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人教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.3.1配套问题与工程问题第五章一元一次方程人教版七年级数学下册5.3.1配套问题与工程问题专项练习题（含解析）一、核心知识点梳理（一）配套问题（比例等量关系）1.解题核心：配套问题的本质是零件数量成固定比例，根据配套比例列方程。2.万能等量公式若a件甲零件配b件乙零件（甲:乙= a:b）$$\boldsymbol{b\times甲总数量= a\times乙总数量}$$3.常见题型：桌椅配套、螺丝螺母配套、上下盖配套、部件组装配套。4.解题步骤：①设生产其中一种零件的人数/时间为未知数；②表示出两种零件的总数量；③根据配套比例列等式；④解方程并作答。（二）工程问题（工作量等量关系）1.核心规定：没有给出总工作量时，默认总工作量= 1。2.三大基础公式：工作效率$$=\dfrac{1}{工作时间}$$工作量$$=$$工作效率$$\times$$工作时间总工作量$$=$$各分段工作量之和3.合作规律：多人合作效率=所有人效率相加。4.常见题型：单独做工、多人合作、先做后合作、中途停工。二、高频易错点汇总1.配套比例写反：最常见错误，直接按比例直等，忘记交叉相乘。2.配套问题中，人数分配错误，未合理表示两组生产数量。3.工程问题忘记把总工程量看作“1”，误用具体数字计算。4.合作问题漏加效率、分段做工未分开累加工作量。5.单位不统一、设未知数不规范、答题不完整扣分。三、专项练习题（分值、题型统一）（一）填空题（每空2分，共32分）1.工程问题中，未说明总工作量时，一般把总工作量看作________。2.一项工作甲单独做需要10天完成，甲的工作效率是________。3.甲乙合作完成一项工程，甲效率$$\dfrac{1}{5}$$，乙效率$$\dfrac{1}{6}$$，两人合作效率为________。4. 1张桌子配4把椅子，则椅子总数:桌子总数= ________，等量关系可写为：椅子总数= ________×桌子总数。5. 2个大齿轮配3个小齿轮，配套等量关系：________×大齿轮总数= ________×小齿轮总数。6.一项工程，甲先做2天，再由甲乙合作3天完成，总工作量=甲2天工作量+ ________。7.甲单独做6天完成，乙单独做3天完成，两人合作________天可以完成全部工程。8.某车间每人每天生产12个螺丝或18个螺母，1个螺丝配2个螺母，为使配套，螺丝数量×________ =螺母数量×________。（二）选择题（每题3分，共30分）1.一项工程甲单独做8天完成，甲的工作效率是（）2. A. 8 B. $$\dfrac{1}{8}$$ C. $$\dfrac{8}{1}$$ D. 13. 2.一个仪器由1个A部件和3个B部件配套构成，正确等量关系是（）4. A. A数量=3B数量B. B数量=3A数量C. A=B D. 3A=B5. 3.甲效率$$\dfrac{1}{4}$$，乙效率$$\dfrac{1}{8}$$，两人合作1天完成工作量为（）6. A. $$\dfrac{1}{12}$$ B. $$\dfrac{3}{8}$$ C. $$\dfrac{1}{4}$$ D. $$\dfrac{1}{8}$$7. 4. 3个甲零件配5个乙零件，下列方程正确的是（）8. A. 3甲=5乙B. 5甲=3乙C.甲=乙D. 3甲=乙9. 5.一项工程甲乙合作2天完成，单独甲6天完成，则乙单独完成需要（）10. A. 3天B. 4天C. 5天D. 6天11. 6.车间生产螺栓和螺母，1螺栓配2螺母，为配套必须满足（）12. A.螺栓数=2螺母数B.螺母数=2螺栓数C.相等即可D.无规律（三）解答题（共38分）1.（18分）配套问题基础题某车间有28名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母。已知1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？2.（20分）工程问题基础题一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成。两人先合作3天，甲因事离开，剩下工程由乙单独完成，求乙还需要多少天完成全部工程？四、参考答案与详细解析（一）填空题答案及解析1. 1。解析：工程问题默认总工程量为单位1。2. $$\dfrac{1}{10}$$。解析：效率等于时间倒数。3. $$\dfrac{11}{30}$$。解析：合作效率直接相加。4. 4:1、4。解析：1桌配4椅，椅子数量是桌子的4倍。5. 3、2。解析：大:小=2:3，交叉相乘：3大=2小。6.