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人教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.2.1用合并同类项的方法解一元一次方程第五章一元一次方程5.2.1用合并同类项的方法解一元一次方程知识点总结一、核心知识点梳理1.本节解方程核心原理本节适用于：方程左边含多个含x同类项、右边为常数的一元一次方程。解题两大依据：-①合并同类项法则：化简同侧同类项-②等式性质2：系数化为1，求出未知数的值最终目标：把复杂方程化成$$ax=b\ (a\neq0)$$的最简形式，再直接求解。2.可直接合并同类项的方程特征满足以下结构即可用本节方法快速求解：-未知数全部在左边，常数全部在右边（无需移项）；-无括号、无分母，结构简单。示例：$$2x+3x-4x=5$$、$$7x-2x=9+6$$3.标准解题两步法（满分步骤）第一步：合并同类项分别合并方程左边含未知数的项、右边常数项，将方程简化为：$$ax=b$$。规则：系数相加减，字母$$x$$保持不变。第二步：系数化为1根据等式性质2，方程两边同时除以未知数系数$$a$$，得：$$x=\frac{b}{a}$$。二、标准例题示范（考试书写模板）例题：解方程$$3x+2x-8=7$$解：合并同类项，得$$5x-8=7$$再次整理同侧常数（简单移项雏形）、合并常数项：$$5x=15$$系数化为1，得$$x=3$$纯同侧合并经典例题解方程：$$4x-2x+5x=14$$解：合并同类项，得$$7x=14$$系数化为1，得$$x=2$$三、常考基础题型题型1：单侧同类项合并解方程方程左边多个$$x$$项、右边为常数，最基础必考题型，重点考察合并准确率。题型2：左右两侧均有常数的合并题型右边含多个常数，需要先合并常数项，再系数化1，是课堂作业高频题型。题型3：含负数系数的方程（易错重点）方程出现负系数、正负混合同类项，容易符号出错，需要细心合并系数。示例：$$5x-9x=8$$，合并得$$-4x=8$$，解得$$x=-2$$。题型4：简单应用题列方程求解根据倍数、和差关系列一元一次方程，再用合并同类项法解方程。四、核心解题口诀合并解方程口诀：同侧同类先合并，系数加减字母留；化成ax等于b，两边同除解无忧。五、高频易错点汇总-正负系数合并错误：正负数加减计算失误，是最主要丢分点；-合并同类项时随意改动字母、漏掉字母$$x$$；-系数化为1时，除数被除数颠倒，写反分数；-负数系数解方程，最终符号出错；-混淆左右项，把不同侧的项强行合并（只有同侧才能合并）。六、本节承上启下总结本节是一元一次方程最简解法，是后续“移项解方程、去括号解方程、去分母解方程”的基础。所有一元一次方程，最终都要化简为ax=b的形式求解，本节是解方程的核心第一步。1. 会利用合并同类项的方法解一元一次方程，
体会等式变形中的化归思想.
2. 能够从实际问题中列出一元一次方程，进
一步体会方程模型思想的作用及应用价值.
