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人教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.6.3.2角的比较与运算第六章几何图形初步人教版七年级数学上册6.3.2角的比较与运算专项练习题（含解析）一、核心知识点梳理（一）角的三种比较方法1.目测法直接观察角的开口大小，只适合差距明显的角度，做题仅作参考，不精准。2.度量法用量角器分别量出两个角的度数，根据度数大小比较角的大小，度数大的角更大。3.叠合法（考试重点、规范方法）将两个角的顶点重合、一条始边重合，另一条边落在重合边的同侧，通过终边位置判断大小：①终边重合→两角相等；②终边在内部→角度更小；③终边在外部→角度更大。（二）角的和差关系（几何识图核心）若射线OC在∠AOB内部：$$\angle AOB=\angle AOC+\angle COB$$$$\angle AOC=\angle AOB-\angle COB$$$$\angle COB=\angle AOB-\angle AOC$$若射线OC在∠AOB外部，两角叠加得到大角。（三）角平分线（本节必考核心）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OC平分∠AOB，则有三组等价公式：$$\angle AOC=\angle BOC$$$$\angle AOC=\angle BOC=\dfrac{1}{2}\angle AOB$$$$\angle AOB=2\angle AOC=2\angle BOC$$拓展：角三等分线、四等分线，可将角度平均分成多等份。（四）度、分、秒的加减运算规则1.加法：度加度、分加分、秒加秒；满60进1。2.减法：度减度、分减分、秒减秒；不够减向前一位借1当60。3.全程遵循60进制，禁止100进制计算。（五）常见角度模型1.共顶点多射线：从一点引出多条射线，有序找角的和差；2.平分线嵌套模型：大角包含小角，多次平分、逐层计算；3.无图多解模型：射线位置不确定，需要分类讨论（内部/外部）。二、高频易错点汇总1.叠合法操作不规范：顶点不重合、边不同侧，判断角度大小出错。2.混淆角平分线条件：只看角度相等，忽略射线从顶点出发。3.度分秒加减不进退位：满60不进1、不够减不借位，习惯性用100进制。4.无图几何题默认一种情况，漏了射线在角外的情况，丢解。5.识图错误：分不清角的包含关系，和差公式写反。6.计算结果不化简：分、秒满60不进位，答案不标准。三、专项练习题（总分100分，题型分值同步前文）（一）填空题（每空2分，共32分）1.比较角的大小常用三种方法：目测法、________、________。2.叠合法比较角时，必须保证________重合、一条边重合，另一条边在同侧。3.若OC在∠AOB内部，则∠AOB=________+________。4.从角的顶点出发，将角分成两个相等角的射线叫做________。5.若OC平分∠AOB，∠AOB=80°，则∠AOC=________°。6.角度计算进退位规则：满________进1，借1当________。7. ∠1=35°20′，∠2=35°15′，则________更大。8.一个角被平分线平分后，每个小角是原角的________。（二）选择题（每题3分，共30分）1.精准比较两个角大小的方法是（）A.目测法B.叠合法、度量法C.随便判断D.以上都不对2.已知OC平分∠AOB，下列式子错误的是（）A. ∠AOC=∠BOC B. ∠AOB=2∠BOC C. ∠AOC=2∠AOB D.正确3. ∠A=25.5°，∠B=25°30′，则（）A. ∠A＞∠B B. ∠A＜∠B C. ∠A=∠B D.无法比较4.角度加法计算进位规则是（）A.满10进1 B.满60进1 C.满100进1 D.无进位5.若∠AOB=60°，∠BOC=20°，且OC在角内，则∠AOC=（）A. 80°B. 40°C. 20°D. 60°6.下列说法正确的是（）A.角平分线可以在角外B.角度越大开口越大C.角的大小与边长短有关D.度分秒是100进制7. 18°15′换算成度为（）A. 18.15°B. 18.25°C. 18.5°D. 18.3°8.叠合法判断角大小的核心依据是（）A.边的长短B.终边位置C.顶点位置D.摆放角度9.若一条射线平分直角，则每个小角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.无图已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，∠AOC的度数为（）A. 60°B. 120°C. 60°或120°D. 30°（三）解答题（共38分）1.（18分）度分秒四则运算（1）$$25^\circ35'+42^\circ45'$$（2）$$90^\circ-36^\circ20'$$2.（20分）角平分线经典大题（期末必考）已知：∠AOB=120°，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数。四、参考答案与详细解析（一）填空题答案及解析1.叠合法、度量法。解析：数学精准比较两角大小的两种标准方法。2.顶点。解析：叠合法首要条件：顶点重合。3. ∠AOC、∠COB。解析：角内部射线将大角分为两个小角之和。4.角的平分线。解析：角平分线标准定义。5. 40。解析：$$80^\circ\div2=40^\circ$$。6. 60、60。解析：度分秒60进制进退位规则。7. ∠1。解析：20′＞15′，同度比分秒。