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人教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第一章有理数第一章有理数全章知识点总结+专项练习题（含解析）一、全章核心知识点总结1.1正数和负数1.定义：大于0的数是正数，小于0的数是负数；0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。2.核心用途：用正负数表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、高于与低于标准、盈利与亏损等。3.实际应用：生活中误差范围表示，如500±5g，表示标准质量500g，允许浮动±5g。1.2.1有理数的概念1.定义：整数和分数统称为有理数。所有能写成分数形式的数都是有理数。2.分类：（1）按定义分：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）；（2）按符号分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。3.关键结论：有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。1.2.2数轴1.定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线，三要素缺一不可。2.对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，原点表示0，右正左负。3.大小规律：数轴上右边的数总比左边的数大。4.点的平移：右移加、左移减。1.2.3相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数是-a。2.特殊值：0的相反数是0，是唯一相反数等于本身的数。3.几何意义：数轴上互为相反数的两个点，关于原点对称，到原点距离相等。4.性质：互为相反数的两个数和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0。5.符号化简：偶数个负号为正，奇数个负号为负。1.2.4绝对值1.定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，绝对值恒为非负数（|a|≥0）。2.化简规则：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0。3.核心结论：绝对值最小的数是0；互为相反数的两个数绝对值相等。4.非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。1.2.5有理数的大小比较1.基础规则：正数＞0＞负数，正数大于一切负数。2.负数比较大法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。3.通用方法：数轴法（右大左小）、绝对值法、化简后比较。二、全章高频易错点汇总1.易错将0归为正数或负数，0是特殊整数，非正非负；2.混淆有理数概念，误将无限不循环小数当作有理数；3.已知绝对值求数，只写正数、遗漏负数解；4.两个负数比较大小，误用绝对值越大数值越大的规则；5.多重符号化简、含绝对值式子化简出错；6.画数轴遗漏三要素，点的平移方向计算错误。三、全章综合专项练习题（含解析）（一）填空题（每空2分，共30分）1.如果支出200元记作-200元，那么+150元表示________。2.数轴三要素是________、________、________。3. -3.5的相反数是________，绝对值是________。4.绝对值等于4的数是________，绝对值最小的有理数是________。5.比较大小：-3________-3.1，0________-0.01，$$-\frac{2}{3}$$________$$-\frac{3}{4}$$。6.大于-4且小于2的所有整数是________。7.若|x-2|=0，则x=________；若a与-5互为相反数，则a=________。（二）选择题（每题3分，共30分）1.下列各数中，属于有理数的是（）A. π B.无限不循环小数C. 3.14 D.开方不尽的数2.下列说法正确的是（）A. 0是正数B. 0是分数C. 0是有理数D. 0是最小的正数3.数轴上距离原点6个单位长度的点有（）个A. 1 B. 2 C. 3 D.无数4.两个有理数比较大小，正确的是（）A. -10＞0 B. -5＞-2 C. 0＞-1.5 D. 3＜-45.相反数等于本身的数是（）A.正数B.负数C. 0 D.所有有理数6.若|a|=-a，则a一定是（）A.正数B.负数或0 C.负数D.非负数（三）解答题（共40分）1.（12分）把下列各数填入对应集合：-7、0、3.5、$$-\frac{1}{2}$$、8、-0.6、10整数集合：{________…}分数集合：{________…}正数集合：{________…}负数集合：{________…}2.（14分）化简并比较大小：（1）-|-4.5|和-(-3.8)（2）$$-\frac{4}{5}$$和$$-\frac{5}{6}$$3.（14分）在数轴上表示下列各数，并用“<”连接：-3、2.5、0、-1.5、$$\frac{1}{2}$$四、参考答案与全解解析（一）填空题解析1.