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人教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.3.4方案选择问题第五章一元一次方程人教版七年级数学下册5.3.4方案选择问题专项练习题（含解析）一、核心知识点梳理（一）题型本质方案选择问题是一元一次方程应用题压轴基础题型，核心为两种或多种消费方案对比，通过列方程求出「费用相等临界点」，再分范围判断哪种方案更省钱、更划算。（二）万能解题四步模板（考试标准步骤）1.设未知数：一般设参与消费的数量为$$x$$；2.列式表示费用：用含$$x$$的式子分别表示方案A、方案B的总费用；3.找临界点：令两个方案费用相等，列方程求出分界值；4.分类讨论：根据临界点分三种情况判断：①小于临界点：某方案划算；②等于临界点：两方案费用相同；③大于临界点：另一方案划算。（三）常见两类模型1.固定费用+可变费用型：如会员费+单次消费、月租+通话费；2.打折优惠型：全场打折、满减、赠送、分段优惠对比。二、高频易错点汇总1.只会解方程，不会分类讨论，漏写取值范围直接丢大半分数；2.费用表达式列错：混淆固定费用和可变费用，漏加基础费用；3.临界点判断反了，大小范围对应方案写颠倒；4.忽略实际意义：数量$$x$$为正整数，不能取负数、小数；5.答题不规范：不总结最终最优方案，只计算不判断。三、专项练习题（分值、题型统一）（一）填空题（每空2分，共32分）1.方案选择问题的核心是求出两种方案费用的________，再分范围判断最优方案。2.若方案A：$$y_1=2x+10$$，方案B：$$y_2=3x$$，令________可求费用相等的临界点。3.当消费数量等于临界点时，两种方案________；小于临界点时________方案更优。4.甲方案收基础服务费20元，每次操作收费3元，操作$$x$$次总费用为________元。5.乙方案无基础费，每次操作收费5元，操作$$x$$次总费用为________元。6.两种手机套餐费用相等时，通话时长为100分钟，当通话时长超过100分钟，________套餐更省钱。7.购物方案：A满100减20，B全场八折，需要通过________确定最优购买方式。8.实际生活中，购买数量、次数必须为________，取值范围要符合实际。（二）选择题（每题3分，共30分）1.解决方案选择问题最关键的步骤是（）A.设未知数B.求费用相等临界点C.合并式子D.验算结果2.方案一：$$y_1=4x$$，方案二：$$y_2=2x+20$$，两方案费用相等时$$x=$$（）A. 5 B. 10 C. 15 D. 203.接上题，当$$x>10$$时，更省钱的方案是（）A.方案一B.方案二C.费用相同D.无法判断4.下列关于方案选择说法正确的是（）A.数量越大，无固定方案B.必有一个方案永远最优C.以临界点分段讨论D.无需考虑实际取值5.会员方案：年费30元，购物9折；非会员无年费，购物不打折。购买金额越高，越划算的是（）A.会员B.非会员C.一样D.随机6.若临界点计算结果为负数，则实际情况中（）A.全部情况方案A优B.全部情况方案B优C.无解D.都相等（三）解答题（共38分）1.（18分）基础方案对比题某打印店打印资料有两种付费方案：方案A：每张0.5元，无其他费用；方案B：先付会员费10元，之后每张只需0.3元。（1）设打印$$x$$张，分别用含$$x$$的式子表示两种方案费用；（2）打印多少张时，两种方案费用相同？（3）直接写出打印数量在什么范围时，方案A、方案B更省钱。2.（20分）期末高频真题（购物优惠方案）某超市促销活动有两种优惠方案：方案一：所有商品一律八折；方案二：满200元减40元（不足200不减）。现有一批商品原价总额大于200元，设原价为$$x$$元，请通过列方程求临界点，并讨论：如何选择方案更划算？四、参考答案与详细解析（一）填空题答案及解析1.临界点。解析：找到费用相等的数量，是分段判断的依据。2. $$2x+10=3x$$。解析：费用相等即两式子联立方程。3.费用相同、固定。解析：临界点左右方案优劣发生切换。4. $$3x+20$$。解析：固定费用+可变费用总和。5. $$5x$$。解析：无基础费，只有单次费用。6.月租低、时长优惠大的。解析：超过临界点，带固定费用的优惠方案更优。7.计算临界点。解析：打折与满减必须计算分界值才能判断。8.正整数。解析：购买、消费次数不能为小数或负数。