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湖南省长沙市长郡中学2026届高三模拟预测数学试题一
1．设全集U={ x|x是小于9的正整数}，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（　　）
A． B．1 C． D．2
4．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（　　）
A． B．1 C． D．7
5．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（　　）
A．15 B．17 C．80 D．82
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
7．函数所有零点的和等于（　　）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
8．在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在上有且仅有一个极值点
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过F的直线与C交于A，B两点，连接并延长与准线相交于点P，与x轴交于Q点，准线与y轴交于点G，则（　　）
A． B．为锐角 C． D．
11．在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，Q为正方体表面上的一个动点（含边界），则下列说法中正确的是（　　）
A．过A，F，C的平面截该正方体所得的截面图形的周长为
B．若P为棱的中点，且平面，则线段的最小值为
C．若Q是正方形内的一个动点，且满足，则动点Q的轨迹是一条线段
D．若P为棱的中点，则四面体外接球的表面积为11π
12．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为　 　.
13．已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则　 　．
14．已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，　 　；若存在n，使得，则m的最小值为　 　.
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值.
16．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
17．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）.
第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金.
（1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；
（2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点.
（1）求的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点.
（i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）当面积取最大值时，求的值.
19．已知函数和的定义域均为，其中.
（1）求的极值.
（2）若，使得.
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件得出集合U，再利用交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由向量，
因为，可得，解得，
所以，则，
所以．
故答案为：A.
【分析】根据共线向量的坐标表示，从而列方程得出的值，从而得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而得出的值.
3．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：易知复数，则，
即复数的虚部是
故答案为：A.
【分析】根据复数在复平面内的表示可得，再根据复数代数形式的乘除运算化简求得，结合复数的概念判断即可.
4．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为是定义在上且周期为2的奇函数，
所以且，
则，
当时，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用函数的周期性和奇偶性，再利用已知条件和代入法，从而得出函数的值.
5．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：设各项均为正数的等比数列的公比为，
∵，，成等差数列，∴，
∴，∴，，
解得，则.
故答案为：D.
【分析】根据等差中项公式和等差数列的性质，从而解方程得出公比的值，再利用等比数列前n项和公式和公比的值，从而得出的值.
6．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，
因为与轴垂直，，且，所以，
所以点坐标为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】不妨设点在第一象限，由题意可得，求得点的坐标，再利用斜率公式求得渐近线的斜率，最后根据离心率公式求双曲线的离心率即可.
7．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；直线和圆的方程的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，解得，
所以的定义域是，
由两边平方并化简，得，
则，
所以表示以为圆心，半径为的半圆，
由，得，
则函数的零点为与半圆的交点的横坐标，
因为与半圆的图象都关于直线对称，
画出与半圆的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称，
所以的零点和为.
故答案为：C.
【分析】先判断出表示以为圆心，半径为的半圆，再利用函数零点和两函数的交点的横坐标的等价关系，从而得出与半圆的图象都关于直线对称，进而画出与半圆的图象，再利用数形结合得出函数所有零点的和.
8．【答案】A
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，，
∵，∴，则点G的轨迹为，
又因为，所以，
则，所以，
化简得点P的轨迹为，
在平面直角坐标系中作出点G，P轨迹，
设点G的轨迹与y轴两个交点分别为点M，N，P的轨迹为圆，
则圆心为，半径，且与y轴两个交点分别为H，T，如图所示，
结合图象，得：，
又因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用和两三角形相似对应边成比例，从而分别求出点P，G的轨迹，再把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，再根据数形结合可得的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由函数的部分图象，可知：，
又因为，所以，
结合函数的单调性，可得，则，
所以，则，解得，
所以，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C：当时，可得，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于D：当时，，
则当时，函数取到极小值，
因为相邻的两个极大值点分别为和，均不在的取值范围内，
所以在上有且仅有一个极值点，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】由图象可知的值，令，则得出的值，再结合正弦型函数的单调性可得的值，根据代入法得出的值，则判断出选项A；利用赋值法判断出选项B；利用正弦型函数的对称性，则判断出选项C；利用函数求极值点的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线的方程为，联立抛物线C：，
消去y，得，则，
由，解得，所以.
对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离，
则，故选项A正确；
对于选项B，因为，所以，
则，
所以必定为钝角，故选项B错误；
对于选项C，由，，则为的中位线，
所以，
又因为，所以，故选项C正确；
对于选项D，过点B作准线的垂线，垂足为H，
则，
所以，
则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设出直线的方程，与抛物线C联立，则根据韦达定理求出，由已知条件求出点的坐标，再结合抛物线的定义判断出选项A；由的值得到的值，再利用数量积的坐标表示得出的值，则可判断选项B；利用中位线定义易得为的中位线，则，再利用得出，则判断出选项C；过点B作准线的垂线，得到，再利用两三角形相似对应边成比例，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；空间中两点间的距离公式；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，.
