资源简介

专题5 导角模型 (三)飞镖型
(燕尾型)
名师指导
基本图形： 结论： ∠A+∠B+∠C=∠D
针对训练
1. 一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°.当∠BCD是下列哪个度数时，这个零件才是合格的 ( )
A.150° B.140° C. 130° D.120°
2.如图,在△ABC 中,点 D 在BA 的延长线上,点 E 在BC 边上,连接DE 交AC 于点 F,已知∠DFC=3∠B=123°,∠C=∠D,则∠BED 的度数为 ( )
A. 102° B.98° C.88° D.82°
3.将一副三角尺按如图所示放置,直角顶点重合于点 C,∠B=60°,∠E=45°,斜边AB⊥DE,垂足为 F,则∠ACD= .
4. 如图,CE平分∠ACD,交AB 于点E,若∠A=40°,∠B=30°,∠BDC=110°,则∠BEC 的度数为 .
5. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D= .
6. 如图①所示的图形由于形似燕子的尾巴，称为“燕尾图”，观察“燕尾图”回答下列问题：
(1)试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系,并说明理由;
(2)如图②,BE是∠ABD 的平分线,CF是∠ACD 的平分线,BE与CF 交于点G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,求∠A 的度数;
(3)如图③,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点 G ,G ,…,G ,若∠BDC=140°,∠BG C=77°,求∠A 的度数.
7.(1)如图①,∠A=52°,∠B=25°,∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°,求∠F的度数;(2)如图②,∠EGC=105°,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
专题5 导角模型(三)飞镖型(燕尾型)
1. B
2. B 解析:∵∠DFC=3∠B=123°,∴∠B=41°.∵ ∠DFC=∠DAF+∠D,∠DAF=∠B+∠C,∴ 123°=∠B+∠D+∠C.∵∠C=∠D,∴∠C=∠D=41°,∴ ∠DEC=∠B+∠D=82°,∴ ∠BED=180°-∠DEC=98°,故选 B.
3. 15° 解析:∵ ∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°.∵ DE⊥AB,∴ ∠AFM=90°,∴ ∠AMF=90°-∠A=60°,∴∠AMF=∠CME=60°.∵ ∠E=45°,∴ ∠MCE=180°-∠E-∠CME=75°.∵∠DCE=90°,∴∠ACD=∠DCE-∠MCE=15°.
4. 60° 解析:依题意设∠ACE=∠DCE=x,则∠ACD=2x,根据飞镖型结论,可得∠BDC=∠A+∠B+∠ACD,
所以 40°+30°+2x= 110°,x= 20°,同样根据飞镖型结论得∠BDC=∠BEC+∠B+∠DCE,所以∠BEC=110°-30°-20°=60°.
5. 204° 解析:连接AC,由飞镖型结论可得∠A+∠B+∠C+∠D=108°+96°=204°.
6. (1)∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由:如图,连接AD并延长AD至点 E,∵∠BDE=∠B+∠BAE,∠CDE = ∠C +∠CAD,∴ ∠BDC =∠BDE+∠CDE=∠B+∠BAE+∠C+∠CAD=∠BAC+∠B+∠C,即∠BDC=∠A+∠B+∠C.
一题多解
另解一:如图①,延长 BD 交AC 于点 E,∵ ∠DEC=∠A+∠B,∴∠BDC=∠DEC+∠C=∠A+∠B+∠C,即∠BDC=∠A+∠B+∠C.
另解二:如图②,连接BC,∵∠A+∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=180°,∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,∴ ∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,∴∠BDC=∠A+∠B+∠C.
(2)由(1)可得∠BGC=∠A+∠ABG+∠ACG,∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,∵ BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,∴∠ABG= ∴ ∠BDC-∠BGC=∠GBD+∠GCD=∠ABG+∠ACG=140°-110°=30°,∴∠A=∠BGC-(∠ABG+∠ACG)= 110°-30°=80°.
(3)由(1)可得 ∠A+∠ABD+∠ACD,∵ ∠BDC=140°,∠BG C=77°,设∠A= 解得x=70,∴∠A为70°.