甲乙合作3天工作量。解析：总工作量分段相加。7. 2。解析：甲效$$\dfrac{1}{6}$$，乙效$$\dfrac{1}{3}$$，合作效$$\dfrac{1}{2}$$，共2天。8. 1、2。解析：1螺丝配2螺母，2螺丝=1螺母。（二）选择题答案及解析1.B 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B解析：配套问题抓“比例交叉相等”，工程问题抓“总工作量为1、效率可累加”，是本节核心解题依据。（三）解答题详细规范解析1.配套问题解答解：设安排$$x$$名工人生产螺栓，则$$(28-x)$$名工人生产螺母。螺栓总数：$$12x$$螺母总数：$$18(28-x)$$根据“1螺栓配2螺母”，得等量关系：$$螺母数=2\times螺栓数$$列方程：$$18(28-x)=2\times 12x$$去括号：$$504-18x=24x$$移项：$$24x+18x=504$$合并：$$42x=504$$系数化为1：$$x=12$$生产螺母人数：$$28-12=16$$（名）答：应安排12人生产螺栓，16人生产螺母。2.工程问题解答解：设乙还需要$$x$$天完成。甲效率：$$\dfrac{1}{12}$$，乙效率：$$\dfrac{1}{24}$$甲乙合作3天工作量：$$3\times\left(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{24}\right)=\dfrac{3}{8}$$乙单独完成剩余工作量：$$\dfrac{1}{24}x$$总工作量为1，列方程：$$\dfrac{3}{8}+\dfrac{x}{24}=1$$去分母（同乘24）：$$9+x=24$$解得：$$x=15$$答：乙还需要15天完成全部工程。五、本节解题万能模板总结1.配套问题模板设人数→表示两类产量→按比例交叉列方程（$$a:b \Rightarrow b\cdot甲=a\cdot乙$$）→求解作答。2.工程问题模板总工作量=1→求出各人效率→分段表示工作量→工作量相加=1→解方程。两类题型是一元一次方程应用题必考基础题型，熟练套用模板可满分解题。1. 会运用一元一次方程解决物品配套问题
和工程问题.
2. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基
本思路和步骤.
5.2.3 利用去括号解一元一次方程
第1页：复习导入——为新方法奠基
【回顾1：去括号法则】我们在整式运算中学习过去括号，大家快速化简下列式子：
- 1. 2(x + 3) = ______（括号前是正数，去括号后各项不变号：2x + 6）
- 2. -3(x - 2) = ______（括号前是负数，去括号后各项变号：-3x + 6）
- 3. 4 - (2x - 1) = ______（可看作+4 + (-1)(2x - 1)：4 - 2x + 1）
【回顾2：移项解方程步骤】用已学方法解下列方程：3x - 5 = 2x + 1（移项→合并→系数化1，解得x=6）
【新问题】请尝试解这个方程：2(x + 3) = 14。这个方程与上一个有什么不同？（引导发现：含有括号，无法直接移项）
【过渡】当方程中含有括号时，我们需要先去掉括号，将方程转化为熟悉的形式，这就是今天的重点——利用去括号解一元一次方程。
第2页：新知探究1——为什么要去括号？
【情境支撑】学校组织植树活动，七年级（1）班有x名同学参与，（2）班参与人数比（1）班的2倍少3人，两个班共有39名同学参与，求（1）班的参与人数。
【列方程】（1）班人数 + （2）班人数 = 总人数，即x + (2x - 3) = 39
【思考】方程中的括号把含未知数的项“包裹”起来，无法直接合并同类项和移项，怎么办？（引导学生说出“去括号”）
【依据】去括号法则（整式运算规则），去括号后方程可转化为已学过的形式，再用移项、合并同类项法求解。
【尝试求解】去括号得x + 2x - 3 = 39，合并同类项得3x - 3 = 39，移项得3x = 42，解得x=14。（1）班有14人参与。
第3页：新知探究2——去括号解方程“四步法”
【例题示范】解一元一次方程：2(x - 1) - (x + 2) = 3(4 - x)
【完整步骤】
1. 第一步：去括号——严格遵循去括号法则，注意符号和系数分配
2(x - 1) = 2x - 2（正数乘括号，各项不变号）
2. -(x + 2) = -x - 2（负数乘括号，各项变号）
3. 3(4 - x) = 12 - 3x（正数乘括号，各项不变号）
4. 去括号后方程：2x - 2 - x - 2 = 12 - 3x
5. 第二步：合并同类项——整理左右两边的同类项
左边：2x - x - 2 - 2 = x - 4
6. 右边：12 - 3x
