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人教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第二章有理数的运算第二章有理数的运算全章知识点总结一、全章知识框架有理数的运算分为一级运算（加减）、二级运算（乘除）、高级运算（乘方），辅以科学记数法、近似数两大应用知识点，是初中代数计算的基础核心，所有运算均围绕“先定符号，再算数值”的核心原则展开。知识脉络：有理数加减法→加减混合运算→有理数乘法→乘法运算律→有理数除法→四则混合运算→有理数乘方→有理数综合混合运算→科学记数法→近似数二、核心运算知识点汇总（一）有理数的加法与减法1.加法法则-同号两数相加：取相同符号，绝对值相加；2.减法法则（核心转化思想）减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：$$a-b=a+(-b)$$。3.加减混合运算统一将减法转化为加法，写成省略加号、括号的和的形式；利用加法交换律、结合律，优先同号结合、凑零凑整、同分母结合，简化计算。（二）有理数的乘法与除法1.乘法法则-两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0；-多个非零数相乘：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负。2.乘法运算律（简化计算必备）-交换律：$$a\times b=b\times a$$-结合律：$$(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$$-分配律：$$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$（可正向、逆向使用）3.除法法则-法则一：两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0；-法则二：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即$$a\div b=a\times\frac{1}{b}(b\neq0)$$；-重要规定：0不能作为除数。（三）有理数的乘方1.定义：求n个相同因数的积的运算，结果叫做幂，$$a^n$$中a为底数，n为指数。2.符号规律-正数的任何次幂都是正数；-负数的奇次幂为负，偶次幂为正；- 0的正整数次幂为0，1的任何次幂为1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1。3.重点区分：$$-a^n$$（底数为a，先乘方再取反）与$$(-a)^n$$（底数为-a，整体乘方）。（四）有理数混合运算（全章重点）终极运算顺序1.先算乘方（最高级），再算乘除，最后算加减；3.同级运算，从左到右依次计算；4.有括号时，先小括号、再中括号、最后括号外。三、两大应用知识点1.科学记数法把大数表示为$$a\times10^n$$（$$1\leqslant|a|<10$$，n为整数）；n的值为原数整数位数减1；还原时小数点向右移动n位，不足补0。2.近似数通过四舍五入得到的数，核心是判断精确度：普通小数看最后一位数位；带单位、科学记数法的近似数，需还原原数后判断末尾有效数字的数位；近似数末尾的0不可随意省略，决定精确度高低。四、全章通用解题口诀1.加减运算：减变加，号相反，带符号，巧分组；2.乘除运算：同正异负，先定符号，后算数值；3.乘方运算：看底数，辨括号，奇负偶正记牢靠；4.混合运算：先乘方，后乘除，最后加减，括号优先；5.科学记数：留一位，数位数，位减一，定指数；6.近似数：四舍五入看下位，大数还原判精度。五、全章高频易错点汇总-符号错误：加减、乘除、乘方运算中，正负号判断失误（最常见错误）；-乘方混淆：分不清$$-2^2$$与$$(-2)^2$$的区别，错算$$-1^4$$；-运算顺序：颠倒乘方、乘除、加减优先级，同级运算乱序；-除法误区：分数除法忘记变倒数，混淆0的除法规则；-运算律误用：乘法分配律漏乘项，交换位置遗漏数字符号；-记数与近似：科学记数法a取值不规范，近似数精确度判断不还原原数、随意省略末尾0。有理数的运算
加法
乘法
减法
交换律
结合律
分配律
除法
乘方
一、有理数的运算
1. 有理数的加法
(1) 加法法则
(2) 加法的运算律
加法交换律
加法结合律
2. 有理数的减法
减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
3. 有理数的乘法
(1) 乘法法则
(2) 乘法的运算律
乘法交换律
乘法结合律
4. 有理数的除法
乘法分配律
除法法则：
除以一个数，等于乘这个数的倒数.
(1) 先乘方，再乘除，最后加减；
(2) 同级运算，从左到右进行；
(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号依次进行.
5. 有理数的乘方
求几个相同因数的积的运算，叫作乘方.
指数
底数
6. 有理数的混合运算
幂
二、科学记数法
三、近似数
1. 按照要求取近似数
2. 由近似数判断精确度
四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位.
1. 1≤a＜10；
2. n 为原数的整数位数减去 1.
把大于 10 的数记成 a×10n 的形式，其中
考点1 有理数的加减运算
1. 计算
，这
个运算应用了( )
C
A. 加法交换律 B. 加法结合律
C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对
（第2题）
2. 如图，有一根
小棍,在的左边 在数轴上
移动，数轴上， 两点之间的距离
为20，当移动到与， 其中一个端
18或
点重合时，点所对应的数为8，当移动到线段 的中点时，
点 所对应的数为________.