7. (1)连接AD,AE,AF,分别延长AE,AF到点 M,N,如图所示.∵ ∠BEM 是△ABE的外角,∴ ∠BEM=∠BAE+∠B.同理可得出∠DEM=∠DAE + ∠ADE, ∠DFN = ∠DAF + ∠ADF,∠CFN = ∠CAF +∠C,∴ ∠BEM +∠DEM +∠DFN+∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C,即∠BED+∠CFD=∠BAC+∠B+∠EDF+∠C,∴72°+∠CFD=52°+25°+35°+30°,∴∠CFD=70°.
(2)题图②可视为燕尾型EDCG和燕尾型ABGF 的组合，则有∠EGC=∠E+∠C+∠D,∠BGF=∠B+∠F+∠A,∴∠A+∠B+∠F=∠E+∠C+∠D=105°,∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=210°.专题6 导角模型(四)风筝型
(伞型、折叠模型)
名师指导
基本图形： 变式：
结论:∠1+∠2=∠A+∠D 结论:∠2-∠1=∠A+∠D
分类训练
类型一 不压边
1.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,将△ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上A'处,下列结论正确的是 ( )
A. ∠1+∠2=∠B+∠C B.∠1+∠2>∠B+∠C
C.∠1+∠2<∠B+∠C D. 无法判断∠1+∠2与∠B+∠C 的大小关系
2.如图,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处,且BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,若∠BA'C=110°,则∠1+∠2的度数为 .
3.把四边形ABCD沿EF折叠，当点A，D分别落在四边形BCFE 内部点A'，D'的位置时，你能求出∠A'，∠D'，∠1与∠2之间的数量关系吗 并说明理由.
类型二 压一边
4. 如图,已知∠BAC=32°,点D,E分别在AB,AC边上,将△ADE沿DE折叠,点A落在∠BAC外部的点A'处，此时测得∠1=106°，则∠2的度数为 ( )
A.34° B.37° C.40° D.42°
5. 已知在△ABC中,∠A=65°,将∠B,∠C 按照如图所示折叠,若∠ADB'=35°,则∠1+∠2+∠3= °.
6.如图,有一特定的纸带,其边沿夹角为15°,现将该纸带沿BD翻折,∠GEA=30°,求∠EDB 的度数.
类型三 压两边
7.如图,把△ABC沿EF折叠,折叠后的图形如图所示,∠A=50°,则∠1+∠2的度数为 ( )
A.130° B. 120° C.110° D. 100°
8.如图,把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠,若∠1=70°,∠C=90°,则∠2的度数为 .
专题6 导角模型(四)风筝型
(伞型、折叠模型)
1. A 解析:∵ ∠BAC=60°,∴∠B+∠C=∠ADE+∠AED=180°-60°=120°.∵ 将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在 BC 边上A'处,∴ ∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED,∴ ∠A'DE+∠A'ED=∠ADE+∠AED= 120°,∴ ∠1+∠2=180°-(∠ADE+∠A'DE)+180°-(∠AED+∠A'ED)=360°-(∠A'DE+∠A'ED)-(∠ADE+∠AED)=360°-120°-120°=120°,∴∠1+∠2=∠B+∠C.故选 A.
2. 80° 解析:如图,连接AA',∵ BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,∴∠A'BC= 110°,∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-110°=70°, ∴ ∠ABC + ∠ACB = 140°,∴∠BAC=180°-140°=40°.∵ △ABC 沿 DE 折叠,∴∠DAA'=∠DA'A,∠EAA'=∠EA'A.∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA',∠2=∠EAA'+∠EA'A = 2∠EAA',∴ ∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×40°=80°.
理由：如图，补全三角形，延长 EA，FD 相交于点G,∠1 + ∠FEA′= ∠G + ∠GFE, ∠2 +∠EFD'=∠G+∠GEF,则∠1+∠FEA'+∠2+ 由折叠可得∠FEA'=∠GEF,∠EFD'=∠GFE,∴∠1+∠2=2∠G.
∵四边形ABCD沿EF折叠,
∠EAD + ∠FDA = ∠G + ∠GDA + ∠G +
4. D 解析:由折叠性质知,∠ADE = ∠A'DE,∠AED =∠A'ED,∵∠1=106°,∴∠ADE=∠A'DE= ×(180°-106°)=37°,∴∠A'ED=∠AED=180°-∠A-∠ADE=111°,∴∠DEC=180°-∠AED=69°,∴∠2=∠A'ED-∠DEC=42°.故选 D.