8.一半（$$\dfrac{1}{2}$$）。解析：角平分线平分角度。（二）选择题答案及解析1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 6.B 7.B 8.B 9.B 10.C解析：度分秒60进制；角平分线从顶点出发平分角度；无图必须分角内、角外两种情况讨论。（三）解答题详细解析1.度分秒运算（1）$$25^\circ35'+42^\circ45'=67^\circ80'=68^\circ20'$$解析：35′+45′=80′，满60进1，80′=1°20′。（2）$$90^\circ-36^\circ20'=89^\circ60'-36^\circ20'=53^\circ40'$$解析：分不够减，从度借1当60′再计算。2.角平分线经典大题解：∵ OC平分∠AOB，∠AOB=120°∴ $$\angle BOC=\dfrac{1}{2}\angle AOB=60^\circ$$∵ OD平分∠BOC∴ $$\angle BOD=\dfrac{1}{2}\angle BOC=30^\circ$$$$\angle AOD=\angle AOB-\angle BOD=120^\circ-30^\circ=90^\circ$$答：∠AOD的度数为90°。五、本节万能解题总结必背口诀比角大小叠度量，顶点对齐边同向；平分线出两角等，一半倍数要记详；度分秒算六十进，不够借位满六上；无图做题必双解，角内角外不慌张。核心考点：角的比较、度分秒加减运算、角平分线计算、无图分类讨论大题（期末高频压轴）。角的表示方法：
①大写英文字母
②小写希腊字母
③数字
O
A
B
α
1
∠AOB或∠BOA
∠α
∠1
A
B
C
D
回顾：已知线段AB，CD，你有那些办法比较它们的大小？
方法一：目测法
方法二：度量法
方法三：叠合法
想一想：类比比较线段的方法，如何比较两个角的大小？
O
A
B
O'
A'
B'
方法一：目测法
∠AOB＞∠A'O'B'
如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？
知识点一
角的比较
方法二：度量法
∠AOB＞∠A'O'B'
O
A
B
O'
A'
B'
70°
40°
如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？
方法三：叠合法
O
A
B
O'
A'
B'
将两个角的顶点重合，把它们一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.
如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？
O
A
B
（O'）
（A'）
B'
O
A
B
（O'）
（A'）
（B'）
O
A
B
（A'）
（O'）
B'
∠AOB＞∠A'O'B'
∠AOB＜∠A'O'B'
∠AOB=∠A'O'B'
①O B 在∠AOB内部
②O B 在∠AOB外部
③O B 与OB重合
O
A
B
（O'）
（A'）
B'
O
A
B
（O'）
（A'）
（B'）
O
A
B
（A'）
（O'）
B'
两个角的三种大小关系：
∠AOB＞∠A'O'B'
∠AOB＜∠A'O'B'
∠AOB=∠A'O'B'
大于
小于
等于
知识点二
角的和、差
O
A
C
B
思考：类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，
记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；
O
A
C
B
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，
记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；
∠BOC是∠AOC与∠AOB的差，
记作∠BOC=∠AOC－∠AOB.
O
A
C
B
探究：借助一副三角尺的角，结合角的和差运算，可以画出那些度数的角？
90°
90°
60°
30°
45°
45°
画75°的角
75°
画15°的角
75°= 45°+30°
15°= 60°-45°
15°= 45°-30°
15°
15°
120°
105°
135°
150°
用类似的方法，小明同学画出了其它度数的角， 你知道他画出来的是多少度数的角吗？
知识点三
角度的四则运算
加法：
①度与度、分与分、秒与秒分别相加；
②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.
减法：
①度与度、分与分、秒与秒分别相减；
②从低位算起，秒相减不够向分借，分相减不够向度借，借1作60.
例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数.
A
C
O
B
分析：AB是直线
∠AOB=180°
∠AOB=∠AOC（已知）+∠BOC
即可得∠BOC的度数
例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数.
A
C
O
B
解：由题意可知，∠AOB是平角，
∠AOB=∠AOC+∠BOC，
所以∠BOC =∠AOB-∠AOC
=180°-53°17′
=126°43′.
先将180°化为179°60′再进行减法运算
乘法：
①度、分、秒分别与倍数相乘；
②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.
