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北京市朝阳区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.由线段，，组成的三角形中，是直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.若一个十边形的每个内角都是，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，是边的中点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．
则这个跳水队运动员的年龄的众数是( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，则这个一次函数的解析式为( )
A. B. C. D.
7.若关于的一元一次不等式的解集为，则一次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在中，，，，分别是边，的中点，点，分别在边，上，且，，连接，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，，，，，．
给出下面三个结论：
四边形是平行四边形；
若四边形是矩形，则；
若，则四边形是菱形．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
9.在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，某体育老师根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．他首先将这个数据按从小到大排序，发现排序后的数据分成两组共有种分法，分别计算组内离差平方和结果保留小数点后一位，部分结果如表所示．
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第个间隔
第个间隔
第个间隔
第个间隔
因此，按组内离差平方和最小的分法为 ．
10.某城市月份空气质量指数的箱线图如图所示．
给出下面三个结论：
这个月空气质量指数的最大值是；
这个月空气质量指数的第一四分位数是；
这个月空气质量指数在至之间较为集中，占总数据的一半．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
11.如图，在矩形和矩形中，，分别是矩形和矩形的对角线，点在线段上不与点，重合，点在线段上不与点，重合，连接，是的中点，是的中点，连接，小明认为若已知，，则可求出的长．
小明与同学们进行交流，通过讨论，形成以下两种想法：
想法：连接并延长，交于点，连接要求的长，只需求的长．
想法：连接，取的中点，连接和，要求的长，只需求与的长．
请你参考上面的想法，帮助小明求出的长，求出的的长为 ．
12.在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点，已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
小明家、图书馆、公园在同一条直线上．小明从家去图书馆查阅资料，接着去公园赏花，然后回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离单位：与时间单位：之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：
图书馆与小明家的距离是 ；
小明从公园回家的平均速度是 ；
当时，小明以某一速度匀速从图书馆步行至公园，求这段时间内他离家的距离关于时间的函数解析式．
14.本小题分
如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米．当梯子底端沿向外移动米时，设梯子的底端由点移动到点，顶端由点下滑到点，此时梯子顶端沿墙下滑多少米？
15.本小题分
如图，在中，，，，分别是边，，的中点．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
求，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于的值，直接写出的取值范围．
17.本小题分
一次歌唱比赛中，现场评委对进入决赛的个班的演唱从音准节拍、音色发声、情感演绎、舞台表现四个方面进行打分，各项成绩均按百分制计．对这个班得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
这个班在音准节拍方面的得分：

这个班在情感演绎、舞台表现方面得分的折线图：
这个班在音准节拍、音色发声、情感演绎、舞台表现四个方面得分的平均数、中位数：
音准节拍 音色发声 情感演绎 舞台表现
平均数
中位数
写出表中，的值；
若在进入决赛的个班中，其中某班的音准节拍得分是分，音色发声得分是分，情感演绎得分是分，舞台表现得分是分，则该班排名最靠前的方面是 填“音准节拍”、“音色发声”、“情感演绎”或“舞台表现”，理由是 ；
若在进入决赛的个班中，其中有个班在音准节拍、音色发声、情感演绎、舞台表现这四个方面的总分相同，评委决定按音准节拍占、音色发声占、情感演绎占、舞台表现占，计算各班的综合成绩．这个班的各方面得分如表所示：
班级 音准节拍 音色发声 情感演绎 舞台表现 总分
班
班
班
若根据综合成绩确定这个班的排名，则排名最靠前的班级是 班填“”或“”．
18.本小题分
小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．
函数的自变量的取值范围是 ；
下表是与的几组对应值：
求的值；
如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
小明结合该函数图象，解决了以下问题：
已知，是函数图象上的两点，若对于，都有，则的取值范围为 ；
过点作平行于轴的直线，若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围为 ．
19.本小题分
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图，在中，，于点，，，求的长．

小明发现，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接，连接，并延长，的延长线与的延长线交于点，通过构造四边形，经过推理和计算能够使问题得到解决如图．
请回答：
的度数为 ，的长为 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图，在四边形中，，，，点是的中点．用等式表示线段，的数量关系，并证明．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意一点与原点的“坐标距离”，给出如下定义：
若，则点与原点的“坐标距离”为；若，则点与原点的“坐标距离”为．
点与原点的“坐标距离”为 ；
若直线上存在与原点的“坐标距离”为的点，直接写出的取值范围；
直线与轴、轴分别交于点、若线段上存在与原点“坐标距离”为的点，直接写出的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
解：当时，设函数解析式为：，
由图得图像过，将其代入函数解析式，
得
解得
函数解析式为：．

14.【答案】由题意可知，墙与地面垂直，
、都是直角三角形，
梯子长度不变，
在 中，，
梯子底端外移后，，
在 中，：，
顶端下滑的距离为：．

15.【答案】【小题】
、、分别是、、的中点，
，，
四边形是平行四边形；
，
，
四边形是菱形；
【小题】
如图所示，连接，
，是中点，
，
，
，
在中，，由勾股定理得：，
是的中位线，
，
四边形是菱形；
．

16.【答案】【小题】
解：函数的图象经过点和，
将两点坐标代入解析式可得
解得；
【小题】
解：由可得，函数的解析式为，函数的解析式为，
当时，则，
当时，则，
当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于的值，
，且，
解得且，
当时，不等式变为，恒成立；
不等式变为，即，所有都满足该条件，符合要求．
当且时，，不等式变形为与，
要使所有都满足不等式，需且．
分母为正，不等式变形得，，解得．
此时且，符合要求．
综上，的取值范围是且．

17.【答案】【小题】
是音准节拍得分的平均数，个音准节拍得分总和为：，
；
从折线图得到个情感演绎得分，
从小到大排序为：，
个数据的中位数是第、个数的平均数，
；
【小题】
音色发声
四个项目的中位数分别为：音准节拍、音色发声、情感演绎、舞台表现，该班只有音色发声得分高于对应项目的中位数，其余项目得分均低于对应项目的中位数，音色发声排名最靠前；
【小题】

18.【答案】【小题】
【小题】
解：当时，；
【小题】
【小题】


19.【答案】【小题】

【小题】
，证明如下：
，，
是等腰直角三角形，，
点是的中点，
，
如图，延长至点，使，以点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，连接，，

，，，，，
是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；

20.【答案】【小题】
【小题】
解：如图，与原点的“坐标距离”为的点在边长为，中心点为的正方形的边上，
当直线经过点时，，
解得：，
当直线经过点时，，
解得：，
的取值范围为；
【小题】
解：直线与轴、轴分别交于点、，
令，则；令，则，解得：，
，，
的中点坐标为，
由题意可知，与原点“坐标距离”为的点在边长为，中心点为的正方形的边上，
当时，，则直线经过第一、二、三象限，如图，此时，
若线段的中点与点重合，则，，
解得：，不符合题意；
若点、在正方形的边上，则，，
解得：，不符合题意，舍去；
当时，，则直线经过第一、三、四象限，如图，此时，
若线段的中点与点重合，则，，
解得：；
若点、在正方形的边上，则，，
解得：，
的取值范围为；
当时，与原点“坐标距离”为的点是原点，即线段经过原点，
直线中，
线段不可能经过原点，不符合题意；
当时，，则直线经过第一、三、四象限，如图，此时，
若线段的中点与点重合，则，，
解得：；
若点、在正方形的边上，则，，
解得：，
的取值范围为
综上可知，的取值范围为或．

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