7. 合并后方程：x - 4 = 12 - 3x
8. 第三步：移项——含未知数项移左，常数项移右，注意变号
x + 3x = 12 + 4
9. 移项后方程：4x = 16
10. 第四步：系数化为1——根据等式性质2求解
x = 16 ÷ 4 = 4
11. 检验：左边=2(4-1)-(4+2)=6-6=0，右边=3(4-4)=0，左边=右边，解正确。
【核心总结】含括号的一元一次方程求解思路：去括号→化繁为简→回归已学方法（合并→移项→求解）。
第4页：基础巩固——去括号“实战”
【第一关：先去括号，再化简】化简下列方程（只去括号和合并同类项，不求解）：
- 1. 3(x + 5) = 21 → 3x + 15 = 21
- 2. -2(2x - 1) = 10 → -4x + 2 = 10
- 3. 5 - 3(x - 3) = 2 → 5 - 3x + 9 = 2 → -3x + 14 = 2
【第二关：完整求解】解下列方程，并检验：
- 1. 4(x - 2) = 3(x + 1)
去括号：4x - 8 = 3x + 3
- 移项：4x - 3x = 3 + 8
- 合并：x = 11（检验略）
2. 2(3y - 1) - 3(y + 2) = 12
去括号：6y - 2 - 3y - 6 = 12
合并：3y - 8 = 12
移项：3y = 20 → y = 20/3（检验略）
第5页：易错点辨析——避开常见错误
【易错点1：括号前有系数，漏乘括号内项】
错误示例：2(x + 3) = 14 → 2x + 3 = 14（漏乘3）
正确做法：2x + 6 = 14，解得x=4
【易错点2：括号前是负数，去括号后部分项不变号】
错误示例：-(x - 5) = 8 → -x - 5 = 8（-5未变号）
正确做法：-x + 5 = 8，解得x=-3
【易错点3：去括号后，同类项未及时合并导致移项错误】
错误示例：3x - 2(2x - 1) = 5 → 3x - 4x - 2 = 5（先移项未合并）
正确做法：3x - 4x + 2 = 5 → -x = 3 → x=-3
【避错技巧】去括号后先检查两点：① 系数是否乘遍括号内所有项；② 符号是否按法则改变，再进行后续步骤。
第6页：应用拓展——去括号的实际价值
【场景1：工程问题】某工程队修一段公路，第一天修了全长的一半多10米，第二天修了余下的一半少5米，两天共修了180米，求公路全长x米。
1. 列方程：第一天修的长度 + 第二天修的长度 = 180，即( x + 10) + [ (x - x - 10) - 5] = 180
2. 解方程：
去括号： x + 10 + ( x - 10) - 5 = 180 → x + 10 + x - 5 - 5 = 180合并： x = 180 → x = 240
3. 作答：公路全长240米。
【场景2：几何问题】一个长方形的周长是56厘米，长比宽的2倍多2厘米，求长方形的长和宽（设宽为x厘米）。
1. 列方程：2(长 + 宽) = 周长，即2[(2x + 2) + x] = 56
2. 解方程：
去括号：2(3x + 2) = 56 → 6x + 4 = 56移项合并：6x = 52 → x = 26/3（宽），长=2×26/3 + 2=58/3厘米
第7页：课堂小结——核心知识回顾
1. 解题关键：去括号是含括号方程的“突破口”，依据去括号法则将方程转化为不含括号的形式
2. 完整步骤：① 去括号（注意系数和符号）；② 合并同类项；③ 移项（变号）；④ 系数化为1；⑤ 检验
3. 易错提醒：① 系数别漏乘括号内项；② 负号别漏变括号内项符号；③ 去括号后先合并再移项
4. 知识关联：去括号是整式运算与方程求解的结合，是解更复杂一元一次方程的重要环节，为后续学习奠定基础。
生活中存在着很多的配套问题，如下图
1 张课桌配
1 把椅子
1 个螺栓配
2 个螺母
1 个茶壶配
3 个茶杯
已知：一套茶具由 1 个茶壶和 3 个茶杯构成.
（1）若一个工人师傅做了 1 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套：
（2）若一个工人师傅做了 2 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套：
（3）若一个工人师傅做了 x 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套：
（4）若一个工人师傅做了 a 个茶壶， b 个茶杯，且刚好配套，则 a 与 b 的数量关系是 .
3
6
3x
3a＝b
探究点1：产品配套问题
例1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
配套关系：1 个螺栓需要配 2 个螺母.