考点2 有理数的乘除运算
3. 如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点
分别表示数，，且， ，则原点落在( )
C
（第3题）
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
4. 小明有5张卡片，如图.请你按要求抽出卡片，
完成下列各题.
（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，
最大是___;
（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小，
最小是____;
8
（3）从中抽出除0以外的4张卡片，将卡片上的4个数字进行
加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24（注：每个
数字都要用且只能用一次），如： ，
请另写出一种符合要求的运算式子：
_________________________________________.
（答案不唯一）
5. 用简便方法计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式
.
6. 已知，互为相反数，，互为倒数， 是绝对值最小的
负整数，数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，
求 的值.
【解】因为,互为相反数，所以 .
因为，互为倒数，所以 .
因为 是绝对值最小的负整数，
所以 .
因为数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，所
以或 .
当 时，
;
当 时，
.
考点3 有理数的乘方
7. 计算 的结果为( )
A
A. B. C. D.
【点拨】 ，故选A.
8. 已知，，且，
均为正整数，如果将 进行如图所
示的“分解”，那么下列四个叙述中
正确的有( )
C
① 的“分解”结果是15和17两个数;
②在 的“分解”中，最小的数是13;
③若的“分解”结果中最小的数是23，则 ;
④若的“分解”结果中最小的数是79，则 .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】通过观察可知，底数是几，
就分解成几个奇数，且各奇数之和
等于幂，由此规律逐个分析.①在
的“分解”中，最小的数是
，最大的数是 ，所以此叙述正确；
②在 的“分解”中，最小的数是13，则其他三个数为15，17，
19，四个数的和为64，恰好为 ，所以此叙述正确；③若
，则 的“分解” 结果中最小
的数是21，其余四个数为23，25，
27，29，所以此叙述错误；④在
的“分解”中，最小的数是
，所以 ，所以此
叙述正确.故正确的有①②④.故选C.
考点4 有理数的混合运算
9. 计算：
（1） ；
【解】
.
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
考点5 科学记数法和近似数
10. 2026年1月7日《2026年中国“人工智能+”
应用趋势报告（精华版）》显示“ ”个人：赋能个体与生
活方式变革，超过1 500万知识工作者将使用 工具辅助
创作与编程，个人生产力提升以上， 文创应用成为
常态．其中数据1 500万用科学记数法表示为( )
D
A. B. C. D.
11. 下列说法正确的是( )
C
A. 近似数 精确到十分位
B. 近似数1.28万精确到百分位
C. 数 精确到百分位为4.00
D. 近似数6.5与6.50精确度相同
思想1 数形结合思想
12. 在数轴上，有理数，的位置如图，将与 的对应
点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为 ，
，，，，且， 下列结论：
①；②；③ ；④
.
其中所有正确结论的序号是______.
①④
【点拨】因为，，所以，，且数
对应的点比数对应的点距离原点远，所以易知数 在原点
的左侧，所以 ，所以①正确；由数轴所表示的数可知
，可能大于0，可能小于0，也可能等于0，所以
的符号不确定，与 不一定相等，所以②③
不正确；
因为在原点的左侧，而在原点右侧，所以表示数 的点
到表示数的点的距离为，所以易知表示数 的点到
表示数的点的距离为 ，即
，所以④正确.
思想2 分类讨论思想
13. 【阅读理解】 表示5与2的差的
绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的
距离；同理可以理解为 与1两数在数轴上所对应的两
点之间的距离，就表示 在数轴上对应的
点到表示 的点的距离.
（1）【概念理解】
的几何意义是___（选择A或B），
的最小值为___；
A.数轴上表示数 的点到表示数4的点和表示数2的点的距离
之和
B.数轴上表示数的点到表示数4的点和表示数 的点的距离
之和
B
6
【点拨】理解为在数轴上表示数 的点到表
示数4的点和表示数的点的距离之和，所以当在 和4之
间，即时， 有最小值，最小值为
.
（2）【尝试应用】
若，则 _______；
或5
【点拨】当 在3的右边时，原等式可变形为
，解得;当在 的左边时，原等式可
变形为，解得;当在 与3之间时，
原式可变形为 ，即原式不成立.故答案
为 或5.
（3）【拓展延伸】
已知整数，， 满足
，则式子 的最大值和最
小值分别为多少？
因为， ，
，且,, 均为整数,所以110只能分解为
.
所以， ，
,
从而，，或 ,
易知当，，时， 的值最大，最大
为 ,
当，，时， 的值最小,最小为
.

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