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山东省烟台市牟平区2025—2026学年度第二学期期末质量检测
初三数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中是反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.若与最简二次根式能合并成一项，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
4.在欧几里得的几何原本中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点，连结，在的延长线上取点，使，以为边作正方形则点、点、点、点四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. 或 D.
6.如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接若，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.在平面直角坐标系中，顶点若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则的坐标为 ．
A. B.
C. 或 D. 或
9.如图，在菱形中，，，为的中点，是上一点，，为上一点，连接交于点，若，则的值为 ．
A. B.
C. D.
10.九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会问甲乙行各几何”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了步，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
11.如图，在中，，点为的中点，点在线段上，过点作的平行线交直线于点，点是的中点，连接，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点下列结论：；；四边形与面积相等；；若，，则直线的函数解析式为其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.化简的值为 ．
14.已知一元二次方程的两根分别为、，则一元二次方程的两根分别为 ．
15.如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过 象限．
16.如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点在反比例函数图象上，若，则 ．
17.小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若为正整数，则 ．
18.如图，在菱形中，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 __．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
按要求完成作答：
计算：．
已知，，若的值比的值大，求满足条件的值．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中是满足的偶数．
21.本小题分
如图，菱形的顶点在等边的边上，点在的延长线上，连接，过点作的平行线交于点若，，求的长度．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为．
求的值；
当时，自变量的取值范围为 ；
将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式．
23.本小题分
如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙可利用的墙长为，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为．
求车棚的长；用含的代数式表示
若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽；
在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24.本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点在轴负半轴上，．
， ，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
25.本小题分
如图，四边形中，交于点，点，分别是，的中点，平分交于点，连接，．
判断的形状，并证明你的结论；
线段与有怎样的数量关系，并说明理由．
26.本小题分
某学校数学社团开展解题闯关活动．
【闯关活动一】如图，在中，点在线段上，，，，，求的长．经过社团成员合作交流发现，过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决此问题如图请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长；
【闯关活动二】拓展应用：请参考的解决思路，解决以下问题：如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】， ，
15.【答案】一、三、四
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：的值比的值大，
，
把，代入方程得：，
展开得，
整理得，
两边同除以化简得，
因式分解得，
或，
解得或．

20.【答案】解：，
解得．
是偶数，
．
原式
，
．

21.【答案】解：如图，设与相交于点，
菱形，点在的延长线上，
，，
，
，
，，
．
，
，．
等边，，
，
，
．
，
，
，
，，，
．

22.【答案】【小题】
解：把代入得，，
，
点在反比例函数的图象上，
；
【小题】
或
【小题】
解：如图，连接，，
由可知，点，点关于原点对称，
，
，
，
，即，
，
，
直线是由直线向上平移个单位得到的，
直线的表达式为．

23.【答案】【小题】
解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
，
；
【小题】
解：由可得，车棚面积为：，
解得：或，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，舍去，
自行车车棚的长为，宽为；
【小题】
解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．

24.【答案】【小题】
【小题】
解：由可知，，．
当点在轴的负半轴上时，，
．
又，
与不可能相似．
当点在轴的正半轴上时，．
若，则，
，
，
；
若，则，
又，，
，
．
综上所述，点的坐标为或．

25.【答案】【小题】
是等腰直角三角形，证明如下：
，点是的中点，
，平分，
平分，
，
，
，
．
是等腰直角三角形；
【小题】
，理由如下：
点，分别是的中点，
，．
，
，即．
由知是等腰直角三角形，
，即，
．
，
．
．
．
，
．
，
．
．
．

26.【答案】【小题】
过点作，交的延长线于点，
．
，
，
．
又，
，
，
，，
，
；
【小题】
解：过点作交于点，如图所示．
，，
．
，
，
．
，
．
，
，
．
，
，，
．
在中，，即，
解得：舍负，
，．
在中，，
，
解得．

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