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人教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第五章一元一次方程第五章一元一次方程全章总复习（知识点+易错点+真题练习+详细解析）第五章一元一次方程知识体系总框架本章分为方程概念→解方程四大方法→五大应用题模型，是初中代数计算核心、期末必考大题板块。解方程完整标准步骤（必考五步）：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1---5.1一元一次方程基础概念一、核心定义只含有一个未知数，未知数次数是1，且分母不含未知数的整式方程，叫做一元一次方程。标准形式：$$ax+b=0\ (a\neq0)$$二、方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。三、等式的两大性质（解方程依据）性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立。（用于移项）性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。（用于去分母、系数化1）四、高频易错点1.未知数系数不能为0；2.分母含未知数不是一元一次方程；3.判断方程的解必须代入左右两边验证。---5.2解一元一次方程（四大解法全汇总）5.2.1移项法解方程核心规则移项必变号，不移不变号。习惯：含未知数项移左边，常数项移右边。易错点移动项忘记变号、不移动的项乱变号。5.2.2去括号法解方程去括号口诀正号去括不变号，负号去括全变号；系数乘遍每一项，绝对不能漏乘。易错点括号前为负号，只变第一项符号，后面项漏变号；系数漏乘常数项。5.2.3去分母法解方程核心步骤两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母。两大铁律1.所有项全部乘，整数项绝不漏乘；2.分子是多项式，去分母必须加括号。5.2.4完整五步解方程流程（考试标准答案模板）去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1---5.3一元一次方程五大应用题压轴模型（全章重点）5.3.1配套问题+工程问题1.配套问题核心零件成固定比例，交叉相乘列等式若a甲配b乙：$$b\times甲总量= a\times乙总量$$2.工程问题核心总工作量默认为1工作效率$$=\dfrac{1}{工作时间}$$，合作效率直接相加总工作量=各段工作量之和5.3.2销售利润问题（必考）四大核心公式利润=售价 进价利润率$$=\dfrac{利润}{进价}\times100\%$$售价=进价$$\times(1+$$利润率$$)$$折后售价=标价$$\times \dfrac{折扣}{10}$$易错点利润率永远以进价为分母，不是标价！5.3.3球赛积分表问题核心关系总场次=胜场+负场（无平局）总积分=胜场积分+负场积分关键检验场次必须为非负整数，小数、负数全部无解，不符合实际。5.3.4方案选择问题（期末压轴）万能四步解题法1.设未知数；2.列出两种方案费用表达式；3.令相等求临界点；4.分三段讨论最优方案。取值规律数量小：选无固定费用方案；数量大：选带会员/优惠方案；临界点费用相同。---第五章全章高频易错大盘点（扣分重灾区）1.去分母漏乘整数常数项；2.去括号负号不全变、漏乘项；3.移项忘记变号，计算符号混乱；4.销售问题混淆进价、标价、售价；5.配套问题比例写反，不会交叉相乘；6.积分问题不检验场次整数性；7.方案问题只解方程，不分类讨论、不写范围。第五章期末必考解题口诀（全书通用）解方程口诀：去分母要全覆盖，去括号要符号对；移项变号是关键，合并化简再归一。应用题口诀：配套看比例，工程看单位；销售看进价，积分看整数；方案找临界，分类得满分。第五章全章综合真题（期末模拟）一、解方程（规范书写五步）$$\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+2}{6}=1$$二、应用题综合真题某商店将进价为200元的商品加价30%标价，再打八折出售，请问这件商品最终盈亏多少元？参考答案1.解方程去分母：$$2(2x-1)-(x+2)=6$$去括号：$$4x-2-x-2=6$$移项合并：$$3x=10$$系数化为1：$$x=\dfrac{10}{3}$$2.销售应用题标价：$$200\times(1+30\%)=260$$元折后售价：$$260\times0.8=208$$元利润：$$208-200=8$$元答：盈利8元。
本章知识结构图
实际问题
一元一次方程
实际问题的答案
一元一次方程
的解（x = m）
设未知数，
根据相等关系列方程
抽象为数学模型
一般步骤：
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为 1
解
方
程
回归于实际问题
检验
第五章 一元一次方程 教学课件幻灯片分页内容
第1页：封面
标题：第五章 一元一次方程
副标题：从算式到方程的跨越——数学建模的入门之旅
学科：七年级数学（上册）
授课人：XXX
日期：XXXX年XX月XX日
第2页：本章学习导航
一、学习目标
- 知识与技能：理解一元一次方程定义，掌握等式性质；熟练解一元一次方程；能列方程解决实际问题。
- 过程与方法：经历“实际问题→方程模型”的抽象过程，体会方程思想与转化思想。
- 情感态度：感受数学与生活的联系，培养严谨的运算习惯。
二、重点难点
重点：一元一次方程的解法与实际应用