（二）选择题答案及解析1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.B解析：方案选择核心逻辑：小数选无固定费，大数选有优惠，临界点持平。（三）解答题详细规范解析1.基础打印方案题解：（1）方案A费用：$$0.5x$$方案B费用：$$0.3x+10$$（2）令两方案费用相等：$$0.5x=0.3x+10$$移项合并：$$0.2x=10$$解得：$$x=50$$答：打印50张时，两种方案费用相同。（3）当$$0<x<50$$时，方案A更省钱；当$$x=50$$时，两方案费用一样；当$$x>50$$时，方案B更省钱。2.超市购物优惠真题解：由题意得$$x>200$$方案一费用：$$0.8x$$方案二费用：$$x-40$$令费用相等：$$0.8x=x-40$$移项：$$0.8x-x=-40$$合并：$$-0.2x=-40$$解得：$$x=200$$∵题目已知$$x>200$$∴当$$x>200$$时，$$0.8x < x-40$$结论：原价超过200元时，方案一（八折优惠）更划算。五、本节终极解题总结解题口诀：一设二列三相等，求出临界分情况；少量多选无固定，大量多选优惠价；取值范围必书写，实际整数不能落。必考答题模板：列式→求临界点→分小于、等于、大于三段总结最优方案。1.会寻找数量关系列方程，确定最优方案.
2.掌握分段计费问题.
5.3.4 方案选择问题
第一页：情境导入——生活中的“选择困难”
生活中我们常常面临这样的决策：
- 手机营业厅推出两种套餐：A套餐月租38元，含100分钟通话，超出后每分钟0.2元；B套餐无月租，每分钟0.4元。哪种套餐更省钱？
- 学校组织研学，旅行社提供两种方案：甲方案每人80元，含门票和车费；乙方案每人50元车费，门票另算，团体票（30人以上）每张25元。35名学生该选哪种？
- 超市促销：洗衣液买3送1，单价20元；另一种是直接打8折销售。买12瓶哪种方式更划算？
这些问题都需要通过数学分析做出最优选择。今天我们就用一元一次方程，科学破解“选择困难症”，找到最适合的方案。
第二页：核心思路——用数学量化方案优劣
方案选择的本质是“比较”，关键是找到不同方案的“等量关系”和“差异点”，核心步骤如下：
1. 明确变量：确定影响方案结果的关键变量（如通话时长、购买数量、人数等），设其为未知数x。
2. 建立模型：根据每种方案的规则，分别列出表示“费用”“收益”等核心指标的代数式（含x）。
3. 寻找临界点：令两个方案的代数式相等，列一元一次方程求解，得到的x值就是方案优劣的“临界点”。
4. 分类讨论：根据变量x与临界点的大小关系，分情况判断哪种方案更优，最终结合实际需求做出选择。
核心原则：当变量取值不同时，最优方案可能不同，必须通过分类讨论覆盖所有情况，避免“一刀切”的错误。
第三页：例题解析1——消费类方案（通话套餐）
例题：某通信公司有两种手机通话费收费方式：
收费方式
月租费
通话费（元/分钟）
方式一
20元
0.15
方式二
0元
0.25
每月通话多长时间时，两种方式费用相等？通话时间不同时，如何选择更省钱的方式？
解答步骤：
1. 设变量：设每月通话x分钟，方式一费用为y 元，方式二费用为y 元。
2. 列代数式：
方式一：y = 月租费 + 超出部分费用 = 20 + 0.15x
3. 方式二：y = 无月租，仅通话费 = 0.25x
4. 找临界点（列方程）：令y = y ，即20 + 0.15x = 0.25x，解得x = 200。
5. 分类讨论：
当x < 200分钟时，取x=100，y =20+15=35元，y =25元，此时方式二更省钱；
6. 当x = 200分钟时，y =y =50元，两种方式费用相同；
7. 当x > 200分钟时，取x=300，y =20+45=65元，y =75元，此时方式一更省钱。
第四页：例题解析2——团体收费类方案（研学活动）
例题：学校组织七年级学生研学，现有A、B两家旅行社可供选择，收费标准如下：
- A旅行社：每人收费100元，若人数超过30人，超出部分每人优惠20元；
- B旅行社：每人收费80元，无论人数多少，一律收取总价10%的服务费。
若参加研学的学生有x人（x>30），选择哪家旅行社更省钱？
解答步骤：
1. 列费用代数式：
A旅行社：30人按原价，(x-30)人优惠20元，费用y = 30×100 + (x-30)×(100-20) = 80x + 600；
2. B旅行社：总价为80x元，加10%服务费，费用y = 80x×(1+10%) = 88x。
