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专题9 角平分线夹角模型(二)双外角平分线
名师指导
基本图形： 条件:BP平分外角∠CBD,CP平分外角∠BCE 结论：
针对训练
1. (1)如图①,在△ABC中,BO平分外角∠CBP,CO平分外角∠BCQ,猜想∠O和∠A之间有什么数量关系 并证明你的结论.
(2)如图②,在锐角△ABC中,BD和BE三等分外角∠PBC,CD和CE三等分外角∠QCB,请分别写出∠A 和∠D,∠A 和∠E 的数量关系并证明.
2. 如图①,△ABC的外角平分线BF,CF交于点 F.
(1)若∠A=50°,求∠F的度数.
(2)过点 F作直线MN,交射线AB,AC于点M,N,并将直线MN绕点 F 转动.
①如图②,当直线MN 与线段 BC没有交点时,若设∠MFB=α,∠NFC=β,试探索∠A与α,β之间满足的数量关系，并说明理由.
②当直线 MN 与线段BC有交点时，试问①中∠A 与α，β之间的数量关系是否仍然成立 若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系.
专题9 角平分线夹角模型 (二)
双外角平分线
证明:∵∠PBC=∠A+∠ACB,∠QCB=∠A+∠ABC,∴∠PBC+∠QCB=2∠A+∠ACB+∠ABC=2∠A+ ∵BO平分外角∠CBP,CO平分外角∠BCQ,∴
证明:∵ BE 和 BD三等分外角∠PBC,CE 和 CD 三等分外角∠QCB,∴∠CBE= 同理， 综上，∠A 和∠D 的数量关系为 ∠A 和∠E 的数量关系为∠E = 120°-
2. (1)∵BF,CF分别是∠DBC和∠BCE的平分线,∴∠CBF= ∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∠CBF+∠BCF+∠F = 180°,∴ ∠F = 180°- ∠A=50°,∴∠F=65°.
理由:由(1)可知∠BFC=90°- ∠MFB=α,∠NFC=β,∵ ∠BFC+∠MFB+∠NFC=
②不成立， 或
解析：如图①，当N在线段AC上，M在AB延长线上时，由(1)可知 ∠MFB=α,∠NFC=β,∵∠BFN+∠NFC=∠B数值 ∵∠BFN+∠MFB=180°
如图②，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由(1)可得， ∵ ∠BFC-∠MFB+∠NFC=180°,∴90°- 即专题8 角平分线夹角模型(一)双内角平分线
名师指导
基本图形： 条件:BP平分内角∠ABC,CP平分内角∠ACB 结论：
针对训练
1. 如图,在△PBC中,BD,CA分别平分∠ABC和∠DCB,BD与AC相交于点O,连接AD.
(1)已知∠OAD+∠ODA=60°,求∠P 的度数;
(2)若∠BAC=α,∠CDB=β,∠BOC=γ,试探究α,β,γ三者之间的等量关系.
2. 如图①,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB 的平分线交于点D.
(1)试说明
(2)过点D 任意作直线MN，分别交射线AB 和射线AC于点M 和N.
①如图②,当点M,N分别在边AB,AC上时,求∠MDB+∠NDC的度数(用含∠A的代数式表示).
②当点M，N中有一点在边AB或AC的延长线上时，∠MDB，∠NDC，∠A三者之间存在怎样的数量关系 说明你的理由.
专题8 角平分线夹角模型 (一)
双内角平分线
1. (1)∵ ∠OAD+∠ODA =60°,∴ ∠BOC= ∠AOD = 180°-(∠OAD+∠ODA)=180°-60°=120°,∴∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-120°=60°.∵ BD 平分∠ABC,CA 平分∠DCB,∴∠ABC=2∠OBC,∠DCB=2∠OCB,∴ ∠ABC+∠DCB =2(∠OBC+∠OCB)= 120°,∴∠P=180°-(∠ABC+∠DCB)=180°-120°=60°.