难点：找实际问题中的等量关系；解方程时的易错点把控（如去分母漏乘、移项忘变号）
第3页：情境导入——为什么需要方程？
问题情境
1. 某校七年级共有学生320人，其中男生人数比女生人数多20人，男、女生各有多少人？
2. 一辆客车从A地开往B地，全程360km，已知客车速度为60km/h，几小时能到达？
思考与对比
用算术方法解决这些问题，需要逆向思考；而用方程方法，可直接根据数量关系“顺向”列式。
方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
第4页：核心概念1——一元一次方程的定义
定义表述
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。
标准形式：ax+b=0（a≠0，a、b为常数）
关键词解读（三者缺一不可）
关键词
含义
反例
一个未知数
仅含x、y等单个字母
2x+y=5（两个未知数）
次数为1
未知数的指数是1
x +2x=1（次数为2）
整式方程
分母不含未知数
1/x + 3=0（不是整式）
即时练习
判断下列式子是否为一元一次方程：
1. 3x-5=0（是） 2. 2x+3y=7（否） 3. x =8（否） 4. 0.5x+1=3（是）
第5页：核心概念2——方程的解与等式的性质
一、方程的解
使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。
检验方法：将数值代入方程两边，若两边相等，则是解；否则不是。
二、等式的性质（解方程的理论依据）
性质
符号表示
注意事项
性质1：两边加（减）同一个数（式子），结果仍相等
若a=b，则a±c=b±c
“同一个”是关键，确保等式平衡
性质2：两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
若a=b，则ac=bc；若a=b（c≠0），则a/c=b/c
除数不能为0，否则无意义
直观理解：用天平模拟——天平平衡时，两边同时加减同重量物体或乘除同倍数（不为0），仍平衡。
第6页：一元一次方程的解法（基础步骤）
核心目标：将方程转化为“x=a”的最简形式（依据等式性质）
基础类型及解法
方程类型
解法步骤
示例：解方程
x±a=b
利用性质1，两边同时减（加）a
x+3=5 → x=5-3 → x=2
ax=b（a≠0）
利用性质2，两边同时除以a
-2x=6 → x=6÷(-2) → x=-3
ax±b=c
先移项（性质1），再系数化为1（性质2）
2x-4=8 → 2x=8+4 → 2x=12 → x=6
移项要变号！如“-4”移到右边变为“+4”，“+3x”移到左边变为“-3x”。
第7页：一元一次方程的解法（复杂步骤）
针对含分母、括号的方程，需补充“去分母”“去括号”步骤，完整流程可灵活调整。
标准步骤及示例：解方程 (2x-1)/3 - (x+1)/2 = 1
1. 去分母：两边同乘各分母最小公倍数（6），勿漏乘不含分母的项
2(2x-1) - 3(x+1) = 6 （每一项都乘6）
2. 去括号：按乘法分配律，注意符号变化
4x - 2 - 3x - 3 = 6 （括号前是“-”，括号内各项变号）
3. 移项：含未知数项移左，常数项移右，移项变号
4x - 3x = 6 + 2 + 3
4. 合并同类项：化简为ax=b形式
x = 11
5. 检验：代入原方程，左边=(22-1)/3 - (11+1)/2=7-6=1=右边，解正确
易错点总结
1. 去分母漏乘常数项；2. 分子是多项式时未加括号；3. 去括号符号错误；4. 移项忘变号。
第8页：实际问题与一元一次方程（1）——基础题型
解题核心流程：找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验作答
一、和差倍分问题
等量关系：总量=部分量之和；倍数量=基础量×倍数
例题：某班共56人，男生比女生2倍少13人，求男女生人数？
解：设女生x人，则男生(2x-13)人，列方程x+(2x-13)=56→x=23，男生33人
二、行程问题
核心公式：路程=速度×时间（s=vt）
- 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程（如A、B两地360km，甲乙相向而行，速度60、40km/h，x小时相遇：60x+40x=360）
- 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离
即时练习
甲、乙两仓共存粮480吨，甲是乙的1.4倍，求各存粮多少吨？（答案：乙200吨，甲280吨）
第9页：实际问题与一元一次方程（2）——高频题型
一、工程问题
核心公式：工作量=效率×时间（设总工作量为1，效率=1/完成时间）
等量关系：各部分工作量之和=总工作量
例题：甲独做10天完成工程，乙独做15天完成，两人合作几天完成2/3？
解：设x天完成，(1/10+1/15)x=2/3→x=4
二、销售盈亏问题
核心公式：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；售价=标价×折扣
例题：衣服进价80元，打8折出售仍获利20%，求标价？
解：设标价x元，0.8x-80=80×20%→x=120
三、配套问题
等量关系：各部件数量成比例（如1螺栓配2螺母，则螺母=2×螺栓）
例题：28名工人生产螺栓（12个/人/天）和螺母（18个/人/天），如何分配使螺栓螺母配套？
解：设生产螺栓x人，18(28-x)=2×12x→x=12（螺栓12人，螺母16人）
第10页：实际问题与一元一次方程（3）——特色题型