收入150元。解析：支出为负，相反意义收入为正。2.原点、正方向、单位长度。解析：数轴必备三要素。3. 3.5、3.5。解析：相反数变号，绝对值取距离、恒正。4.±4、0。解析：绝对值为正数的数有两个，0绝对值最小。5.＞、＞、＞。解析：负数绝对值大的反而小，正数大于负数和0。6. -3、-2、-1、0、1。解析：筛选区间内所有整数，不包含端点-4和2。7. 2、5。解析：绝对值为0则内部为0；互为相反数和为0。（二）选择题解析1. C解析：有限小数属于有理数，无限不循环小数、π为无理数。2. C解析：0是整数、有理数，非正非负，不是分数。3. B解析：±6两个点到原点距离均为6。4. C解析：0大于所有负数。5. C解析：只有0的相反数是本身。6. B解析：负数和0的绝对值等于它的相反数。（三）解答题解析1.整数集合：{-7、0、8、10…}；分数集合：{3.5、$$-\frac{1}{2}$$、-0.6…}；正数集合：{3.5、8、10…}；负数集合：{-7、$$-\frac{1}{2}$$、-0.6…}。2.（1）化简：-|-4.5|=-4.5，-(-3.8)=3.8，故-4.5 < 3.8；（2）$$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}$$，$$\left|-\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6}$$，$$\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$$，故$$-\frac{4}{5} > -\frac{5}{6}$$。3.数轴标注：原点左侧标注-3、-1.5，原点标注0，右侧标注$$\frac{1}{2}$$、2.5；大小排序：$$\frac{1}{2}$$-3 < -1.5 < 0 < < 2.5。知识结构图
正数和负数
有理数
数轴
数与点的对应
相反数
绝对值
有理数的大小比较
第一章 有理数 章末复习
第1页：章节知识框架图
有理数章节核心知识脉络，理清各知识点间的联系：
graph TD
A[有理数] --> B[有理数的概念]
A --> C[有理数的运算]
A --> D[有理数的应用]
B --> B1[正数与负数]
B --> B2[有理数的分类]
B --> B3[数轴]
B --> B4[相反数]
B --> B5[绝对值]
C --> C1[有理数的加减]
C --> C2[有理数的乘除]
C --> C3[有理数的乘方]
C --> C4[混合运算]
D --> D1[科学记数法]
D --> D2[近似数与有效数字]
D --> D3[实际问题应用]
核心主线：以“数轴”为工具，串联“相反数、绝对值”等概念，支撑有理数的各类运算及应用。
第2页：核心概念（一）——有理数的定义与分类
1. 正数与负数
- 正数：大于0的数（如+3、2.5、1/2，“+”可省略）；
- 负数：在正数前加“-”的数（如-5、-1.8、-3/4，“-”不可省略）；
- 0的意义：既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界，可表示“没有”“基准量”（如海拔0米）。
2. 有理数的分类（两种标准）
按定义分类
- 整数：正整数、0、负整数（如1、0、-2）；
- 分数：正分数、负分数（如3/4、-0.6）；
- 整数和分数统称有理数。
按性质分类
- 正有理数：正整数、正分数；
- 0；
- 负有理数：负整数、负分数。
易错点：π不是有理数（它是无限不循环小数），但3.14是有理数。
第3页：核心概念（二）——数轴、相反数、绝对值
概念
定义/特征
性质/结论
数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线
1. 数轴上的点与有理数一一对应；2. 右边的点表示的数总比左边的大
相反数
只有符号不同的两个数（0的相反数是0）
1. 若a与b互为相反数，则a+b=0；2. 数轴上表示相反数的点关于原点对称
绝对值
数轴上表示数a的点到原点的距离，记为|a|
1. |a|≥0（非负性）；2. 当a>0时，|a|=a；a=0时，|a|=0；a<0时，|a|=-a
示例：| -3 | = 3，-（-2）= 2，数轴上表示-1和3的点，距离原点分别为1和3，且3在-1右侧，故3 > -1。
第4页：重点运算（一）——有理数的加减运算
1. 加法法则（核心：先定符号，再算绝对值）
- 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加（如3+5=8，-3+(-5)=-8）；
- 异号两数相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3+(-5)=-2，-3+5=2）；
- 互为相反数相加得0（如3+(-3)=0）；一个数加0仍得原数。
2. 减法法则（转化思想：减变加，数变反）
a - b = a + (-b)（如5 - 8 = 5 + (-8) = -3，-5 - (-8) = -5 + 8 = 3）
3. 加减混合运算技巧
- 统一成加法：将式子化为省略加号的和的形式（如-3 - 5 + 2 = -3 + (-5) + 2）；
- 简便运算：同号结合、相反数结合、凑整结合（如(3+7)+(-5-2)=10-7=3）。
