速度大小为2 m/s
D．若滑块恰好到达x＝5 m处，则该处的电势为50 V
[答案]　C
提能训练　练案[47]
基础巩固练
1．(多选)如图所示，三条平行且等间距的虚线表示电场中的三个等势面，其电势分别为10 V、20 V、30 V。实线是一带电的粒子(不计重力)在该区域内运动的轨迹，a、b、c为轨迹上的三点，已知带电粒子带电荷量为0.01 C，在a点处的动能为0.5 J，则该带电粒子(　　)
A．带正电
B．在b点的电势能为0.5 J
C．在b点的动能为零
D．在c点的动能为0.4 J
[答案]　AD
[解析]　由等势面与电场强度方向垂直可知电场强度方向向上，粒子所受静电力指向轨迹的内侧，故静电力方向向上，所以粒子带正电，选项A正确；粒子在b点的电势能Epb＝qφb＝0.01×30 J＝0.3 J，选项B错误；粒子在a点的总能量E＝0.01×10 J＋0.5 J＝0.6 J，由能量守恒定律得粒子在b点处的动能Ekb＝0.6 J－0.3 J＝0.3 J，选项C错误；由能量守恒定律得粒子在c点的动能Ekc＝0.6 J－0.01×20 J＝0.4 J，选项D正确。故选AD。
2．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．O点的电势最低
B．x2点的电势最高
C．x1和x3两点的电势相等
D．－x1和x1两点间的电势差为零
[答案]　D
[解析]　由E－x图像可知，电场方向由O点分别指向x轴正方向和x轴负方向，根据沿电场方向电势降低，可知O点的电势最高，x1点的电势大于x3点的电势，根据对称性可知－x1和x1两点的电势相等，则－x1和x1两点间的电势差为零，故A、B、C错误，D正确。
3．(多选)(2024·天津卷·8题)某静电场在x轴正半轴的电势φ随x变化的图像如图所示，a、b、c、d为x轴上四个点。一负电荷仅在静电力作用下，以一定初速度从d点开始沿x轴负方向运动到a点，则该电荷(　　)
A．在b点电势能最小
B．在c点时速度最小
C．所受静电力始终做负功
D．在a点受静电力沿x轴负方向
[答案]　BD
[解析]　根据题意，由公式Ep＝φq可知，负电荷在高电势位置的电势能较小，由图可知，a点的电势最高，则在a点电势能最小，同理可知，c点的电势最低，则在c点时电势能最大，电荷仅在电场力作用下，电荷的电势能和动能之和不变，可知，电势能最大时，动能最小，则在c点时，电荷的动能最小，即速度最小，故A错误，B正确；根据沿电场线方向电势逐渐降低，结合题图可知，c点左侧电场方向沿x轴正方向，c点右侧电场方向沿x轴负方向，可知，c点右侧负电荷受沿x轴正方向的电场力，c点左侧负电荷受沿x轴负方向的电场力，可知，在a点受静电力沿x轴负方向，从d点开始沿x轴负方向运动到a点，电场力先做负功再做正功，故C错误，D正确。故选BD。
A．粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
B．x1处电场方向发生了反向突变，且电场强度等于零
C．x2～x3段的电场强度大小、方向均不变
D．在x＝0、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3>φ0＝φ2>φ1
4．(多选)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段图像是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段图像是直线，下列说法正确的是(　　)
[答案]　BC
[解析]　由图可知Ep－x图像斜率表示电场力，则0～x2段图像的斜率先减小后增大，则粒子所受的电场力先减小后增大，根据牛顿第二定律可知粒子的加速度先减小后增大，故粒子在0～x2段做非匀变速运动；x2～x3段图像的斜率保持不变，则粒子所受的电场力保持不变，故场强大小和方向保持不变，粒子的加速度保持不变，故粒子在x2～x3段做匀变速直线运动，故A错误，C正确；0～x1段带负电粒子的电势能减小，则电势增大，x1～x2段带负电粒子的电势能增大，则电势减小，故x1处电场方向发生了反向突变，由于x1处的斜率为零，则该处电场力为零，电场强度为零，故B正确；根据图像可知Ep3>Ep0＝Ep2>Ep1，根据Ep＝qφ，已知粒子带负电，故φ3<φ0＝φ2<φ1，故D错误。故选BC。
5．(多选)如图甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上，其中Q1位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点。现有一带负电的粒子q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受电场力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是(　　)
