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北师大版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.3探索与表达规律第三章整式及其加减北师大版七年级上册数学3.3探索与表达规律练习题本套练习题围绕探索与表达规律核心知识点设计，重点考查数字数列规律、奇偶规律、等差规律、图形排列规律、数形结合规律、用整式表示通用规律、规律验证等重难点。聚焦学生找规律无从下手、规律表达式写错、不会验证规律等高频问题，题型循序渐进、贴合课本考点，覆盖基础数字规律、图形规律、实际周期规律，适合课堂检测与课后巩固，帮助学生掌握观察、猜想、归纳、验证的解题思路。一、选择题（每题4分，共20分）1.数列：1，3，5，7，9，…，第n个数是（）A. $$2n-1$$ B. $$2n+1$$ C. $$n+2$$ D. $$2n$$2.数列：2，4，6，8，10，…，第10个数是（）A. 18 B. 20 C. 22 D. 243.观察点阵规律，第1个图4个点，第2个图7个点，第3个图10个点，则第n个图点数为（）A. $$3n+1$$ B. $$3n-1$$ C. $$4n$$ D. $$3n$$4.数列：1，4，9，16，25，…，第n个数是（）A. $$n$$ B. $$2n$$ C. $$n^2$$ D. $$n^2+1$$5.下列关于规律探索的说法正确的是（）A.找到前2项规律即可直接写式子B.规律表达式无需验证C.找到规律后需代入多项验证D.所有数列都能用一次整式表示二、填空题（每题4分，共20分）1.数列：2，5，8，11，14，…，相邻两个数的差为定值________，第n个数为________。2.数列：1，2，4，8，16，…，第6个数是________。3.一组式子：$$a,2a^2,3a^3,4a^4\cdots$$，第n个式子是________。4.连续偶数：0，2，4，6，…，第n个数为________。5.观察规律：$$1\times2,2\times3,3\times4,4\times5\cdots$$，第n个式子为________。三、解答题（共60分）1.（20分）探究数字数列规律，写出第n项整式表达式：（1）4，7，10，13，16，…（2）1，5，9，13，17，…2.（20分）图形规律探究：用火柴棒摆三角形，第1个图形用3根火柴，第2个相连三角形用5根，第3个相连三角形用7根……（1）写出第4、5个图形所需火柴棒数量；（2）求第n个图形需要的火柴棒根数（用含n的整式表示）。3.（20分）算式规律探究与验证：观察下列等式：$$1\times3+1=4$$，$$2\times4+1=9$$，$$3\times5+1=16$$，$$4\times6+1=25$$……（1）写出第5个等式；（2）猜想第n个等式（用含n的整式表示）并简单验证。参考答案及解析一、选择题1.A解析：连续奇数，首项1，公差2，通项$$2n-1$$。2.B解析：连续偶数，第n个数为$$2n$$，第10个数为20。3.A解析：相邻点数差3，首项4，通项$$3n+1$$。4.C解析：数列依次为1 、2 、3 ……，第n项为$$n^2$$。5.C解析：探索规律需多观察、归纳后代入验证，避免片面出错。二、填空题1. 3；$$3n-1$$ 2. 32 3. $$na^n$$ 4. $$2n-2$$ 5. $$n(n+1)$$三、解答题1.（1）规律：后项比前项大3，第n项：$$3n+1$$；（2）规律：后项比前项大4，第n项：$$4n-3$$。2.解：（1）第4个：9根，第5个：11根；（2）规律：每增加一个三角形增加2根火柴，第n个图形需要$$2n+1$$根火柴棒。3.解：（1）第5个等式：$$5\times7+1=36$$；（2）第n个等式：$$n(n+2)+1=(n+1)^2$$；验证：左边$$=n^2+2n+1$$，右边$$=n^2+2n+1$$，左右相等，规律成立。情境引入
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你说我猜：
提示：(1) 请找出同一横线上三个相邻数之间的关系；
(2) 请同学们找一找竖列三个相邻数的关系；
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探究点一：日历规律
(3) 请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系；
(4) 请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系.