5.2.1 利用合并同类项解一元一次方程
第1页：复习导入——两类旧知回顾
【回顾1：什么是同类项？】
下列各组式子中，哪些是同类项？为什么？
- 1. 3x与-5x（ ）——理由：所含字母相同（均为x），相同字母的指数也相同（均为1）
- 2. 2xy与3x（ ）——理由：所含字母不同（前者含x、y，后者只含x），不是同类项
- 3. -7与9（ ）——理由：常数项都是同类项
【回顾2：同类项如何合并？】
计算：3x + 5x = ______；-2x + 7x = ______；8 - 3 = ______；4x - x + 2x = ______
【过渡提问】我们已经会解x + 3 = 9这样的一元一次方程，那如果遇到3x + 2x = 15这样含多个同类项的方程，该怎么解呢？今天我们就来学习新方法。
第2页：新知探究1——情境引出新问题
【生活场景】某班同学分苹果，每人分1个，男生有x人，女生有2x人，刚好分完36个苹果，求男生和女生各有多少人？
【列方程】根据“男生分的苹果数 + 女生分的苹果数 = 总苹果数”，可列方程：x + 2x = 36
【思考】方程左边有两个含x的项，怎么简化这个方程？
【分析】x表示1个x，2x表示2个x，1个x加2个x等于3个x，即x + 2x = (1 + 2)x = 3x
【简化方程】3x = 36，此时方程就转化为我们熟悉的形式，再根据等式性质2，两边同时除以3，得x = 12
【作答】男生有12人，女生有2×12=24人。
第3页：核心方法——合并同类项解方程
【定义】把方程中含有的同类项合并成一项，使方程变得简单易解，这种解方程的方法叫做“合并同类项法”。
【例题示范】解一元一次方程：2x - 5x + 4x = 6 - 3
【步骤分解】
1. 第一步：合并同类项（分别合并左右两边的同类项）
2. 左边：2x - 5x + 4x = (2 - 5 + 4)x = x
3. 右边：6 - 3 = 3
4. 合并后方程：x = 3
5. 第二步：检验（代入原方程）
6. 左边：2×3 - 5×3 + 4×3 = 6 - 15 + 12 = 3；右边：6 - 3 = 3
7. 左边=右边，所以x=3是原方程的解。
【核心思路】合并同类项的本质是“化繁为简”，将多个含未知数的项合并成一个项，使方程转化为“ax = b（a≠0）”的最简形式，再求解。
第4页：基础巩固——分层练习
【基础题1：直接合并求解】解下列方程，并检验。
- 1. 3x + 2x = 25 —— 合并得5x=25，解得x=5
- 2. -x + 4x - 2x = 7 —— 合并得x=7
- 3. 6x - 4x + x = 12 - 3 —— 合并得3x=9，解得x=3
【提升题2：含常数项的合并】解下列方程。
- 1. 5x - 2x = 18 + 3 —— 合并得3x=21，解得x=7
- 2. 7x - x - 4x = 5 + 11 —— 合并得2x=16，解得x=8
- 3. -3x + 8x - 5x = 10 - 6 —— 合并得0x=4，此方程无解
【注意】当合并后出现“0x = b”的形式时，若b≠0，方程无解；若b=0，方程有无数个解。
第5页：应用拓展——解决实际问题
【场景1：购物问题】妈妈买了3件相同的T恤和2件相同的短裤，共花了240元，已知1件T恤x元，1件短裤的价格和1件T恤相同，求每件T恤的价格。
1. 列方程：3x + 2x = 240（短裤价格=T恤价格，均为x元）
2. 解方程：合并同类项得5x=240，两边除以5得x=48
3. 作答：每件T恤48元。
【场景2：数字问题】一个三位数，百位数字是x，十位数字是2x，个位数字是3x，且这个三位数的各位数字之和是18，求这个三位数。
1. 等量关系：百位数字 + 十位数字 + 个位数字 = 18
2. 列方程：x + 2x + 3x = 18
3. 解方程：合并得6x=18，解得x=3
4. 求三位数：百位3，十位6，个位9，这个三位数是369。
第6页：易错点辨析——常见错误警示
【易错点1：同类项合并错误】
错误示例：2x + 3 = 5x —— 错把常数项与含未知数项合并
正确做法：2x - 5x = -3，合并得-3x = -3，解得x=1
【易错点2：符号错误】
错误示例：-x - 2x = 5 —— 合并得-3x=5，错解为x=5/3（忽略符号）
正确做法：-3x=5，解得x=-5/3
【易错点3：漏写检验】
温馨提示：检验是确保解正确的重要步骤，尤其在符号复杂的方程中不可省略。
第7页：课堂小结——核心内容回顾
1. 核心方法：合并同类项解一元一次方程，将方程化为“ax = b（a≠0）”形式后求解
2. 解题步骤：① 合并同类项（左右两边分别合并）；② 系数化为1（利用等式性质2）；③ 检验
3. 关键技巧：① 准确识别同类项，合并时注意符号；② 实际问题中先找等量关系再列方程
4. 易错提醒：常数项与含未知数项不能合并，解方程时注意符号和检验环节
合并同类项：
（1）x + 2x + 4x
（2）5y － 3y － 4y
（3）4a － 1.5a － 2.5a
= 7x
= －2y
= 0
新知探索
问题 1 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机？
分析：设前年购买____台，则去年购买____台，今年购买_____台.
x
2x
4x
根据问题中的相关等量关系：
前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量＝ 140 台
列得方程 x + 2x + 4x ＝ 140.