分析：
等量关系：螺母数量＝2×螺栓数量.
探究点1：产品配套问题
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1200
螺母 2000
(22-x)
1200x
2000(22-x)
解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22－x) 名工人生产螺母.
根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列出方程
2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
进而 22－x＝12.
答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母.
探究点1：产品配套问题
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1200
螺母 2000
(22-x)
1200x
2000(22-x)
【练一练】1. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用 1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？
1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件
A 部件数量∶B 部件数量 = 1∶3
可得：B 部件数量 = A 部件数量×3
A 部件和B 部件共用钢材 6 m3
条件分析
探究点1：产品配套问题
解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用 (6－x)
立方米钢材做 B 部件.
答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.
根据题意，列方程得
3×40x = (6－x)×240.
解得 x = 4.
则 6－x = 2.
共配成仪器 4×40 = 160 (套).
探究点1：产品配套问题
探究点1：产品配套问题
配套问题中的基本关系：
可得相等关系：m×B 的数量 = n×A 的数量.
若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则 ，
A 的数量
B 的数量
m
n
=
例2 整理一批图书，由 1 个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
工程问题：整理完成这批图书.
分析：
工作总量＝人均效率×人数×时间
常把工作总量看作“1”.
探究点2：工程问题
列表分析：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
×
×
＝
×
＝
×
探究点2：工程问题
解：先安排 x 人先做 4 h.
根据先后两个时间段的工作量之和等于工作总量，列出方程
解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40.
4x＋8x＋16＝40.
12x＝24.
x＝2.
答：应先安排 2 人先做 4 h.
探究点2：工程问题
知识点1 配套问题
1. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红.”茶，作为中国传统文化
的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴.在品茶的过程
中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有
显著影响.某茶具厂共有120名工人，每名工人一天能做200个茶
杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生
产可使每天生产的茶具配套.设生产茶杯的工人有 名，则下列
选项正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天
梦.从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中
国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越.为致敬中国航天，
某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航
空航天知识竞赛的获奖奖品.
社团共有25名成员参与模型核心部件制作，每名成员单日只
能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60
个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个.已知1个机身部
件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机
模型.为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套
成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制
作机翼部件？
【解】设安排名成员制作机身部件，则安排 名成员
制作机翼部件，
根据题意得 ，
解得 ，
所以制作机翼部件的成员数为 （名）.
答：应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件.
知识点2 工程问题
3. 《张丘建算经》中记载了这样一道题：“今有女子不善织，
日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几
何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来
越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后
一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布.( )
C
A. 45尺 B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺
4. 问题：师徒二人检修管道， ___，求师傅与
徒弟每小时各检修多长的管道.
条件：
①该管道长 ；
②师傅每小时比徒弟多检修 ；
③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务；
④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务；
在上述四个条件中选择三个条件，并完成解答.（写一种即可）
【解】（答案不唯一，写一种即可）
当选择①②③时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ,
由题意，得 ,
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择①②④时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ,
由题意，得 ,
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择②③④时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ,
由题意，得 ,
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
5. 假设每个人的工作效率相同，9人14天完成了一件工作的 ，
而剩下的工作必须要在4天内完成，则需要增加( )
A
A. 12人 B. 11人 C. 10人 D. 8人
【点拨】设需要增加人.根据9人14天完成了一件工作的 ，
可知每人每天完成这件工作的 .根据题意得
，解得 .故选A.
6. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与
大纸杯的容量比为,甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为 ,
若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最
多刚好装满大纸杯的个数为( )
B
A. 64 B. 100 C. 144 D. 225
【点拨】设乙桶内的果汁最多刚好装满 个大纸杯，则甲桶
内的果汁最多刚好装满 个大纸杯.由题意得
，解得 .所以乙桶内的果汁最多装满
100个大纸杯.
7. 一个蓄水池有两个排水管,和一个注水管,单独开 管3
小时可以排完一池水，单独开 管6小时可以排完一池水，单
独开管5小时可以注满一池水，现在为满池水，若, 两管
先开小时后再开 管，__小时可以排完池中的水.
【点拨】设 小时可以排完池中的水，根据题意得
，解得 .
8. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒
子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图
两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）.现有38张硬纸板，
裁剪时张用方法，其余用 方法.
（1）用含 的代数式表示裁剪出的侧面个数为_________，
底面的个数为_________.（要求写出化简后的结果）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【解】由题意，得 ,
解得 .
（个）.
答：若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子.

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