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北师大版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第五章一元一次方程第五章一元一次方程全章知识点总结本章是初中代数方程模块的入门核心，也是后续二元一次方程、分式方程、函数学习的基础。全章分为方程基础概念、等式性质、解方程四大步骤、实际应用题四大板块。期末必考计算题+应用题，题型固定、套路清晰，熟练掌握解题步骤和模型即可满分。5.1认识一元一次方程一、核心概念1.方程：含有未知数的等式叫做方程。判断两个条件：①是等式（有“=”）；②含有未知数。2.一元一次方程（必考定义）满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的次数是1；③分母中不含未知数（整式方程）。标准形式：$$ax+b=0(a\neq0)$$3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。4.解方程：求方程解的过程。二、易错判断1.含未知数的式子不一定是方程，必须是等式；2. $$x^2+1=5$$不是一元一次方程（次数为2）；3. $$\frac{1}{x}+2=3$$不是一元一次方程（分母含未知数）。5.2求解一元一次方程（核心计算）一、等式的基本性质（解方程依据）性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立。性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。二、解方程四大标准步骤（必考、必须书写规范）步骤1：去分母（有分数时用）两边同乘所有分母的最小公倍数；整数项必须也要乘；分子是多项式要加括号。步骤2：去括号括号前是“+”，去括号不变号；括号前是“ ”，去括号全部变号；系数要乘遍括号内每一项，禁止漏乘。步骤3：移项把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；移项必须变号。步骤4：合并同类项、系数化为1化成$$ax=b$$形式，两边同除以$$a$$，得$$x=\frac{b}{a}$$。三、三节细分考点5.2.1移项解方程：无分母、无括号，重点掌握移项变号。5.2.2去括号解方程：重点攻克负号去括号变号、漏乘问题。5.2.3去分母解方程：全章最大易错点，重点攻克漏乘整数、分子不加括号、符号出错。5.3一元一次方程的应用（应用题必考四大模型）应用题通用解题步骤：审、设、列、解、验、答1.审题找等量关系；2.设未知数（一般求什么设什么）；3.列方程；4.解方程；5.检验是否符合实际；6.写答。一、5.3.1形积问题（等积变形）核心原理：形变、量不变1.铁丝围图形：形状改变，周长不变；2.物体锻造/重塑：形状改变，体积不变；常用公式：长方形周长、面积；正方形周长、面积；圆柱体积$$V=\pi r^2h$$。二、5.3.2盈不足问题（分配问题）核心原理：总物品数量不变三类经典模型：1.一盈一亏：$$每份数\times人数+盈余=每份数\times人数-亏损$$2.双盈问题：$$大每份数\times人数+少盈余=小每份数\times人数+多盈余$$3.双亏问题：$$大每份数\times人数-少亏损=小每份数\times人数-多亏损$$三、5.3.3行程问题核心公式：$$\mathbf{路程=速度\times时间}$$1.相遇问题（相向而行）：甲路程+乙路程=总距离2.追及问题（同向而行）：快者路程 慢者路程=初始距离关键：同时出发，运动时间相等；不同时出发，时间要做差。本章高频易错点汇总（期末丢分重点）1.移项不变号、去括号负号漏变号、去分母漏乘常数项（计算三大杀手）；2.去分母时，分子是多项式未加括号，导致符号错误；3.混淆一元一次方程定义：看错次数、忽略分母含未知数；4.形积问题分不清周长不变还是体积不变；5.盈不足问题搞反“加盈余、减亏损”；6.行程问题找错路程关系、时间不统一；7.应用题不检验、不写答，步骤不完整扣分。期末解题满分口诀去分母要都乘到，括号变号要记牢；移项一定要变号，同类合并仔细瞧；应用题找等量，形变体积不动摇；相遇路程加一起，追及路程做对照。本章知识回顾
一元一次方程
概念
方程的解
解方程
认识方程
等式基本性质
同类相、移项
去括号
去分母
一元一次方程的解法
几何图形问题
古代数学问题
行程问题
一元一次方程应用
知识点回顾
在一个方程中，只含有____个未知数，且方程中的代数式都是______，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程.
一
整式
1
使方程左、右两边的值_____的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程称为解方程.
相等
方程的有关概念
下列式子中是一元一次方程的有（ ）.
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
① x + 3 = ； ② 7x = 3； ③ 4x – 3 = 3x + 2； ④ x = 2； ⑤ x + y = 5； ⑥ x2 + 3x = 1.
等式的基本性质：
等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式.
等边的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式.
用字母可以表示
如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c；
如果a=b，那么 ac=bc ，
= (c≠0)
解一元一次方程的步骤 步骤 根据 注意事项
去分母 等式的基本性质2 ①不漏乘不含分母的项；
②注意给分子添括号、去括号
去括号 乘法对加法的分配律、去括号法则 ①不漏乘括号里的项；
②括号前是“－”号，要变号
移项 移项法则 移项要变号
合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项
未知数的系数化为1 等式的基本性质2 乘分数系数的倒数时不要出错
解一元一次方程
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
读题分析题中已知什么，求什么？有哪些事物在什么方面产生关系？
设未知数(直接设，间接设)，包括单位名称.
把相等关系中各个量转化成代数式，从而列出方程.
解方程，求出未知数的值（x = a）
写出答案
审
列
设
答
解
验
检验所求解是否符合题意
实际问题
数学问题
（一元一次方程）
数学问题的解
（一元一次方程的解）
实际问题的解
抽象
解方程
验证
解释
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
寻找等量关系
考点1 一元一次方程及方程的解
1. 已知下列方程：
①；②；③ ；
④；⑤；⑥ .