A．x＝3L处电场强度一定为零
B．Q2的电荷量等于Q1的电荷量
C．ab连线的中点电势最低
D．q在a点的电势能比在b点的电势能大
[答案]　AD
6．(多选)(2024·河北保定月考)如图甲所示，A、B为电场中一直线上的两个点，带正电的粒子只受电场力的作用，从A点以某一初速度沿直线运动到B点，其动能Ek随位移x的变化关系如图乙所示，则该粒子从A运动到B的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．粒子的电势能先减小后增大
B．在x轴上，电场强度的方向由A指向B
C．粒子所受电场力先减小后增大
D．在x轴上，从A到B各点的电势先升高后降低
[答案]　AC
[解析]　由题图乙Ek－x图像可知，带正电粒子动能先增大后减小，故带正电粒子的电势能先减小后增大，故A正确；从A到B的过程中，带正电粒子的动能先增大后减小，即电场力先做正功后做负功，粒子速度方向不变，故电场力的方向发生改变，即场强方向发生改变，故B错误；根据动能Ek随位移x的变化关系可知，合外力做功等于带电粒子的动能变化，在Ek随位移x变化图像中，图线的切线斜率表示合外力，即带正电粒子所受的电场力，由题图可知，电场力先减小后增大，故C正确；正电荷在电势高的地方具有的电势能大，从A到B的过程中，带正电粒子的电势能先减小后增大，故从A到B各点的电势先降低后升高，故D错误。故选AC。
能力提升练
7．(多选)如图所示，A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点，其中A、B、O沿同一竖直线，B、C同在以O为圆心的圆周(用虚线表示)上，沿AC方向固定一光滑绝缘细杆，在O点固定放置一带负电荷的小
球。现有两个质量和电荷量都相同的带正电荷的小球a、b，先将小球a穿在细杆上，让其从A点由静止开始沿杆下滑，后使小球b从A点由静止开始沿竖直方向下落。两带电小球均可视为点电荷，则下列说法中正确的是(　　)
A．从A点到C点，小球a做匀加速运动
B．小球a在C点的动能大于小球b在B点的动能
C．从A点到C点，小球a的机械能先增大后减小，但机械能与电势能之和不变
D．从A点到C点静电力对小球a做的功大于从A点到B点静电力对小球b做的功
[答案]　BC
[解析]　从A点到C点，小球a受重力、静电力、弹力作用，静电力为变力，合力为变力，加速度是变化的，A错误；圆周为等势面，小球从A点到C点和从A点到B点静电力做功相等，根据动能定理，对小球a有mghAC＋W＝Eka，对小球b有mghAB＋W＝Ekb，由于小球a下降的高度大，故小球a在C点的动能大，B正确；小球a从A点到C点的过程中，静电力做的功等于机械能的增加量，由于静电力先做正功后做负功，故机械能先增大后减小，C正确；由于圆周为等势面，故小球从A点到C点和从A点到B点静电力做功相等，D错误。故选BC。
8．空间存在沿x轴方向的电场，其电势φ随坐标x变化的图像为如图所示的余弦函数图像。将一带正电的粒子从原点O由静止释放、粒子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动。下列选项分别表示x轴上各点的电场强度E、粒子的加速度a、动能Ek和电势能Ep随x的变化图像，其中正确的是(　　)
[答案]　B
9．(2025·八省联考内蒙古卷)如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是(　　)
[答案]　D
(1)求在椭圆轨道半短轴顶点B的电势；
(2)求带电粒子从A到B的运动过程中，电场力对带电粒子做的功；
(3)用推理论证带电粒子动能与电势能之和是否守恒；若守恒，求其动能与电势能之和；若不守恒，说明理由。
11．(2026·山东菏泽高三联考)如图，等量异种点电荷－Q、＋Q固定在水平线上相距为2L的M、N两点上，有一质量为m、电荷量为＋q(可视为点电荷)的小球，固定在长为L的绝缘轻质细杆的一端，细杆另一端可绕过O点且与MN垂直的水平轴无摩擦地转动，O点位于MN的竖直垂直平分线上距MN为L处，AC平行于MN，且OA＝OC＝L。现把杆拉起
到水平位置由静止释放，小球经过最低点B时速度为v。取O点电势为零，忽略小球对等量异种点电荷形成电场的影响，重力加速度为g。求：
(1)小球经过B点时受到的静电力；
(2)小球经过B点时对杆的拉力大小；
(3)在＋Q、－Q形成的电场中，A点的电势φA；
(4)小球继续向左摆动，到达C点时的速度大小。
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