5. 265 解析:由折叠知:∠B=∠B',∠C=∠C'.令AB 与B'E的交点为 M.∵ ∠3=∠B+∠BME,∠BME =∠ADB'+∠B', ∠C'GC=360°-∠C-∠C'=360°-2∠C,∴ ∠1+∠2=360°-(∠C'FC+∠C'GC)=360°-(360°-2∠C)=2∠C.∴∠1+∠2+∠3=2∠C+2∠B+35°=2(∠C+∠B)+35°=2(180°-∠A)+
6.如图，延长CD交AB的延长线于点M，由题意可知，∠M=15°,∵∠AEG=30°,∴∠DEB=30°,∴∠EDM=180°-∠DEB-∠M= 135°,由折叠可知,∠EDB = ∠MDB,∴ ∠EDB =135°÷2=67.5°.
7. D 解析:∵∠A=50°,∴∠AEF+∠AFE=180°-50°=130°,∴∠BEF+△CFE=360°-130°=230°.∵四边形B'EFC'由四边形 BEFC 翻折而成,∴∠B EF+∠C'FE =∠BEF+∠CFE =23 230°-130°-100°.故选D
8. 50° 解析: 把一张 Rt△ABC 纸片沿 DE 折叠,
∴∠CDE=∠C'DE.∵∠1=70°,∴∠CDE=180°-∠1=110°,
∴∠C'DA=40°.∵∠C'=∠C=90°,∴∠2=90°-40°=50°.专题3 导角模型(一)A字型
名师指导
基本图形：
结论：
∠1+∠2=∠B+∠C
针对训练
1. 如图,在△ABC中,∠C=70°,若沿图中虚线截去∠C,求∠1+∠2的度数.
2. 如图,P是四边形ABCD 的外角∠EBC与∠BCF 的平分线 BP与CP 的交点.设∠A+∠D=α.探索∠BPC与α的数量关系.
3. 如图,在△ABC中,E,H分别是AB,AC上的点,D,F是BC上的点,连接ED,FH,过点F作FG∥AB交AC 于点 G,且∠HFG+∠AED=180°.
(1)求证:ED∥HF;
(2)若∠AED+∠FDE=240°,∠B-∠C=10°,求∠AHF+∠EDB 的度数.
专题3 导角模型 (一)A字型
1. 如图,∵ ∠1,∠2 是△CDE 的外角,∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,即∠1+∠2= ∠C + ( ∠C + ∠3 + ∠4) = 70°+180°=250°.
2. 如图,延长BA,CD交于Q,∵∠CBE=∠Q+∠QCB,∠BCF =∠Q+∠QBC,∴ ∠CBE+∠BCF=2∠Q+∠QCB+∠QBC=2∠Q+(180°-∠Q)= 180°+∠Q,
∴ ∠P = 180°-∠CBP- 同理,α=∠BAD+∠CDA=180°+∠Q,即∠Q=α-180°,∴
3. (1) ∵ ∠HFG+∠AED = 180°,∠AED +∠BED = 180°,
∴∠HFG=∠BED.∵ AB∥FG,∴∠B=∠GFC.∵ ∠EDF=∠B+∠BED,∠HFC=∠HFG+∠GFC,∴∠EDF=∠HFC,∴ED∥HF.(2)∵ED∥HF,∴∠EDB=∠HFD,∴∠AHF+∠EDB=∠AHF+∠HFD.∵ ∠AED+∠FDE=240°,∴ ∠AED+∠FDE=2∠B+∠BDE+∠BED=2∠B+(180°-∠B)= 180°+∠B=240°,∴∠B=60°.∵ ∠B-∠C=10°,∴ ∠C=50°,同理,∠AHF+∠HFD=180°+∠C=230°,∴ ∠AHF+∠EDB=230°.专题4 导角模型(二)8字型
(蝴蝶型)
名师指导
基本图形： 结论： ∠A+∠B=∠C+∠D
针对训练
1. 如图,∠C=∠A=90°,∠B=25°,则∠D 的度数是 ( )
A.55° B.35° C.25° D.20°
2.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为 .
3.如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”.
(1)求证:∠A+∠C=∠B+∠D.