第5页：重点运算（二）——乘除、乘方运算
1. 乘法法则
- 符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0（如3×5=15，-3×(-5)=15，-3×5=-15）；
- 多个有理数相乘：负因数个数为偶数得正，奇数得负，再算绝对值乘积。
2. 除法法则（转化思想：除变乘，数变倒）
a ÷ b = a × (1/b)（b≠0），符号规则同乘法（如6÷(-2)=6×(-1/2)=-3，-6÷(-2)=3）
3. 乘方法则（核心：底数为正，结果为正；底数为负，看指数奇偶）
- 定义：n个相同因数a相乘，记为a （如2×2×2=2 ，(-2)×(-2)=(-2) ）；
- 符号规则：(-a) ：n为奇数得负，n为偶数得正（如(-2) =-8，(-2) =4）；
- 注意：-a 与(-a) 的区别（如-2 =-4，(-2) =4）。
4. 混合运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（如-2 + 3×(-4) = -4 -12 = -16）。
第6页：核心应用——科学记数法与近似数
1. 科学记数法
- 表示形式：a×10 （1≤|a|<10，n为整数）；
- n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于整数位数减1（如567000=5.67×10 ）；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于左起第一个非零数前零的个数（如0.000567=5.67×10 ）。
2. 近似数与有效数字
- 近似数：与实际接近的数（如π≈3.14，是精确到百分位的近似数）；
- 有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位数字止的所有数字（如0.0314有3个有效数字：3、1、4；3.14×10 有3个有效数字：3、1、4）。
易错点：用科学记数法表示的数，有效数字只看a的部分，精确位数需还原后判断（如3.14×10 精确到千位）。
第7页：易错题型辨析与总结
易错点1：概念混淆
例：判断“带负号的数都是负数”“有理数包括正数、负数和0”是否正确？
解析：① 错误（如-(-2)=2是正数）；② 正确（有理数分类的基本结论）。
易错点2：运算符号错误
例：计算-3 - (-2) 错解：9 - (-8)=17 正解：-9 - (-8)=-1
解析：注意乘方符号优先级，-3 是“3的平方的相反数”，(-2) 是“-2的立方”。
易错点3：绝对值非负性应用
例：已知|a+2| + |b-3|=0，求a+b的值。
解析：绝对值非负，和为0则每一项为0 → a+2=0，b-3=0 → a=-2，b=3 → a+b=1。
易错点4：科学记数法的n值判断
例：将0.0000201用科学记数法表示 错解：20.1×10 正解：2.01×10
解析：a需满足1≤|a|<10，n的绝对值是左起第一个非零数前零的个数。
第8页：章节核心总结
1. 三大核心思想
- 转化思想：减法转加法、除法转乘法、复杂运算转简便运算；
- 分类讨论思想：有理数分类、加法法则、乘方法则等均体现分类；
- 数形结合思想：用数轴表示有理数，将抽象数与具体点结合。
2. 核心公式与结论
- 相反数：a的相反数是-a，a+b=0 a、b互为相反数；
- 绝对值：|a|=| -a |，|a|≥0；
- 运算律：加法交换律a+b=b+a、结合律(a+b)+c=a+(b+c)，乘法交换律ab=ba、结合律(ab)c=a(bc)、分配律a(b+c)=ab+ac。
3. 解题步骤口诀
遇运算，先定号，再算绝对值错不了；遇概念，抓本质，数轴相反数记心间；遇应用，明题意，科学记数近似要精准。
1. 正数和负数
大于 0 的数叫作正数，在正数前加上符号“-”的数叫作负数.
表示具有相反意义的量
0 既不是正数，也不是负数.
2. 有理数的概念及分类
概念：可以写成分数形式的数称为有理数.
分类：正有理数、0、负有理数.
可以写成正分数形式的数
可以写成负分数形式的数
3. 有理数的有关概念
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
数轴概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
正半轴、负半轴：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.
相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数，0 的相反数是 0.
在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数.
绝对值：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 | a |.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.
4. 有理数的大小比较
利用数轴比较：数轴上两个点表示的数，左边的数小于右边的数.
利用正负性比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数.
利用绝对值比较：两个负数，绝对值大的反而小.