对于A，取中点，连接，，
则，所以，
因为点，因此，
得到四边形是过A，F，C的平面截该正方体所得的截面，
其周长为，故A正确；
对于B，取与中点、，连接、、，
由正方体性质，可得，，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
由平面，则点的轨迹是除去点，
得到到的距离为，到的距离为，到的距离为，
所以线段的最小值为，故B错误；
对于C，由Q是正方形内的动点，
设，，，则，，
由，得，解得，
则点，，
所以动点Q的轨迹是一条长度为2的线段，故C正确；
对于D，点，设四面体外接球的球心，球半径为R，
则
解得，，，，
因此四面体外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件结合正方体的结构特征建立以点为原点的空间直角坐标系，利用向量法对选项逐项计算判断.
12．【答案】15
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为二项式的展开式中所有项的系数和为64，
所以或舍去，
因为二项式的通项公式为，
令，
所以，展开式中的常数项为.
故答案为：.
【分析】根据赋值法得出二项式的展开式中所有项的系数和，再利用已知条件得出a的值，再利用二项式定理得出展开式的通项求解.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导得，
则，曲线在处的切线方程为：，即，
圆心到直线的距离为，
则，其中为圆的半径.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义结合点斜式求得切线方程，再利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求解即可.
14．【答案】6；16
【知识点】函数的周期性；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：当时，即当时，，不符合题意；
当时，即当时，
因为为偶数，所以，
则，，
所以，解得，
综上所述，当时，，当时，，
则数列是周期数列，周期为，所以的正负，
只需考查即可，
当时，奇数项构成首项，公差为的等差数列，
则偶数项构成首项为，公比为的等比数列，
当，时，
，
则，
∵当时，，；
当时，，，
若存在，使得，则，
所以的最小值为16.
故答案为：6；16.
【分析】①分和两种情况讨论和数列的通项公式，再利用已知条件得出m的值；利用数列的周期性和等差数列的定义、等比数列的定义以及等差数列求和公式、等比数列求和公式，从而分类讨论等差满足要求的实数m的取值范围，进而得出存在n，使得的实数m的最小值.
15．【答案】（1）解：由正弦定理，得，
则，
所以，
两边同时除以，
得，
又因为，
所以.

（2）解：由正弦定理和余弦定理，
得，
因为，
所以，
当时，即当时，取得最大值.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式得出的值.
（2）利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和已知条件，从而将所求表达式化成角的函数式，再利用正弦型函数求最值的方法，从而得出的最大值.
（1）由正弦定理，得，
即，
于是，
两边同时除以，得，
又，
所以.
（2）由正弦定理及余弦定理，得.
又因为，
所以，
当，即时，取得最大值.
16．【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
因，则，
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以，
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以，
又，从而侧面，
又侧面，故；
（2）解：由（1）平面，则直线与平面所成的角，所以，
又，所以，
假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为，
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC 所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设， ，得
即，，
设平面的一个法向量，
由，，可得，取，
由（1）知平面，平面的一个法向量，
则，解得，
即点E为线段中点时，二面角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接交于点，利用面面垂直的性质证明侧面，再根据线面垂直的判定证明即可；
（2）由（1）平面，则直线与平面所成的角，以点A为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求相关的向量坐标，求平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可.
（1）证明：连接交于点，
因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以.
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.
又，从而侧面，
又侧面，故.
（2）由（1）平面，则直线与平面所成的角，
所以，又，所以
假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为，
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC 所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
且设， ，
得
所以，
设平面的一个法向量，由，得：
，取，
由（1）知平面，所以平面的一个法向量，
所以，解得，
∴点E为线段中点时，二面角的大小为.
17．【答案】（1）解：由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率.
（2）解：由题意，易知，
则游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
所以，第局和第局均未获胜的概率为，
则可知，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
则随机变量的期望
或.
（3）解：应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额，
游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
，
游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
第局获胜的概率为，
，
从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式，从而得出游戏Ⅰ第2局获胜的概率.
（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，再得出第局和第局均未获胜的概率，利用随机变量服从二项分布，从而得出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式计算即可.
（3）利用数学期望公式分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，再利用比较法可知应选择游戏Ⅱ.
（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率.
（2）易知，
游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为，
因此可知，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的期望或.
（3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额，
游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
，
游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
，
从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.
18．【答案】（1）解：由已知，得，
解得，
所以，椭圆C的方程为.
（2）解：（i）设过点的直线，
由，
消去x，得，
则，
所以，
因为，，
由（1）知，，
则直线，，
直线，，
所以
，
则存在，使得.
（ii）法一：因为，
又因为，
因为，所以，
则，
因为点M在第一象限，所以，
令，
则，
令，解得或，
则在上单调递增，在单调递减，
所以，当时，取最大值，
则.
