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山东省威海市威海临港经济技术开发区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式，化简后能与合并的是( )
A. B. C. D.
2.关于的方程，下列说法错误的是( )
A. 二次项系数为 B. 一次项系数为 C. 常数项为 D. 它是一元二次方程
3.若，且是、的比例中项，那么等于( )
A. B. C. D.
4.如图．在的两边上分别截取，使；分别以点、为圆心．长为半径作弧，两弧交于点；连接若，四边形的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
5.根据下列表格与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是( )
A. 方程有一根为
B. 方程有一根的取值范围是
C. 方程有一根为
D. 方程有两个不相等的实数根
6.下列各数中，与互为倒数的是( )
A. B. C. D.
7.如图，，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.制作一块的长方形版面需付制作费用元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的倍，则需的付制作费用为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
9.小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图，处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( )
A. 两边相互垂直 B. 有两条边相等
C. 对角线平分内角 D. 有三个角相等
10.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中号“”字的高度长为，当测试距离为时，号“”字的高度长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.计算： ．
12.关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若在线段上存在一点，使得与是位似图形，则点的横坐标为 ．
14.如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为，，，则的长度为 ．
15.音乐家发现，当音乐作品的高潮部分位于全曲的黄金分割点位置时，往往能呈现最和谐的艺术效果．已知青藏高原共小节，其高潮位于后半部分，则按照黄金分割比例，理论上高潮应在第 小节附近．计算结果四舍五入保留整数
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解决下列问题：
计算：；
比较大小：与
17.本小题分
解决下列问题：
已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
以下是小明在解方程时的解答过程．
解：原方程可化为，
两边同除以，得：
解得：．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18.本小题分
一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯点距地面的高度如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为不计折射，测得，，单杠距离水平地面的高度已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯点距水平地面的距离．
19.本小题分
【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”阴影部分，其中点，分别在，上，连结交于点．
【数学理解】
这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程．
若，，求的长．
20.本小题分
列方程组解应用题
端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价元，售价元，每天可售出盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价元，每天销量将增加盒，若要实现每天销售利润元，则每盒应降价多少元销售？
21.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作．
求证：为正方形；
连接，若，求的长．
22.本小题分
在学习了特殊四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究：
如图，在四边形中，．
尺规作图不写作法，保留作图痕迹：作的角平分线，交于点；过点作的垂线，垂足为，交直线于点，连接．
补全证明：
求证：四边形是菱形．
证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形，
又 ，
平行四边形是菱形．
23.本小题分
在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图所示的方式剪成块小纸片其中，进行拼图操作．
【探究一】
甲同学将一张边长为的正方形纸片按的尺寸剪成块，按图所示重新拼合．这块纸片恰好能拼成一个长为，宽为的矩形吗？
甲同学经过操作和思考后，用反证法证实了图不是矩形，他的理由如下：
如图，过点作，垂足为，假设图是矩形，那么图的右下角就应是直角，于是，在图中，有，因为，这样．
又因为，所以________，可得________，即，这是不可能的，因而图不是矩形．
事实上，若按照甲同学的方案拼成的一个矩形的话，这个矩形内部是有空隙的．
在甲同学的证明过程中，处填写的一组相似三角形是 ；
处的比例式是 ．
【探究二】
如图，乙同学也将一张边长为的正方形纸片用相同的方法，按一定的尺寸剪成块进行操作．如图，在拼图时让点在一条直线上，点也在一条直线上，这样拼成了一个矩形，他发现这个矩形内部重叠的纸片的面积为．
根据乙同学的操作，求剪开的三角形纸片的短边的长．
【探究三】
丙同学将正方形纸片按照图所示的方式剪成的块小纸片，用这块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠．
在丙同学的操作中，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：，
，
又，且，，
．

17.【答案】【小题】
解：关于的方程有两个不相等的实数根，
．
解得，
的取值范围是；
【小题】
小明的解答有错误，
正确解答过程如下：
原方程可化为，
移项得，
提取公因式得，
因此或，
解得，．

18.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
答：路灯距水平地面的距离为．

19.【答案】【小题】
解：在菱形中，，
，
【小题】
解：，
，，
又在菱形中，，
，
，
由得：，
，
，
．

20.【答案】解：设每盒降价元，则每盒售价为元，每盒利润为元，每天销量为盒，
由题意得：，
解得：，，
为降价金额，，
不合题意，舍去，
，
答：每盒应降价元销售．

21.【答案】【小题】
证明：为等腰直角三角形，是边上的中线，
，
为矩形．
，
矩形为正方形．
【小题】
解：为等腰直角三角形，，，
．
．
四边形为正方形，
，．
．

22.【答案】【小题】
如图所示，即为的平分线，，的延长线交于点；
【小题】


23.【答案】【小题】

【小题】
由题意可得，
，
矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积，
，
整理得，
解得，
，
；
【小题】
丙同学将正方形纸片按照图所示的方式剪成的块小纸片，用这块小纸片帢能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠，如图：
矩形的面积等于正方形的面积，
由题意可得，，，
矩形边长，
由矩形的面积等于正方形的面积可得，
整理得，
解得，
，为正数，
，
．

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