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高一年级下学期期末考试
数 学
试卷共4页，19 小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.考查范围：必修第二册。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 为纯虚数，则实数a的值为
A.0 B.2或-2 C.2 D.-2
2.已知一个扇形的圆心角为108°，则这个圆心角的弧度数为
A. B. C. D.
3.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列说法错误的是
A. B.
C. D.
4.已知一个四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组对边分别平行于x'轴和y'轴，则原四边形的面积为
A.4 B.8 C.4 D.8
5.已知tanθ=3,则 sin 2θ-cos 2θ=
A ^) C. D.
6.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，点B 在直线y=2x上.若向量 在向量 方向上的投影向量的模为 则点 B 的坐标为
A.(1,2) B.(2,4) C. D.（ ，1）
7.如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动.现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球表面积的9倍，两者间空心部分体积为 则外层球半径为
A.2 B.3 C.4 D.5
8.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 且 则△ABC面积的最大值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数 则
A.|z|=1
B. z在复平面内对应的点位于第二象限
10.在空间中，设A，B为两个不同的点，l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题为真命题的有
A.若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l α B.若l∩m= ,则l与m平行或异面
C.若l α,m β,且α∥β,则l∥m D.若α⊥β,l α,则l⊥β
11.某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米.叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒.为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为h(t).设t=0时该叶片与竖直向上方向(正上方)的夹角为-45°(即顺时针偏转45°)，则下列说法正确的有
B.在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的
C.方程h(t)= (t+1)在区间[0,6)上所有解的和为4.5
D.若h(t+r): t)对任意t恒成立，则r的最小正值为1.5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数. 的值域为 .
13.若存在不相等的实数 使得 则ω的取值范围是 .
14.如图,动点 C 在以 AB 为直径的半圆 O 上(异于 A,B),. 的最大值为 .(第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知 且
(1)求 的值；
(2)若 且β∈(0,π),求 cosβ的值.
16.(15分)已知复数z满足 且z的实部大于0.设
(1)求复数w;
(2)若复数w是关于 x的实系数二次方程 的一个根，求p，q的值.
17.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足
(1)求角C的大小；
(2)将函数f(x)= sin(x+C)+1的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到g(x)的图象.若 且a=2,求c的值.
18.(17分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,BC=2 ,点D,E分别为棱PB,PC的中点.
(1)证明:DE∥平面ABC;
(2)求三棱锥A-BDE的体积;
(3)在线段AC上是否存在点 F，使得平面DEF⊥平面ABC 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
19.(17分)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为θ(0<θ<π)。对于任意实数t,定义u(t)= ta+b,v(t)=a+ tb.
(1)当 时，求|u(t)|的最小值及相应t的值；
(2)设F(t)=u(t)·v(t),若F(t)在R上有最小值,求θ的取值范围,并求出此时F(t)的最小值m(θ)(用θ表示);
(3)在(2)的条件下,若不等式m(θ)≤λ|a+b| ,对一切使F(t)有最小值的θ恒成立,求实数λ的最小值.
高一年级下学期期末考试
数学参考答案
1.【答案】D
【解析】由题意 解得 a=-2.故选 D.
2.【答案】A
【解析】 故选A.
3.【答案】C
【解析】由题意知，E，F分别是 CD 边上的两个三等分点，且 与 方向相同，则 故 A 正确; 故B正确； 故C 错误； ，所以 故D 正确.故选C.
4.【答案】B
【解析】解法一：根据斜二测画法规则，平行于x'轴的线段在原图中长度不变，平行于y'轴的线段在原图中长度变为原来的2倍.直观图是边长为2的菱形，因此平行于x'轴的边，原图中长度仍为2；平行于y'轴的边，原图中长度为4.由于直观图中菱形的邻边分别平行于x'轴和y'轴，故原四边形的邻边互相垂直，原四边形为矩形，原矩形面积S=2×4=8.故选B.
解法二：已知直观图是边长为2的菱形，面积 故原四边形面积 故选 B.
5.【答案】A
【解析】 故选 A.
6.【答案】D
【解析】由点 B 在直线y=2x上,设 B(x ,y ),其中 则 解得 所以B( , ).故选D.
7.【答案】B
【解析】记外层空心球与内层同心小球的半径分别为 R，r，由题意有 即 R=3r.又两者间空心部分体积为 则 将R=3r代入解得r=1,R=3.故选 B.
8.【答案】C
【解析】由正弦定理得 即 又由余弦定理得 整理得 因为 所以( 即ab≤3,当且仅当( 时等号成立.又 于是 △ABC的面积 当且仅当 时等号成立，此时 三角形为等边三角形，因此面积的最大值为 故选 C.