其中一元一次方程的个数是( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若是一元一次方程，则 的值是( )
B
A. B. C. 2 D. 4
3. 已知关于的方程的解是，其中 ，且
，则 ______.
2028
【点拨】由题意，得,整理，得 ,所以
.
考点2 等式的基本性质
4. 如图所示，两个天平都平衡，则
与2个球体质量相等的正方体的个数为( )
A
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5. 下列变形，正确的有( )
①若，则；②若，则 ；③若
，则；④若，则 .
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】①,若，则和 不一定相等，故①
不符合题意；②,若，则和 不一定相等，故②不
符合题意；③若，则 ，正确，故③符合题意；
④若，则 ，正确，故④符合题意.所以正确的有2个.
故选B.
考点3 一元一次方程的解法
6. 对于任意数，定义一种新运算“ ”如下：
，例如 ,若
,则 ___.
4
【点拨】根据题中的新定义得
,
,所以 ,
移项得,解得 .
7. 设，为自然数，且 ，若方程
有正整数解，且该解为质数，则 的值为
______.
2或3
【点拨】原方程可化为，解得 .因
为该方程的解为正整数，，都是自然数，且 ，所以
，所以.对分类讨论.①若 ，则
，由于是质数，故易知，;②若 ，则
，由于是质数，故易知，.综上， 的值
为2或3.
8. 解方程：
（1） ；
【解】 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 .
（2） .
原方程可化为 .
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
考点4 一元一次方程的应用
9. 某中学学生步行到郊外旅行，七（1）班的学生组成前
队，步行速度为 ，七（2）班的学生组成后队，步行
速度为.前队出发 后，后队才出发，同时后队派一
名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的
速度为 .
（1）后队追上前队需要多长时间？
【解】设后队追上前队需要 ,
根据题意得, 解得 .
所以后队追上前队需要 .
（2）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少千米？
,
所以联络员走的路程是 .
（3）七（1）班出发多少小时后两队相距 ？
设七（1）班出发后，两队相距 .
当七（2）班没有出发时， ;
当七（2）班出发，但没有追上七（1）班时，
, 解得 ;
当七（2）班超过七（1）班时， ,
解得 .
所以七（1）班出发或或后，两队相距 .
10. 将长为1，
宽为 的长方形纸片
如图①那样折一下，剪下一个边
长等于长方形的宽度的正方形（称为第1次操作）；再把剩
下的长方形如图②那样折一下，剪下一个边长等于此时长方
形宽度的正方形（称为第2次操作）；如此反复操作下去，
若在第 次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止.
（1）第1次操作后，剩下的长方
形的两边长分别为_________；
（用含 的代数式表示）
，
（2）若第2次操作后，剩下的长
方形恰好是正方形，求 的值；
【解】第1次操作后，剩下的长方形的两边长分别是 ，
. 若第2次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则
或 ,
解得或 （舍去）.
（3）若第3次操作后，剩下的长方
形恰好是正方形，求 的值.
第2次操作后，剩下的长方形的两边
长分别是， .
若第3次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，
则或 ,
解得或 .
思想1 整体思想
11. 某初中数学小组学完“一元一次方程”
后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读.#1
小明：对于 ，我
按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解，
计算比较繁琐.
小亮：我有一种方法——整体求解法.可先将 ，
分别看成整体进行移项、化简，得方程
，然后再继续求解.
小明：你的这种方法比我的方法要简便一些，我尝试一
下……#1.1.2
（1）请你继续进行小亮的求解.
【解】去分母，得 ,
去括号，得 ,
移项，得 ,
合并同类项，得 ,
系数化为1，得 .
（2）请利用小亮的方法解下面的方程：
.
将 看成整体，移项，得
,
化简，得 ,
去括号，得 ,
移项，得 ,
合并同类项，得 ,
系数化为1，得 .
思想2 分类讨论思想
12. 解关于的方程： .
【解】把方程 变形，
得 .
分三种情况：
（1）当，即 时，方程只有一个解，为
.
（2）当且 时，方程有无数个解.
由，得，由，得 .
所以当且 时，方程有无数个解.
（3）当且 时，方程无解.
由，得，由，得 .
所以当且 时，方程无解.
对形如“”的方程求解时，应根据， 的取
值讨论解的情况，体现了分类讨论思想的运用.
. .
思想3 数形结合思想
13. 已知代数式是关于 的二次
多项式，且二次项系数为，数轴上， 两点所对应的数分
别是和 （如图）.
（1）____， ___;
6
（2）有一动点从点 出发第1次向左运动1个单位长度，然
后在新的位置第2次向右运动2个单位长度，再在此位置第3
次向左运动3个单位长度, ，按照如此规律不断地左右运动，
当运动到第2 027次时，点 所对应的数为________;
【点拨】依题意知，点 第1次运动后对应的数为
，第2次运动后对应的数为 ，
第3次运动后对应的数为, ,则第2 027
次运动后对
应的数为
（3）若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点
以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点 从原点开始以每
秒 个单位长度的速度向左运动.在运动过程中，
的值始终保持不变，求 的值.
【解】设运动时间为秒,则运动后点对应的数为 ，
点对应的数为，点对应的数为 ,
所以， ，
所以 .
因为 的值始终保持不变，
所以，所以 .
故当的值始终保持不变时，的值为 .

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