3. 找临界点：令y = y ，即80x + 600 = 88x，解得x = 75。
4. 分类决策：
当30 < x < 75时，取x=50，y =80×50+600=4600元，y =88×50=4400元，B旅行社更省钱；
5. 当x = 75时，y =y =80×75+600=6600元，两家费用相同；
6. 当x > 75时，取x=100，y =80×100+600=8600元，y =88×100=8800元，A旅行社更省钱。
易错提醒：当方案中出现“人数限制”“阶梯收费”时，列代数式要分阶段考虑，确保覆盖所有取值范围，避免漏算优惠部分。
第五页：例题解析3——生产经营类方案（原料采购）
例题：某工厂生产零件需采购甲、乙两种原料，现有两家供应商报价如下：
供应商
甲原料（元/吨）
乙原料（元/吨）
优惠政策
甲供应商
2000
1500
购买甲原料满5吨，乙原料打9折
乙供应商
1900
1600
无论购买多少，总价打9.5折
工厂需采购甲原料6吨，乙原料x吨，选择哪家供应商更划算？
解答步骤：
1. 计算两家供应商费用：
甲供应商：甲原料6吨满5吨，乙原料打9折，费用y = 6×2000 + x×1500×0.9 = 12000 + 1350x；
2. 乙供应商：总价打9.5折，费用y = (6×1900 + x×1600)×0.95 = 10830 + 1520x。
3. 求临界点：令y = y ，即12000 + 1350x = 10830 + 1520x，解得x = 6.88（保留两位小数）。
4. 实际决策：
当x < 6.88吨时，乙供应商更划算；
5. 当x = 6.88吨时，两家费用相近；
6. 当x > 6.88吨时，甲供应商更划算（因乙原料折扣力度更大）。
第六页：变式练习——巩固决策方法
1. 某超市销售洗衣液，有两种促销方案：
- 方案一：单价25元，买4送1（不足4瓶不赠送）；
- 方案二：单价25元，一律打8.5折销售。
分别计算购买10瓶、12瓶时两种方案的费用，并说明购买多少瓶时方案一更划算。
2. 某快递公司收费标准：
- 普通快递：首重1kg内10元，续重每kg5元；
- 特快快递：首重1kg内15元，续重每kg3元。
寄多少重量的物品时，特快快递比普通快递更省钱？（物品重量超过1kg）
3. 某制衣厂承接订单，有两种生产方案：
- 方案A：雇佣临时工，每件付工资8元，无设备费；
- 方案B：租用设备（每天1000元），雇佣固定工，每件付工资3元。
若每天生产x件衣服，选择哪种方案成本更低？
第七页：课堂小结——方案选择“五步法”
1. 审：审题，明确各方案的收费/收益规则，找出关键变量（如x）。
2. 列：根据规则，分别列出各方案的核心指标代数式（费用/收益=y）。
3. 解：令代数式相等，列一元一次方程，求解临界点x 。
4. 分：分x < x 、x = x 、x > x 三种情况，代入具体值比较方案优劣。
5. 答：结合实际场景（如人数、数量为正整数），给出明确的最优方案结论。
第八页：拓展思考——数学与决策智慧
生活中还有很多复杂的方案选择问题，如买房时的“全款vs贷款”、投资时的“风险vs收益”等，都可以用类似的数学思维分析。
瑞士数学家欧拉提出的“37%法则”，就是一种经典的决策策略：在有限的选择中，前37%的选项作为“参考样本”不决策，之后遇到比样本更好的选项立即选择，能最大概率找到最优解。这体现了数学在理性决策中的重要作用。
核心启示：方案没有绝对的“好”与“坏”，只有“适合”与“不适合”，数学帮我们用数据找到最适合的那一个。
探究：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h). 请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1 级 3 000 640
1.5 3 级 2 600 800
探究点：方案决策问题
1 级
3 级
售价 3000 元
售价 2600 元
电费 (0.5×640×使用年数)元
电费 (0.5×800×使用年数)元
分析：
综合费用 = 空调的售价 + 电费
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1 级 3 000 640
1.5 3 级 2 600 800
探究点：方案决策问题
设空调的使用年数是 t，
则 1 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是