9.【答案】BCD(每选对1个得2分)
【解析】对于A， 故 A 错误；对于3. z在复平面内对应的点为(-2,1),位于第二象限,故B正确;对于C,z=-2-i,故C正确;对于Dz+2=i, 故D正确.故选 BCD.
10.【答案】AB(每选对1个得3分)
【解析】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A正确；空间中两条直线没有公共点，则它们平行或异面，故B正确；虽然α∥β，但l与m可能平行，也可能异面，故C错误；只有α⊥β，l α，且l与α和β的交线垂直时l⊥β，故D错误.故选 AB.
11.【答案】ABD(每选对1个得2分)
【解析】由题意叶片尖端距离地面的高度 故A 正确;由 h(t)≥90得 在一个周期T=6秒内，满足条件的角度区间长度为 对应时间秒，占比 故B正确； 所以方程h(t)=h(t+1)化为 则 ,k∈Z或 ,k∈Z,解得 k∈Z,故方程h(t)=h(t+1)在区间[0,6)内的解为t=0.25和t=3.25,其和为0.25+3.25=3.5≠4.5,故C错误;若h(t+r)=h(-t)对任意t恒成立，则h(t)的图象关于直线 对称，令 ,k∈Z,解得 k∈Z,所以 k∈Z,即 k∈Z,所以τ的最小正值为1.5,故D正确.故选 ABD.
12.【答案】[-5,1]
【解析】当sinx∈[0,1]时f(x)=sinx∈[0,1];当sinx∈[-1,0)时f(x)=5sinx∈[-5,0),所以f(x)的值域为[-5,1].
13.【答案
【解析】由 得 sin ωα+ sin ωβ=2,所以 sin ωα= sin ωβ= 1. 设(0<α<β,则 所以
14.【答案】2 2(第一空2分,第二空3分)
【解析】由题意可知O为AB 的中点，且 则 设.∠BOC=2θ, 作DE⊥OC,交OC 的延长线于 E,在△BOC中， ,故 BC=2sinθ,则.DC=2sinθ, 又DC⊥BC,故∠DCE=θ,则CE=DCcosθ=2sinθcosθ= sin 2θ,故 当 取到最大值2.
15.解:(1)由 得 (2分)
又 (4分)
(6分)
所以 (7分)
(2)由 β∈(0,π),
则 (8分)
则 (10分)
故cosβ= cos(α+β-α)
= cos(α+β)cosα+ sin(α+β)sinα
(13分)
16.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则
代入 得
即 ,(2分)
由复数相等得 (3分)
由z的实部大于0,即a>0,解得a=1,b=0,(5分)
此时z=1.(6分)
则 (7分)
(2)由(1)知 其共轭复数 (8分)
因为实系数二次方程的虚根成对出现，所以另一根为w，
由韦达定理 (11分)
(14分)
故p=-1, (15分)
17.解:(1)由题意得( (1分)
由余弦定理
代入得2absin Ccos C= ab.(2分)
因为 ab>0,所以sin2 C=1.(4分)
又0故 解得 (6分)
(2)由(1)知 则
则 (9分)
由 得
故 (12分)
又a=2,故 (15分)
18.(1)证明:在△PBC中,因为D,E分别为PB,PC的中点,
所以DE∥BC.(2分)
又DE 平面ABC,BC 平面ABC,(4分)
所以DE∥平面ABC.(5分)
(2)解:由于D,E 分别为PB,PC 的中点,
故 (7分)
记A到平面PBC的距离为d，
则 (9分)
(10分)
故V三棱锥A-BDE的体积为 (11分)
(3)解:过点 E作EH⊥AC,(12分)
因为 PA⊥平面ABC,AC 平面ABC,
所以 PA⊥AC,(13分)
又EH⊥AC,EH,PA 平面PAC,所以PA∥EH,(14分)
所以EH⊥平面ABC,平面EHD⊥平面ABC,(15分)
故取 F点与H重合时，平面DEF⊥平面ABC，此时 (17分)
19.解:(1)当 时， (1分)
(3分)
故当 时,|u(t)| 取最小值
所以 此时 (5分)
(6分)
这是关于 t 的二次函数，对二次系数分情况讨论：
当cosθ>0,即 时，二次项系数2cosθ>0，抛物线开口向上，F(t)在 R 上有最小值；
当cosθ=0,即 时,F(t)=5t,无最小值；
当cosθ<0,即 时，二次项系数2cosθ<0，抛物线开口向下，F(t)无最小值.
因此，θ的取值范围为 (9分)
此时，最小值在顶点处取得，顶点横坐标
代入得
故 (11分)
不等式 对任意 恒成立，即 (12分)
令x=cosθ∈(0,1),不等式化为
由于5+4x>0，分离参数得 (13分)
又 即 (14分)
记 h(x)单调递增.
因此对任意x∈(0,1),有 (16分)
所以λ 的最小值为 (17分)

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