考点1 正数和负数
1. 下列各数中：5，，，0，， ，负数有
( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列说法正确的是( )
D
A. “向东”与“向西 ”不是具有相反意义的量
B. 若气球上升记作，则 的意义就是下降
C. 若气温下降记作，则 的意义就是气温下降
D. 若将高设为标准，高记作 ，则
表示高
考点2 有理数的概念与分类
3. 下列8个数：-，0，， （每相邻两
个2之间依次多一个6），，， ， ，
其中有理数有___个.
6
4. 把下列各数填在相应的集合里：
（1）负整数集合：_____________ ；
（2）正数集合：_______________________ ；
（3）非负整数集合：______________ .
，
，，
0，
考点3 数轴
5. 如图，数轴上的点，，，， 表示连续的五个整数，
若点，表示的数分别为,，且，则点 表示的
数为( )
B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 今年，越来越多的无人配送车出现在长
沙街头，走进我们的生活.据统计，在深圳核心区域，80台无
人车相当于替代了35名人力及35台传统接驳车辆.某无人配送
车从快递公司出发，先向西行驶到达 小区，继续向西
行驶到达小区，然后向东行驶到达 小区，最后
回到快递公司.若以快递公司为原点，向东方向为正方向，用
1个单位长度表示 ，画出数轴（如图）.#1
（1）请在图中的数轴上表示,, 三个小区的位置.
【解】如图所示.
（2）求小区和 小区之间的距离.
小区和小区之间的距离为 .
（3）哪个小区离快递公司最远？请说明理由.
小区离快递公司最远.
理由如下：因为，，， ，
所以 小区离快递公司最远.
考点4 相反数
7. 以下说法中不正确的是( )
B
A. 如果，那么
B. 如果是大于1的正数，那么是小于 的负数
C. 一个数的相反数的相反数等于它本身
D. 一个数大于它的相反数，那么这个数一定是正数
8. 已知表示数， 的点在数轴上的位置如图所示：
（1）在数轴上画出表示数， 的相反数的点；
【解】如图.
（2）若表示数与其相反数的点相距12个单位长度，则数
是____；
（3）在（2）的条件下，若表示数与表示数 的相反数的点
相距3个单位长度，求数 .
因为，所以的相反数 .
因为表示数与表示数 的相反数的点相距3个单位长度，且
,所以 是3.
考点5 绝对值的意义及非负性
9. 若，则 的值为( )
B
A. 9 B. 5 C. D.
【点拨】因为, ,
,所以,,所以, ,所
以 .
10. 如图，,,,分别是数轴上四个整数,,, 所对应
的点，其中有一点是原点，并且 .
数的对应点在与之间，数的对应点在与 之间，若
，则原点是( )
B
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【点拨】因为 ,所以
,所以.①当原点是或 时,
,和题意相互矛盾,故原点不可能是或 ;②当原
点是或时,存在 ,符合题意.
考点6 有理数的大小比较
11. 立冬是冬季的第一个节气，通常
标志着气温逐渐下降，进入冬季.如图记录了某地连续5天的
日最低气温，则这5天中日最低气温最低的一天是星期____.
二
12. 有四张卡片，卡片正面分别写有四个数，背面分别写有
四个字母，如下表：
正面
背面
（1）在下面的数轴上表示出卡片正面的数；
【解】 ,卡片正面的数
在数轴上表示如图.
（2）将卡片正面的数由小到大排列，然后按顺序写出卡片
背面的字母组成的单词.
,
故单词为 .
思想1 数形结合思想
13. 电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿越墙进入“
站台”（如示意图的 站台）的镜头，构思奇妙，给观众留下
深刻的印象.若，站台分别位于，处，站台到 站台
的距离是到站台距离的2倍，则 站台用类似电影的方法可
称为“_ ______站台”.
或6
【点拨】因为,站台分别位于，处，所以站台到 站
台的距离，所以站台到 站台的距离
,站台位于处；或站台到 站台
的距离,站台位于处.故 站台用类似
电影的方法可称为“ 或6站台”.
思想2 分类讨论思想
14. 已知，，为有理数，且 ,求
的值.
【解】当,, 中没有负数时，都是正数，则原式
;
当,,中只有一个负数时，不妨设 是负数，则原式
;
当,,中有2个负数时，不妨设, 是负数，则原式
;
当,,都是负数时，则原式 .
综上所述，的值是4或 或0.

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