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探究点一：日历规律
问题2：日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
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套色方框 9 个数之和是 90，是正中间的数 10 的 9 倍。
探究点一：日历规律
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问题3：这个关系对其他这样的方框成立吗？
成立。如：套色方框 9 个数之和是 126，
是正中间的数 14 的 9 倍。
探究点一：日历规律
问题4：这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
成立
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绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
猜想：
探究点一：日历规律
a
a-7
a+8
a-8
a+6
a-6
a+7
a-1
a+1
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)
+(a+8) = ______
9a
结论：绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
用代数式表示：
探究点一：日历规律
【尝试思考】
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(1) 如图所示的日历图中，能否使框中 9 个数的和为144 180 呢 为什么
9a = 144
9a = 180
a = 20
a = 16
可以为 144。
和不能为 180。
探究点一：日历规律
(2) 在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为 80，这个月的第一个星期日是几号
星期日
x
x+7
x+14
x+21
x+28
x + x + 7 + x + 14 + x + 21 + x + 28 = 80
5x + 70 = 80
x = 2
这个月的第一个星期日是 2 号。
探究点一：日历规律
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十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律：十字形中五数之和 = 5×中间数
探究点一：日历规律
【思考交流】
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规律: “H”形中七数之和 = 7×中间数
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？
探究点一：日历规律
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你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
“X”形
探究点一：日历规律
探索规律的一般步骤：
猜 想 规 律
表 示 规 律
验 证 规 律
具 体 问 题
观察、比较
成立
得出结论
不成立
探 索
重 新
回 头
探究点一：日历规律
【归纳总结】
探究点二：图形规律
讨论：观察下列图形：
(1) 依照此规律，第 20 个图形共有几个五角星？
解：(1) 由图形可得，第1个图中，五角星有3个(3×1)；
第 2 个图中，五角星有 6 个 (3×2)；
第 3 个图中，五角星有 9 个 (3×3)；
第 4 个图中，五角星有 12 个 (3×4)；
所以第 n 个图中有五角星 3n 个.
所以第 20 个图中五角星有 3×20 = 60(个).
(2) 摆成第 n 个图形需要几个五角星？
(3) 摆成第 2015 个图形需要几个五角星
(2) 摆成第 n 个图形需要 3n 个五角星.
(3) 摆成第 2015 个图形需要 6045 个五角星.
方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值，注意由特殊到一般的分析方法.
探究点二：图形规律
例1 用棋子摆成的 “T” 字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第 n 个 “T” 字形需要的棋子个数为( )
探究点二：图形规律
A
A. 3n + 2 B. 4n + 1
C. 3n + 5 D. 3n + 1
图①
图②
图③
···
如图所示是一个按规律排列的数表，用含 n 的代数式( n 为正整数)表示数表中第 n 行第 n 列的数为 .
(n－1)n＋1
探究点三：数阵规律
方法总结：在认真观察、分析的基础上，将数或式中的有关数字进行分解、组合变形，从中探索变化规律是解决此类问题的关键.
【变式训练】
有一列数：1，2，3，4，5，6，···，当按顺序从第二个数数到第 n 个数时，共数了 个数；
当按顺序从第 m 个数数到第 n 个数(n＞m) 时，共数了 个数.
(n－1)
(n－m＋1)
探究点三：数阵规律
知识点1 与月历表有关的规律
1. 如图，这
是某月的月历，用十字形框随意框出
五个数，所框的五个数的和一定
( )
D
A. 能被2整除 B. 能被3整除
C. 能被4整除 D. 能被5整除
2. 如图是某月的月历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖
其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左
右移动）.设“横3”覆盖的数字之和为 ，“竖3”覆盖的数字之
和为，若，则 的最小值为____.
51
【点拨】设“横3”覆盖的中间的数
字为 ，“竖3”覆盖的中间的数字
为 ，
由题意得
，
，
所以 ,
所以，则 ，
所以， 为同一横行上相邻的两
个数字, .
所以当最小时， 最小.
根据题图可知， 的最小值为8，
所以 的最小值为
.
知识点2 与数式、数阵有关的规律
3. 按一定规律排列的单项式：2，，,,， ，则
第 个单项式是( )
B
A. B.
C. D.
4. 如图，将全体正偶数排成一个三角
数阵，从上向下数有无数多行，其中第
1行有1个数为2；第2行有2个数为4，
6；…；第行有 个数….探究其中规律，
你认为第 行从左至右第3个数不可能是
( )
C
A. 36 B. 96 C. 226 D. 426
知识点3 与图形有关的规律
5.
下
列图形都是由同样大小的小圆
D
A. 64 B. 77 C. 80 D. 85
圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆
圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有
19个小圆圈， .按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的
个数为( )
6. 如图是利用白灰两种颜色的五边形组成的图案，根据图案
组成的规律回答下列问题：
（1）图案④中灰色五边形有___个，白色五边形有____个.
