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山西朔州市怀仁市怀仁大地高中学校2025-2026学年高二数学下学期第二次月考考试题
一、单选题
1．的展开式中的常数项为（ ）
A．20 B．15 C． D．
2．已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A． B． C． D．
4．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是（ ）
A．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好
B．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数，则变量y与x之间具有线性相关关系
5．为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ）
附：，其中．
A．人 B．人 C．人 D．人
6．已知呈线性相关关系的变量之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点(　 　)
A． B．
C． D．
7．已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ）
X 0 1 2
P n m
A． B．5 C．7 D．21
8．一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中正确的是（ ）
A．在回归模型中，决定系数越大，则模型的拟合效果越好
B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，且此时推断犯错误的概率不大于
C．具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则
D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
10．下列各式正确的是（ ）
A．已知，则的取值为6或7
B．
C．的展开式中的系数为
D．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法
11．已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．某组有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________.
13．已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________．
x 5 6 7 8 9
y 3.5 4 5 6 6.5
14．某校高二年级学生数学考试的成绩（单位:分）服从正态分布，从中任取一个学生的数学成绩，记该学生的成绩在内为事件，记该学生的成绩在内为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率_____（用分数表示）
附：若，则，，
四、解答题
15．从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数：
(1)有女生但不少于男生；
(2)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表．
16．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
17．世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别 [0,20） [20,40） [40,60） [60,80） [80,100）
频数 2 250 450 290 8
（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；
（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.
附:若，则
，
18．实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下：
x 10 12 14 16 18
y 8 7 6 5 4
(1)求相关系数r，并说明其意义；
(2)建立y关于x的线性回归方程；
(3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数）
（参考数据：，，，，）
（参考公式：，）
19．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄分为“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到1名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件列出列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析“生产能手与工人所在的年龄组”是否有关．
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考答案
1．C
【详解】由题意得展开式的通项为，
令，即，所以展开式中的常数项为.
2．A
【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴，
故选：A．
3．D
【详解】由题可知，不同报法的种数是．
4．A
【详解】A，用相关指数来刻画回归效果，的值越接近，说明模型的拟合效果越好，所以A选项错误.
B，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，正确.
C，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确.
D，接近，变量y与x之间具有线性相关关系，正确.
所以错误的为A.
故选：A
5．C
【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下：
钓鱼 性别
男性 女性 总计
喜爱钓鱼
不喜爱钓鱼
总计
则，
本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，
可得，解得，
又因为列联表中相关人数需为整数，则，
所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人．
6．D
【详解】因为线性回归方程必过样本中心点，
，，
线性回归方程必过.
7．D
【详解】由题意，解得，
所以．
所以．
故选：D
8．C
【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，
其中：三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式，
其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，
故，
：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种，
故，
所以
.
故选：C.
9．AC
【详解】对于A选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B选项，，故不能在的小概率值下判断与有关联，故B错误；
对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入得，解得，故C正确；
对于D选项，样本点都在直线上，则完全正相关，所以相关系数为，D项错误．故选AC．
10．ABC
【详解】对于A，由题意得或，解得或；故A正确
对于B，由，
所以，故B正确；
对于C，的展开式中的系数为，故C正确；
对于D，将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，故D错误.
11．ABC
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，
则有，解得，
则，
．
故选：ABC.
12．
【详解】解：P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝＋＋＝.
故答案为：．
13．
【详解】由已知得，所以，①
又因为时，残差为-0.1，故，②
联立①②得；所以经验回归直线方程为，
所以，当时，．
14．
【详解】因为服从正态分布，则，
则
；
；
．
15．(1)5400
(2)4620
【详解】（1）由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，
①有4个女生的选法有：种；
②有3个女生的选法有：种；
不同的安排方法种数有种．
（2）因为女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表，
①男生甲入选的安排方法有：种；
②男生甲不入选的安排方法有：种；
所以不同的安排方法种数有种．
16．(1) .
(2) .
【详解】设表示第株甲种大树成活， ；设表示第株乙种大树成活，
则独立，且．
（Ⅰ）至少有1株成活的概率为：
；
（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活1株的概率为：
．
17．（1）51；（2）805；（3）见解析
解析：（1）设样本的中位数为，则，
解得，所得样本中位数为（百元）.
（2），，，
旅游费用支出在元以上的概率为
，
，
估计有位同学旅游费用支出在元以上.
（3）的可能取值为，，，，
， ，
， ，
∴的分布列为
.
18．(1)，与完全负相关
(2)
(3)16元
【详解】（1），，
故，
故与完全负相关．
（2），
故，回归方程为．
（3）由题设，此时，故，故定价最高为16元．
19．(1)
(2)
年龄组 生产能手情况 合计
生产能手 非生产能手
25周岁以上(含25周岁)组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
生产能手与工人所在的年龄组无关．
【详解】（1）由已知得，25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名，
样本中有“25周岁以上（含25周岁）”组工人有名，
“25周岁以下”组工人名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，
“25周岁以上（含25周岁）”组工人有名，记为，，；
“25周岁以下”组工人有名，记为，．
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种：
，，，，，，，，，．
其中，至少有1名“25周岁以下”组工人的可能结果共有7种：，，，，，，．
故所求的概率．
（2）由题图可知，在抽取的100名工人中，
“25周岁以上（含25周岁）”组中的生产能手有名，
“25周岁以下”组中的生产能手有名．
据此可得列联表如下：
年龄组 生产能手情况 合计
生产能手 非生产能手
25周岁以上(含25周岁)组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
零假设为：生产能手与工人所在的年龄组无关．
由表中数据得；
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

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