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山西朔州市怀仁市怀仁大地高中学校2025-2026学年高一数学下学期
第二次月考数学试题
一、单选题
1．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．2
2．为庆祝中国共产党成立100周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生（ ）
A．6人 B．8人 C．10人 D．12人
3．已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）.
A． B．1 C． D．
4．把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球．事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是(　　)
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥事件 D．必然事件
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于
A．AC B．A1D1 C．A1D D．BD
6．由小到大排列的4个数据1，3，5，的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
二、多选题
9．已知直线⊥平面，直线 平面．则下列结论正确的是（ ）
A． B．⊥
C． D．⊥
10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
11．某中学对参加高一年级参加体质测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其中成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为5人．则（ ）

A．的值为0.015 B．
C．中位数为75 D．平均数为73
三、填空题
12．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小是__________．
13．向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____．
14．若，，…，的平均数、方差分别是2和1，则的平均数为______，方差为______.
四、解答题
15．已知复数，，其中.
（1）若复数为实数，求的取值范围；
（2）求的最小值.
16． 在中，角所对的边分别为，已知，，
(1)求角的大小；
(2)若中点为，求的最小值．
17．如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点．

(1)求证： 平面；
(2)求点D到平面的距离．
18．某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）；
(2)若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1.
①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差.
②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因.
19．如图所示，正方体的棱长为1，，求：
(1)与所成角的度数；
(2)与平面所成角的正切值；
(3)平面与平面所成二面角的大小．
参考答案
1．C
【详解】
，
又，
，解得．
2．B
【详解】依题意，设应抽取高三学生人，
则，解得，
所以应抽取高三学生人.
故选：B．
3．D
【详解】根据题意，可知是等腰直角三角形，又，
所以，故，
所以原平面图形的面积.
故选：D.
4．C
【详解】解：因为颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球.，所以白球只能分给某一个人，那么分给了甲，就不能分给乙，因此不能同时发生，所以是互斥事件，选C
5．D
【详解】，平面，平面，
则平面
又因为平面
则
故选D
6．B
【详解】这四个数据的极差为，中位数为．
由题意，得，解得．
因为，
所以所求为．
故选：B．
7．D
【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
8．D
【详解】设、、、、的平均数为，方差为，
则，，
由题意可得
，则，
，
所以， 样本、、、、的平均数为
，
方差为
.
故选：D.
9．AC
【详解】对于选项A：若，由，得，又，故，A正确.
对于选项B：若，，则或，结合，与可能平行、相交或异面，B错误.
对于选项C：若，由，得，又，故，C正确.
对于选项D：若，，则或，结合，与可能平行或相交，D错误.
10．CD
【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误；
对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误；
对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确；
对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.
故选：CD.
11．AB
【详解】由题意可知：每组的频率依次为，
所以，解得，故A正确；
因为成绩在区间内的学生人数为5人，频率为，
所以，故B正确；
因为，，
所以中位数在内，设为，
则，解得，故C错误；
平均数为，故D错误；
故选：AB.
12．
【详解】
设G为AC的中点,因为E、F分别是AB、CD中点
所以为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)三角形中，
即异面直线AD、BC所成的角为
13．
【详解】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”，
则.
故答案为：.
14． 8 9
【详解】，的方差
故答案为：；
15．（1）；（2）
【详解】（1）由复数为实数，则，解得，
即复数为实数，求的取值范围为；
（2）因为，
所以，
故的最小值为，此时
16．(1)
(2)
【详解】（1），
由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
，．
（2），
，
，当且仅当时，等号成立，故，
D为的中点，，
，
即，
，故AD的最小值为．
17．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）取的中点G，连接，
因G、E分别为的中点，所以，
又则，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面平面，则平面．

（2）因平面平面，所以且，
因，所以，又，平面，
则平面，又平面，则，
由，得，
设点D到平面的距离为h，连接．则，
即，
即，
解得，
则点D到平面的距离为．
18．(1)35.8
(2)①平均数为36，方差为15；②答案见解析
【详解】（1）平均数；
（2）①设这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差分别为、
则，
②，其有差异的原因为（1）中平均数是取数据的中间值作为样本数据的代表值估算的，
而所得平均数是以具体的数据计算而得，因此不相等.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，
或其补角即为与所成的角，
在正方体中，平面，
平面，，
又，且，
平面，
平面，
，
在中，，，
，
，
即与所成角的度数为．
（2）如图所示，过点O作于点E，连接，
平面平面，且交线为，
平面，从而即为与平面所成的角，
在中，，，
，
即与平面所成角的正切值为．
（3）由(1)知，平面，
又平面，
平面平面，
即平面与平面所成二面角的大小为．

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