(2)如图②,若∠CAB 和∠BDC的平分线AP和DP相交于点 P,且与CD,AB分别相交于点M,N.
①以线段AC 为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B和∠C为任意角时，其他条件不变，试探究∠P与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系并证明；
③若角平分线中角的关系改为‘ 试探究∠P与∠B,∠C之间存在的数量关系，并说明理由.
专题4 导角模型(二)8字型(蝴蝶型)
1. C 解析:记AD和BC的交点为O,在△AOB 与△COD中,∵∠A=∠C=90°,∠AOB=∠COD,∠B=25°,∴∠D=∠B=25°.故选 C.
2. 360°解析:如图,∠AKH = ∠A+∠B = ∠HGK+∠KHG,∠CGK = ∠C +∠D= ∠GKH+∠KHG,∠FHB = ∠E+∠F=∠HKG+∠KGH,∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = 2(∠HGK+∠KHG+∠GKH)=2×180°=360°.
3. (1)在题图①中,有∠A+∠C=180°-∠AOC,∠B+∠D=180°-∠BOD,∵∠AOC=∠BOD,∴∠A+∠C=∠B+∠D.
(2) ①3 4 解析:以线段 AC 为边的“8 字型”有ACMDP,ACODB 和 ACODN;以点 O 为交点的“8字型”有ACODB,ACODN,AMODN和AMODB.
②2∠P=∠C+∠B.证明:在分别以 M,N 为交点的“8 字型” ACMDP 和BDNPA中,有∠C+∠CAP=∠P+∠PDC,∠B+∠BDP=∠P+∠PAB,两式相加得∠C+∠B+∠CAP+∠BDP=2∠P+∠PDC+∠PAB,∵ AP 平分∠CAB,DP 平分∠BDC,∴∠CAP=∠PAB,∠BDP=∠PDC,∴2∠P=∠C+∠B.
③3∠P =∠B+2∠C.理由: ∠CDP = 以M为交点的“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以 N为交点的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP.∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP= ∠CAB).∴2(∠C-∠P)=∠P-∠B,∴3∠P=∠B+2∠C.专题7 导角模型(五)余角模型
(双垂直模型)与补角模型
名师指导
模型 余角模型 补角模型
基本图形 变式
图形
条件 ∠BAC=∠ADC=90° ∠ACB=∠BED=90° ∠A+∠C=180°
结论 ∠B=∠2, ∠C=∠1 ∠1=∠2=∠B, ∠A=∠D ∠ABE=∠D
分类训练
类型一 余角模型
1. 如图,在△ABC中,两条高线CE,BD相交于点 G,M,N是边BC上两点,且AM,GN分别平分∠BAC,∠BGC,AM 交 CE 于点 F.
(1)求证:∠BAC+∠BGC=180°;
(2)求证:AM∥GN.
类型二 补角模型
2. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AE平分∠BAD交BC于点E,交DC的延长线于点 F,作∠ECF 的平分线交AB 的延长线于点 G.
(1)求证:∠BAD=2∠BCG;
(2)求证:CG⊥EF.
专题7 导角模型(五)余角模型
(双垂直模型)与补角模型
1. (1)∵BD,CE是△ABC的高线,∴∠ABD+∠BAC=∠ABD+∠BGE = 90°,∴ ∠BAC = ∠BGE.∵ ∠BGC+∠BGE = 180°,∴ ∠BAC+∠BGC=180°.
(2)设∠BAC=2x°,则∠MAC=x°,由(1)可知,∠BAC+∠BGC=180°,∴∠BGC=(180-2x)°,∴∠BGN=(90-x)°.∵ ∠BDA=90°,∴∠AHG=90°-∠MAC=(90-x)°,∴∠AHG=∠BGN,
∴AM∥GN.
2. (1)∵在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠D=90°,∴∠BAD+∠BCD= 180°.∵ ∠ECF+∠BCD= 180°,∴ ∠BAD =∠ECF.∵CG平分∠ECF,∴ ∠BAD=2∠BCG.
(2)设CG交EF 于点H,由(1)可知,∠ECG=∠FCG=∠BAE=∠DAE,又∵∠AEB=∠CEF,∠ABC=90°,∴∠CEF+∠ECG=90°,∴∠CHE=90°,∴ CG⊥EF.

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