(2)∵ ∠BOC=∠BAC+∠ABD=∠CDB+∠ACD,∠BAC=α,∠CDB=β,∠BOC=γ,∴α+∠ABD=γ,β+∠ACD=γ.∵BD平分∠ABC,CA 平分∠DCB,∴ ∠OBC=∠ABD,∠OCB=∠ACD,∴α+∠OBC=γ ①,β+∠OCB=γ ②,①+②得α+β+∠OBC+∠OCB=2y.∵ ∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-γ,∴α+β+180°-γ=2γ,∴α+β+180°=3γ.
2. (1)∵ ∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点 D, ∴ ∠BDC = 180°- ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴ ∠BDC=
(2)①由(1)得 ∵∠MDB+∠NDC=180°- ②2∠NDC-2∠MDB+∠A=180°或2∠MDB-2∠NDC+∠A=180°.理由:如图①,当点 M 在AB 的延长线上,点 N 在边 AC上时,∵∠MDB+∠MDC=∠BDC,∠MDC+∠NDC=180°,
∴ ∠MDB-∠NDC = ∠BDC-180°.∵
∴2∠NDC-2∠MDB+∠A=180°.
如图②,当点 M 在边 AB 上,点 N 在 AC 的延长线上时,∵∠MDB+∠BDN=180°,∠BDN+∠NDC=∠BDC,∴∠MDB-∠NDC=180°-∠BDC.∵ ∴∠MDB- ∴2∠MDB-2∠NDC+∠A=180°.综上所述,2∠NDC-2∠MDB+∠A=180°或2∠MDB-2∠NDC+∠A=180°.专题11 角平分线夹角模型(四)角平分线与垂线
名师指导
基本图形 共点型 异点型
条件 AD 是高,AE是角平分线,∠B>∠C ∠ACB 是直角,高 CD 与角平分线AE相交于点 F
结论 ∠FEC=∠CFE
针对训练
1. (1)如图①,在△ABC中,∠B<∠C,AE⊥BC,AD是△ABC 的角平分线.试写出∠DAE,∠B,∠C之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图②，若点 F在AD的延长线或反向延长线上，作FE⊥BC，其他条件不变，试写出∠F与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图③,若把(1)中的“AE⊥BC”改为“CE⊥AD”,其他条件不变,试写出∠ECD 与∠B,∠ACB之间的数量关系，并证明你的结论.
2. (1)如图①,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=80°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD,AC 于点 F,E,求∠CFB的度数.
(2)在(1)的条件下,若∠ACB=90°,如图②,求证:∠CFE=∠CEF.
专题11 角平分线夹角模型(四)角平分线与垂线
证明如下:∵ ∠ADE 是△ABD的外角,∴∠ADE=∠B+∠BAD.∵ AE⊥BC,∴ ∠DAE=90°-∠ADE.又∵AD 平分∠BAC,∴ ∴ ∠DAE= 又∵ ∠BAC=180°-∠B-∠C,∴∠DAE=
证明如下：如图，作AG⊥BC,垂足为G,∵EF⊥BC,∴AG∥EF,∴∠F=∠DAG.由(1)可得 ∠E 同理，
证明如下:∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD= ∴ ∠EDC=∠B+∠BAD= ∵CE⊥AD,∴ ∠DEC=∠AEC=90°,∴ ∠EDC+∠ECD=∠ACE+∠DAC,. ∴∠B+∠ECD=∠ACE=∠ACB-∠ECD,∴2∠ECD=∠ACB-∠B,
2. (1)∵∠A=30°,∠ACB=80°,∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=70°.∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE =∠CBE=35°,∴∠CFB=∠FDB+∠ABE=125°.
(2)如图,∵∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°.∵ CD⊥AB,∴∠2+∠4=90°.又∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴∠3=∠4.∵∠4=∠5,∴∠3=∠5,即∠CFE=∠CEF.

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