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湖北武汉市武昌区2025-2026学年高二下学期期末供题数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.记等比数列的前项和为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知为正实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知一个圆锥的顶点是，底面半径为为底面圆心，为圆锥的母线，，若的面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若对任意的都有，则的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了解学生体质情况，某校随机抽取名高二学生作为样本，其中女生人，男生人，将其身高划分为五个层次．( )
层次
学生占比
A. 样本中层次的学生人数为
B. 总体中男生与女生的比例一定为
C. 若男生样本平均数为，女生样本平均数为，则样本总体平均数为
D. 用频率估计概率，从该校高二学生中任取人，恰有人身高属于层次的概率为
10.已知双曲线分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上位于第一象限的动点，分别是的内心、重心，为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 点的横坐标为 B. 点的纵坐标可以表示为
C. 的最大值为 D. 若轴，则为钝角
11.已知函数在上单调递增，且对任意，，则( )
A. B.
C. 是奇函数 D. 函数是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线存在斜率为的切线，则实数的取值范围是 ．
13.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为 ．
14.设，函数，令，若存在正整数，使得成公比为的等比数列，则称为的一个“可取公比”，的所有可取公比的乘积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，其中角的对边分别为．
求角的大小；
若为锐角三角形，求的取值范围．
16.本小题分
某无人机对光伏电站电池板进行智能巡检，每次巡检会给出“异常”或“正常”两种结果．记事件表示“第次巡检结果为正常”，事件表示“该电池板良好”，已知，每次巡检结果相互独立．
求；
检修部门规定：若低于，就会触发人工检修，求触发人工检修时的最小值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，点到平面的距离为．
求证：；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，其中
当时，求函数的单调区间；
当时，，
求实数的取值范围；
设为函数的图象上两点，经过两点的直线与轴交于点，证明：对任意，点在直线的下方．
19.本小题分
已知点，圆，一动圆过点，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
已知为曲线上一点异于，设曲线在点处的切线分别为，在点处的切线为与分别交于两点．
若切线的斜率为，求；
当点在曲线上运动时，求四边形的面积的取值范围，并求面积取得最小值时直线的方程．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由正弦定理，设．
原式可化为．
因为，所以．
所以由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
又因为，所以．
由，得．
又为锐角三角形，所以．
由，可得．
由正弦定理，．
当时，，
故．

16.【答案】解：解：设，因为，
由全概率公式，．
可得，解得，所以．
解：由全概率公式得，
因为低于，可得．
当时，；
当时，，
所以触发人工检修的最小次数为．

17.【答案】解：证明：因为，所以．
又因为平面，且平面，
所以，，
因为，且平面，
所以平面．
过作，垂足为，则平面，
所以．
又，且平面，
所以平面．
则，
即到的距离为，
所以到的距离也为，
在中，由勾股定理可得，
由面积公式可得，
即，
由解得，
所以；
由得
又因为平面，且平面，所以．
在直角三角形中，，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
由于，
所以，
所以，
即，
设平面的一个法向量为，
则，解得
则．
设直线与平面所成角为，则．
又，
因此．

18.【答案】解：因为，所以．
解得，令．
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，，故在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，其中．
故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，故的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
若对任意，恒有，则应为区间上的最大点．
当时，，
对任意，有在上单调递增，符合要求．
令，由得．
当时，有，对任意，有在上单调递增，符合要求．
当时，有，对任意，有在上单调递增，符合要求．
当时，则，对任意，有在上单调递减，
所以存在，使得，不合题意．
综上，实数的取值范围为
由得，．
设直线与轴交于点，由两点式可得
又，
代入，整理得．
而．
则．
由于，有．
又，所以．
令，则．
又，所以当时，，即．
故．
因此，即点在直线的下方．

19.【答案】解：设动圆的半径为，因为动圆过点，圆心为，又动圆与圆内切，设切点为，
所以．
圆的圆心为右焦点，半径为，即．
因此的轨迹是以为焦点的椭圆，其中．
所以．
故曲线的方程为．

因为，，
设在椭圆上一点处切线方程，
联立，整理得，
由，有，
又因为，所以，故切线方程为．
即椭圆在处切线，椭圆在处切线．
设切线的方程为，
椭圆的斜率为的切线满足，所以．
联立与，即和，故，解得，
故，得．
同理得．
于是．
故．

当切线的斜率不存在时，不妨设，
中，令得，中，令得，
故，故，，
与的距离为，
故四边形的面积；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为．
联立与，得，同理，
则．
可得四边形的面积为．
由得，．
设则
当时，在上单调递减，在上单调递增，
故最小值在处取得，且．
当时，．
综上，当时，四边形面积取最小值，此时．
所以直线的方程为或．

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