一、年龄问题
关键：年龄差始终不变（今年差=明年差=几年后差）
例题：今年父35岁，子5岁，几年后父龄是子的4倍？
解：设x年后，35+x=4(5+x)→x=5
二、数字问题
关键：两位数=十位数字×10+个位数字（如两位数ab=10a+b）
例题：十位数字比个位大2的两位数，交换后新数比原数小18，求原数？
解：设个位x，原数=10(x+2)+x，新数=10x+(x+2)，列方程得原数为20、31等
三、浓度问题
核心公式：浓度=溶质/溶液×100%；溶液=溶质+溶剂（稀释/加浓时溶质不变）
例题：100g20%的盐水，加多少水变10%？
解：设加水x g，20/(100+x)=10%→x=100
第11页：章末知识梳理
一、知识框架
一元一次方程→定义（三要素）→等式性质（解法依据）→解法（五步流程）→实际应用（八大题型）
二、核心知识速记
模块
核心内容
定义
一未知数、次数1、整式方程（ax+b=0，a≠0）
等式性质
加减同量不变；乘同量不变，除同非0量不变
解法步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（易错点：符号、漏乘）
应用题
找等量关系是关键，按“设列解验答”流程解题
三、数学思想
方程思想（用方程表示数量关系）、转化思想（将复杂方程转化为x=a）、建模思想（实际问题→数学模型）
第12页：课后作业与拓展
一、基础作业
1. 解下列方程：（1）3(2x-1)=5x+2；（2）(x-3)/2 - (2x+1)/3 = 1
2. 某工厂有工人85人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮配3个小齿轮，如何分配工人使齿轮配套？
二、提升作业
1. 某商品标价200元，按标价的8折销售仍获利25%，求商品进价。
2. 甲、乙两人从同一地点出发，甲先出发1小时，乙再出发追赶，甲速度5km/h，乙速度7km/h，乙多久能追上甲？
三、拓展思考
收集生活中可用一元一次方程解决的问题，尝试列出方程并求解（下节课分享）。
一、方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式叫作方程.
2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数，未知数的次数都是____，等号两边都是_______，这样的方程叫作一元一次方程.
一
1
整式
3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解.
4. 解方程：求方程的解的过程叫作解方程.
二、等式的性质
等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果 a = b，那么 a±____= b±c.
c
如果 a = b，那么 ac = ______；
如果 a = b，c ≠ 0，那么 _____.
等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.
bc
三、解一元一次方程的一般步骤
去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.
去括号：注意括号前的系数与符号.
移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项注意要改变符号.
合并同类项：把方程化成 ax = b（a ≠ 0）的形式.
系数化为 1：方程两边同除以 x 的系数，得 x = m 的形式.
四、实际问题与一元一次方程
1. 列方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中某个未知量为 x.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：检验方程的解是否符合题意.
答：写出答案（包括单位）.
考点1 一元一次方程及方程的解
1. 下列各式中，一元一次方程有( )
①；② ；
③；④ ；
⑤；⑥ .
A
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 小明同学在解关于的方程 时，
把处的数字看错了，解得 则该同学把看成了___.
7
3. 已知，是质数，并且以 为未知数的一元一次方程
的解是，则代数式 的值为
______.
2003
【点拨】因为方程的解是 ，所以
.因为97为奇数，所以, 中必有一个奇数，一
个偶数.因为偶数中只有2为质数，所以当为偶数时， ,
此时,则，符合题意；当 为偶数时，
,此时 ，不是质数，不符合题意，舍去，
所以，.所以 .
考点2 等式的性质
4. 下列变形，正确的有( )
①若，则；②若，则 ；③若
，则；④若，则 .
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】①,若,和 不一定相等,故①不符
合题意;②,若,则和 不一定相等,故②不符合题意;
③若,则,正确,故③符合题意;④若 ,则
,正确,故④符合题意.所以正确的有2个.故选B.
5. 若等式可以变形为 ，则下列结
论一定成立的是( )
C
A. B. ， 互为倒数
C. D.
考点3 一元一次方程的解法
6. 若关于的方程 的解是正整数，
且关于的多项式 是二次三项式，那么所
有满足条件的整数 的值之和是( )
C
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【点拨】因为 是二次三项式，
所以,,所以且 .