“各个分量的和=总量”是一个基本的相等关系
x + 2x + 4x ＝ 140.
把含有 x 的项合并同类项，得
7x ＝ 140.
系数化为 1，得
x ＝ 20.
等式性质2
因此，前年这所学校购买了 20 台计算机.
分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = a（a 为常数）的形式.
检验一下x =20是方程 x +2x + 4x =140的解.
上面解方程过程中“合并同类项”起了什么作用？
　 合并同类项的目的就是化简方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并逐步使方程向 x ＝ a 的形式转化．
例 题
【教材P120】
例 1 解下列方程：
解：合并同类项，得
系数化为 1，得 x = 4
（1） ；
根据等式的性质解一元一次方程时，得到的 x = m，就是方程的解（想一想为什么）. 今后，检验环节通常可以省略.
例 题
（2）7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3
合并同类项，得
6x = -78
系数化为 1，得 x = -13
【教材P120】
例 1 解下列方程：
利用合并同类项解一元一次方程的步骤：
（1）合并同类项：把等号同侧的含未知数的项、
常数项分别合并，把方程转化为 ax = b（ a ≠ 0，
a，b 为常数）的形式；
（2）系数化为 1：利用等式的性质 2，在方程两边
除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知
数的系数化为 1，得到 x = .
例 2 有一列数 1，-3，9，-27，81，-243，···，其中第 n 个数是 (-3)n-1 (n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是 -1701，那么这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与 -3 的乘积.
例 题
【教材P121】
解：设所求三个数中的第 1 个数是 x，则后两个数分别是 -3x，9x.
由三个数的和是-1701，得 x - 3x + 9x = -1701.
合并同类项，得 7x = -1701.
系数化为 1，得 x = -243.
所以 -3x = 729，9x = -2187.
答：这三个数是 -243，729，-2187.
知识点 用合并同类项法解一元一次方程
1. 对方程 合并同类项正确的是( )
B
A. B. C. D.
2. 如果与的值互为相反数，那么 等于( )
B
A. B. 1 C. D. 3
3. 对于任意四个有理数，，， ，定义一种新运算
.若，则 的值为( )
C
A. 2 B. 3 C. 6 D.
4. 若三个连续偶数的和是24，则它们的积是_____.
480
【点拨】设中间的一个偶数为，则第一个偶数为 ，第
三个偶数为，则有，解得 ，
故这三个偶数为6，8，10，所以它们的积是
.
5. 解下列方程:
（1） ;
【解】合并同类项,得 ,
系数化为1,得 .
（2） .
合并同类项,得 ,
系数化为1,得 .
6. 在《国家空间科学中长期发展规划
（ 年）》中，明确了我国空间科学发展目标，
提出了我国拟突破的“极端宇宙”“时空涟漪”“日地全景”“宜居
行星”“太空格物”5大科学主题.某班老师在进行相关科普时，
让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，
最终选择“极端宇宙”“时空涟漪”“日地全景”“宜居行星”“太空
格物”的人数比是 ，那么喜欢“宜居行星”主题的人
数是多少？
【解】设喜欢“太空格物”主题的人数为 ，则喜欢“极端宇宙”
“时空涟漪”“日地全景”“宜居行星”主题的人数分别为 ，
，， .
由题意列方程为 ,
解得,所以 .
答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16.
7. 若，那么“ ”内应填的数是( )
D
A. B. C. D. 4
8. 方程的解是 ( )
C
A. B. C. D.
9. 有一数列，按一定规律排列：，2，，8， ，
32， ，其中某相邻三个数之和为 ，这三个数中最小
的数为_______.
-1 024
【点拨】设中间的数为，则前面的数是 ，后面的数是
，依题意得，解得 ，
则前面的数是512，后面的数是 ，故这三个数中最小的
数是 .
10. 如果一个长方形内部能用一些正方形铺满（既不重叠，
又无缝隙），就称该长方形为“优美长方形”.如图所示，“优
美长方形”的周长为26，则正方形 的边长为___.
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