3000 + 0.5×640t，
即 3000 + 320t
3 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是
2600 + 0.5×800t，
即 2600 + 400t
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1 级 3 000 640
1.5 3 级 2 600 800
探究点：方案决策问题
知识点1 分段计费问题
1. 某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具
体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在该保险公司得到的赔
偿金是2 000元，那么此人的汽车修理费是__________.
汽车修理费 赔偿率
不超过500元的部分
超过500元不超过1 000元的部分
超过1 000元不超过3 000元的部分
… …
元
【点拨】因为 （元），
（元），
（元），且
300元元，（元） 元，
（元） 元，所以此人的汽
车修理费的取值范围是 ，由题意，得
，解得 ，
所以此人的汽车修理费是 元.
问题1： t 取什么值时，两款空调的综合费用相等？
3000 + 320t = 2600 + 400t
解得 t = 5.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1 级 3 000 640
1.5 3 级 2 600 800
探究点：方案决策问题
问题2：如何比较两款空调的综合费用？
比较 3000 + 320t 与 2600 + 400t 的大小.
方法一：运用整式的加减
(3000 + 320t) - (2600 + 400t)
= 3000 + 320t - 2600 - 400t
= 400 - 80t
= 80(5 - t)
当 t < 5 时，80(5 - t) > 0，
3000 + 320t > 2600 + 400t；
当 t > 5 时，80(5 - t) < 0，
3000 + 320t < 2600 + 400t.
(大数-小数＞0，小数-大数＜0)
探究点：方案决策问题
方法二：把表示 3 级能效空调的综合费用的式子 2600 + 400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式字的和.
2600 + 400t = (3000 + 320t) + (80t - 400)
= (3000 + 320t) + 80(t - 5)
当 t < 5 时，80(5 - t) 是负数，
这表明 3 级能效空调的综合费用较低；
当 t > 5 时，80(5 - t) 是正数，
这表明 1 级能效空调的综合费用较低.
探究点：方案决策问题
问题3：你认为哪种空调更划算呢？
同样是 1.5 匹的空调，1 级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长 (超过 5 年) 时综合费用反而低. 根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年 (从生产日期计起)，因此购买、使用 1 级能效空调更划算.
当 t = 5 时，两款空调的综合费用相等；
当 t < 5 时，3 级能效空调的综合费用较低；
当 t > 5 时，1 级能效空调的综合费用较低.
探究点：方案决策问题
探究点：方案决策问题
例 某市拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.
(A) 计时制：0.05 元每分钟；
(B) 包月制：60 元每月(限一部个人住宅电话上网).
此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元每分钟.
(1) 某用户某月上网时间为 x 小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2) 你认为采用哪种方式比较合算？
解：(1) 采用(A)计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x (元)，
采用 (B) 包月制：60＋0.02×60x＝(60＋1.2x) (元).