,
去分母，得 ,
去括号，得 ,
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
因为关于的方程 的解是正整数，所
以 是正整数.
所以整数 或2或4.
所以所有满足条件的整数 的值为1，4，
所以所有满足条件的整数的值之和是 ,
故选C.
7. , 是在数轴上不同的两个点，它们所对应的数分别是
, ,且点,到原点的距离相等，则 的值为___.
-3
【点拨】根据题意知，.又, 是在数轴上
不同的两个点，则,所以 .
8. 解下列方程：
（1） ；
【解】去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） ；
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
（3） ；
去分母，得
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（4） .
原方程可化为 .
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
9. 定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两
个方程互为“倒数方程”，如：方程与 互
为“倒数方程”.
（1）关于的方程与 互为“倒数方程”，
则 ___；
4
（2）关于的方程 与其“倒数方程”的解都是
整数，求 的值；
【解】解方程，得 ,
所以其“倒数方程”的解为 .
因为与 都是整数,
所以，解得或 .
（3）关于的方程与 互
为“倒数方程”，求关于 的一元一次方程
的解.
解方程，得 ,
所以它的“倒数方程”的解为 .
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以关于的一元一次方程 的
解为 .
考点4 一元一次方程的应用
10. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样
一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次
关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一
斤.问本持金几何.”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持
金的，第2关收税金为此时所持金的 ，第3关收税金为此时所持金
的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的 .
五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？ ( )
A
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
【点拨】设原本持金斤，第1关收税 （斤），剩余
（斤），第2关收税 （斤），剩余
（斤），第3关收税 （斤），剩余
（斤），第4关收税 （斤），剩
余（斤），第5关收税 （斤），
则，解得，故原本持金 斤.
11. 某条城际铁路线共有，， 三个车站，每日上午
均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从 站始
发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达 站，
两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校
数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信
息如下表所示.#1
列车运行时刻表#1.1
车次 站 站 站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
8：00 9：30 9：50 10：50
8：25 途经 站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）次列车从站到站行驶了____，从站到
站行驶了____ ；
90
60
（2）记次列车的行驶速度为，离站的路程为 ；
次列车的行驶速度为，离站的路程为 .
① __；
②从上午8：00开始计时，时长记为（如：上午9： ，
则），已知（可换算为 ），
在次列车的行驶过程中 ，若
，求 的值.
【解】因为， ,
所以 .
因为 ,
所以站与站之间的路程为 .
因为 ,
所以当时，次列车经过 站.
由题意可知，当时，次列车在 站停车.
所以次列车经过站时，次列车正在 站停车.
ⅰ.当时， ,
所以，所以 ，解得
；
ⅱ.当时， ,
所以，所以 ，解
得 ，不合题意，舍去；
ⅲ.当时， ,
所以，所以 ，解
得 ，不合题意，舍去；
ⅳ.当时， ,
所以 ，所以
，解得 .
综上所述，当或125时， .
思想1 分类讨论思想
12. 解关于的方程： .
【解】把方程 变形，
得 .
分三种情况：
（1）当，即 时，方程只有一个解，为
；
（2）当，，即， 时，方程
有无数个解；
（3）当，，即， 时，方程
无解.
本题求方程的解，对形如“ ”的方程化简时，应
根据， 的取值讨论解的情况，体现了分类讨论思想的运用.
. .
思想2 数形结合思想
13. 在一个“磁悬浮”的轨道架上做钢球碰撞实
验，如图①所示，轨道长为 ,轨道架上有三个大小、质
量完全相同的钢球,,,轨道左右各有一个钢制挡板和 ,其
中到左挡板的距离为,到右挡板的距离为,,
两球相距.现以轨道所在直线为数轴，假定 球在原
点， 球表示的数为40,如图②所示，解答下列问题：#1
（1）在数轴上，找出球及右挡板 所表示的数，并填在图
②中的括号内.
; 100
（2）碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记）钢球的运动
都是匀速，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢
球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运
动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动.
①现球以每秒的速度向右匀速运动，则 球第二次到
达球所在位置时用了____;经过时，,, 三球在数轴
上所对应的数分别是_____,____,_____.
40
40
②如果,两球同时开始运动，球向左运动， 球向右运
动，球的速度是,球的速度是 ,问：经过多
长时间, 两球第一次相撞 第一次相撞时在数轴上所对应的
数是多少
【解】设经过, 两球第一次相撞.
依题意有,解得 ,
.
故经过, 两球第一次相撞，第一次相撞时在数轴上所
对应的数是 .

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