除法：
①度、分、秒分别与除数相除；
②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化.
例3 把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？
360°÷7
= 51°+3°÷7
=51°+180′÷7
≈51°26′
解：
答：每份是约51°26′的角.
知识点四
角的平分线
线段中点的定义：
点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点.
思考：类比线段的中点，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间有怎样的关系？
角平分线的定义：
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
几何语言：
所以OB平分∠AOC.
（角的平分线的定义）
如图，因为
角平分线的性质：
因为OB平分∠AOC，
所以
∠AOC＝2∠1＝2∠2.
注意：角平分线满足的三个条件
①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分.
类似地，还有角的三等分线、四等分线等.
因为射线OB，OC是∠AOD的三等分线，
三等分线：
所以 .
因为射线OB，OC，OD是∠AOE的四等分线，
四等分线：
所以∠1=∠2=∠3=∠4= ∠AOE
探究：如何在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线？
知识点1 角的大小比较
1. 在的内部任取一点，作射线 ，那么有( )
D
A. B.
C. D.
2. 若，， ，则
( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】因为, ,
， ，
所以 .
3. 如图，由正方形组成的网
格中，点，，，， 是网格线的交
点，那么与 的大小关系是
___.（填“ ”“ ”或“=”）
（第3题）
【点拨】如图,取格点，连接 .易知
.因为 ，所
以 .
4. 如图，两个三角形表示两块三角尺.
（1）用叠合法比较与 ,与 的大小；
【解】如图所示，把两块三角尺叠在一起，可得 ,
用同样的方法，可得 .
（第4题）
（2）量出图中各角的度数，并把图
中的6个角从小到大排列，然后用“
”或“=”连接.
用量角器量出图中各个角的度数分别是 ,
, , , ,把它们从小到大
排列，有 .
知识点2 角的和与差
5. 如图，一把直尺、两个含
角的三角尺拼接在一起，则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
6. 用一副三角尺可以画一些指定度数的角.下面的角中，不
能用一副三角尺直接画出的是( )
C
A. B. C. D.
7. 计算：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
8. 如图，已知 ，
，且求 的度数.
【解】因为 ,
所以设,则 .
因为 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,解得
,
所以 .
（第9题）
9. 如图，点表示养心殿所在位置，点 表示
太和殿所在位置，点 表示文渊阁所在位置.已
知养心殿位于太和殿北偏西 方向上，文
渊阁位于太和殿南偏东 方向上，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
（第10题）
10. 利用一副三角尺比较
与 的大小，两角
顶点均与三角尺某一顶点重合.
已知图①中射线与 角
的一边重合，图②中射线
B
A. B.
C. D. 无法判断
与 角的一边重合，则下列判断正确的是( )
【点拨】由题图①可知， 角在 内，由题图②可
知，在 角内，所以 ，
所以 ，故选B.
（第10题）
（第11题）
11. 如图，已知
, ，现将射
线绕点顺时针匀速旋转，射线 ,
保持不动，当射线与射线 重合
时停止旋转.当三条射线构成的角中有两
或
个角相等（重合除外）时，射线 旋转的角度为___________.
（第11题）
【点拨】三条射线构成的角中有两个角
相等（重合除外）时，可能存在以下两
种情形：
①当射线旋转到 外部时，
，
所以 .所以射线 旋转的角度为
.②当射线旋转到 内部时，
，所以射
线旋转的角度为 .综
上,射线旋转的角度为 或 .
（第11题）
12. 如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，
那么 的度数为____.
（第12题）
（第12题）
【点拨】如图.易知 ,
，
，
所以 .
13. 日常生活中，我们几
乎每天都要看钟表，它的时针
和分针如同兄弟俩在赛跑，其
中蕴涵着丰富的数学知识.
（1）如图①,上午8:00这一时刻，钟表上分针与时针的夹角
等于______.
（2）请在图②中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，
思考并回答：从上午8:00到 ,钟表的分针转过的度数是
______,钟表的时针转过的度数是____.
【解】如图.
（第13题）
【点拨】因为分针每分钟转 ,时针每分钟转 ,所以从上
午8:00到，分针转过的度数为 ,时针转过的度数为
.
（3）“元旦”这一天，小明上午8:00出门买东西，回到家中时
发现还没到 ,但是时针与分针重合了，那么小明从离开家
到回到家用了多少分钟？
设小明从离开家到回到家用了
分钟.
由题意易得分针比时针多走了
,
所以,解得 .
所以小明从离开家到回到家用了 分钟.

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