(2) 你认为采用哪种方式比较合算？
(2) 由 4.2x＝60＋1.2x，得 x＝20.
又由题意可知，上网时间越长，采用（B）越合算.所以当 0＜x＜20 时，采用（A）方式合算；
当 x＝20 时，采用两种方式费用相同；
当 x＞20 时，采用（B）方式合算.
探究点：方案决策问题
2. 某市有两家出租车公司，收费标准不同.甲公司收费标准：
起步价9元，超过 后，超过的部分按照每千米1.6元收费.
乙公司收费标准：起步价20元，超过 后，超过的部分按
照每千米1.3元收费.已知车辆行驶.本题中 取整数，不足
的路程按 计费.
（1）根据题意，填写下表：
车辆行驶的路程/ 1 3 5 8 15 20 …
甲公司收费/元 9 ___ 12.2 17 _____ 36.2 …
乙公司收费/元 20 20 20 __ __ 29.1 ____ …
9
28.2
20
35.6
（2）当车辆行驶路程超过 ，且路程为整数时，甲、乙
两公司的收费分别是多少 （结果用化简后的含 的式子表示）
【解】由题意得当车辆行驶路程超过 ，且路程为整数时，
甲公司的收费为 元，乙公司的
收费为 元.
（3）当行驶路程为____ 时，两家公司收取的费用相同.
18
【点拨】由题意得解得 ,所以当
行驶路程为 时，两家公司收取的费用相同.
知识点2 方案问题
3. 某校组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客
车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，
租金为每辆240元．七年级有学生135人，教师5人，共140人．
（1）若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，
需要多少辆？
【解】因为 （辆），且车辆数为正整数，
所以单独租用甲客车需要4辆；
因为 （辆），且车辆数为正整数，
所以单独租用乙客车需要5辆.
（2）若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，甲、乙两种
客车各租用多少辆？
设租用甲客车辆，则租用乙客车 辆，
根据恰好坐满140人，列方程，得
,
解得，则 ,
即租用甲客车2辆，乙客车2辆.
（3）在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是
否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存
在，请说明理由．
在（2）的条件下，即租用甲客车2辆，乙客车2辆的总费用
为 （元）；
不存在更省钱的租车方案.理由：
方案1：租0辆甲，5辆乙，可乘坐总人数为
，总费用为
（元）， ；
方案2：租1辆甲，4辆乙，可乘坐总人数为
，总费用为
（元）， ；
方案3：租3辆甲，1辆乙，可乘坐总人数为
，总费用为
（元）， ；
方案4：租4辆甲，0辆乙，可乘坐总人数为
，总费用为
（元）， .
对比所有方案可知， 元为最低费用，因此不存在更省钱
的租车方案．
4. 个人所得税起征点调整后，公民月工资、薪金所得不超过
5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税
所得额．此项税款按下表累加计算：（本题不计算规定中的
抵扣部分）
全月应纳税所得额 税率
不超过3 000元的部分
超过3 000元到12 000元的部分
超过12 000元到25 000元的部分
（纳税款=应纳税所得额×对应的税率）按此规定解答下列问题：
如果小丽的爸爸三月份的纳税款为540元，那么他三月份的
工资、薪金是________元．
12 500
5. ，果园分别有苹果30吨和40吨，， 两地分别需要苹果
20吨和50吨.已知从果园、果园到地、 地的运费如下表：
到 地 到 地
从 果园运出 每吨15元 每吨12元
从 果园运出 每吨10元 每吨9元
设从果园运到地的苹果为 吨.
（1）从果园运到地的苹果为_________吨，从 果园运到
地的苹果为_________吨.从果园运到 地的苹果为_______
____吨.
（2），两果园分别将苹果运往， 两地的总运输费用为
多少元
【解】总运输费用是
元.
（3）若总运输费用为750元，请你求出具体的运输方案.
根据题意得,解得 .
故运输方案为从果园运到地的苹果为5吨，运到 地的苹
果为25吨；
从果园运到地的苹果为15吨，运到 地的苹果为25吨.

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