（2）图案 中灰色五边形有___个，白色五边形有________
__个.（用含 的式子表示）
4
13
（3）图案 中的白色五边形可能为2 026个吗？若可能，请
求出 的值；若不可能，请说明理由.
【解】可能.由题意，得，解得 .
故图案 中的白色五边形可能为2 026个.
7. 如图，在边长
为1的正方形网格纸中连接相邻格点构造
“回形线”，“回形线”交射线于点 ，
，， ，.从点到点 的“回形
线” 记为第1圈，
D
A. 99 B. 144 C. 480 D. 799
其长度为7;从点到点 的“回形线”记为第2圈，其长度为
15;….依次类推，则“回形线”第 圈的长度有可能是( )
【点拨】第1圈的长度为
，第2圈的长度为
，第3圈的长度为
， ,则第 圈的
长度为
.因为 为正整数，所以
易知“回形线”第 圈的长度有可能是799.
8. 在迎新联欢会上，数学老师和同学们
做了一个游戏.她在，， 三个盘子里分别放了一些小球，
小球数依次为，，，记为 .游戏规则如
下：三个盘子中的小球数 ，从小球最多的一个
盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操
作；次操作后的小球数记为 .若
，则________， ________.
【点拨】因为，所以 ，
，， ，
，， ，
，， ，所以从 开始每3次为
一个周期循环.因为 ，所以
9. 观察下列图形与等式的关系，解决下列问题：#1
第1个图： ;#1.1
第2个图： ;#1.2
第3个图： ;#1.3
第4个图： ；#1.4
…#1.5
（1）第5个图中空白部分小正方形的个数是____，
第6个图中空白部分小正方形的个数满足的等式为_________
___________；
11
（2）用含的等式表示第 个图中空白部分小正方形的个数
满足的规律：______________________________________；
【解】
（3）运用上述规律计算： .
由（2）的规律可得， .
10. 下列图形是由边长为1的小正方形
按照一定规律组成的.观察图形,解答下列各题：
（1）按上述规律排列，第⑤个图形的周长为____；
26
【点拨】因为第①个图形的周长为 ，第②个图
形的周长为 ，第③个图形的周长为
，第④个图形的周长为 ，所以
第⑤个图形的周长为 .
（2）按上述规律排列，第 个图形的周长为_______；
（3）按上述规律排列，是否存在第 个图形的周长为60，
请说明理由.
【解】不存在.理由如下：
若第 个图形的周长为60，则 ,
解得 .
因为为正整数，所以 不符合题意.
所以不存在第 个图形的周长为60.
11. 已知有序整式串：， ，对其进行如下操作：
第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，
将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新整式串：
，， ；
第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，
将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新整式串：
，，， ；
依次进行操作.下列说法：
①第3次操作后得到的新整式串为，， ，
， ；
②第11次操作后得到的新整式串各项之和与第22次操作后得
到的新整式串各项之和相等；
③第2 031次操作后得到的新整式串各项之和为 .
其中正确的个数是( )
B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【点拨】由题意可得，第1次操作后得到新整式串： ，
，，各项之和为 ；第2次操作后得到新整式
串：，，，，各项之和为 ；第3次操作
后得到新整式串：，，，， ，故说法
①正确，各项之和为；第4次操作后得到新整式串： ，
，，，， ，各项之和为0；第5次操作
后得到新整式串：，，，，，， ，
各项之和为；第6次操作后得到新整式串：，， ，
，，，，，各项之和为 ；第7
次操作后得到新整式串：，，，， ，
，，，，各项之和为 ；….所以，各项
之和以及各项的首项都以6次操作为一个周期依次循环.因为
，所以第2 031次操作后得到的新整式
串各项之和与第3次操作后得到的新整式串各项之和相同，
为，故说法③错误.因为 ,所以第11次操作
后得到的新整式串各项之和与第5次操作后得到的新整式串
各项之和相等，都是.因为 ,所以第22次操
作后得到的新整式串各项之和与第4次操作后得到的新整式
串各项之和相等，都是0，故第11次操作后得到的新整式串
各项之和与第22次操作后得到的新整式串各项之和不相等，
故说法②错误.故选B.
数式变化中的规律
图形拼接中的规律
探索与表达规律
探索 猜想 验证
特殊 一般

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