法二：因为，
又因为，
设，，
所以，
令，
则
，
令，解得或，
因为，所以，
则存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时取最大值，
则.
法三：设，则，所以，
则直线，
由，得，
因为，
令，
则，
令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，取最大值，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的离心率公式、代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列出方程组，进而得出的值，则可得到椭圆C的方程.
（2）（i）设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式法得出参数的取值范围，再根据韦达定理得到交点坐标与参数的关系式，从而写出直线的方程，进而两点得到坐标，再通过向量共线定理得出的值.
（ii）利用两种方法求解.
方法一：由（1）得出，再利用三角形的面积公式表示出，从而得到，再利用点M所在的象限得到的取值范围，再构造函数，根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出当面积取最大值时的的值.
方法二：由（1）得出，利用三角形面积公式表示出，，再构造函数，利用导数得出最大值及此时的的值.
方法三：设点的坐标，从而得到点的坐标，再利用两点距离公式得出，从而得出直线方程，联立直线方程和椭圆方程得出，再利用三角形面积公式列出，构造函数，再利用导数得出的最大值及此时的的值.
（1）由已知，，解得，
所以C的方程为；
（2）（i）设过点的直线，
由，消去x得，
，，
，，
由（1）知，
则直线，，
直线，，
，
所以存在，使得；
（ii）法一：，
，
因为，所以，
，
因为M在第一象限，所以，
令，
，
令，解得或，
在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取最大值，所以.
法二：，
，
设，，
所以，
令，
，
令，解得或，
因为，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以当时取最大值，所以.
法三：设，则，所以，
直线，
由，得，
，
令，
，
令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，
所以.
19．【答案】（1）解：因为，.
当时，，
则函数在上单调递增，既无极大值也无极小值；
当时，令，得，
若，，函数单调递减；
若，，函数单调递增.
所以，函数在处取得极小值，极小值是，无极大值，
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数的极小值是，无极大值.
（2）解：（i）当时，由，得，则，
令，则.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
当时，，
所以且，
则或，
所以的取值范围是.
（ii）设方程的正实数根为，
则，所以，点为直线上一点，
则表示点到原点的距离，
显然，该距离不小于原点到直线的距离，
则，所以，
不妨设，，则，
所以函数在上单调递减，
则，所以，
因为，
所以，
设，，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）分和两种情况结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值.
（2）（i）当时，由得出，构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而可得的取值范围，进而得到的取值范围.
（ii）利用的几何意义得出，对不等式进行放缩并构造函数，，再利用导数得到函数的最小值，进而证出不等式成立.
（1），.
当时，，函数在上单调递增，既无极大值也无极小值；
当时，令，得.
若，，函数单调递减；若，，函数单调递增.
所以函数在处取得极小值，极小值是，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数的极小值是，无极大值.
（2）（i）当时，由得，即，
令，则.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
因时，，
所以且，即或，
所以的取值范围是.
（ii）设方程的正实数根为，则，
即点为直线上一点，表示点到原点的距离，
显然，该距离不小于原点到直线的距离，
即，即，
不妨设，，则，
所以函数在上单调递减，则，即.
又，则，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即.
1 / 1湖南省长沙市长郡中学2026届高三模拟预测数学试题一
1．设全集U={ x|x是小于9的正整数}，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件得出集合U，再利用交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
2．已知向量，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由向量，
因为，可得，解得，
所以，则，
所以．
故答案为：A.
【分析】根据共线向量的坐标表示，从而列方程得出的值，从而得出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而得出的值.
3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：易知复数，则，
即复数的虚部是
故答案为：A.
【分析】根据复数在复平面内的表示可得，再根据复数代数形式的乘除运算化简求得，结合复数的概念判断即可.
4．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（　　）
A． B．1 C． D．7
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为是定义在上且周期为2的奇函数，
所以且，
则，
当时，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用函数的周期性和奇偶性，再利用已知条件和代入法，从而得出函数的值.
5．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（　　）
A．15 B．17 C．80 D．82
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：设各项均为正数的等比数列的公比为，
∵，，成等差数列，∴，
∴，∴，，
解得，则.
故答案为：D.
【分析】根据等差中项公式和等差数列的性质，从而解方程得出公比的值，再利用等比数列前n项和公式和公比的值，从而得出的值.
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，
因为与轴垂直，，且，所以，
所以点坐标为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】不妨设点在第一象限，由题意可得，求得点的坐标，再利用斜率公式求得渐近线的斜率，最后根据离心率公式求双曲线的离心率即可.
7．函数所有零点的和等于（　　）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；直线和圆的方程的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，解得，
所以的定义域是，
由两边平方并化简，得，
则，
所以表示以为圆心，半径为的半圆，
由，得，
则函数的零点为与半圆的交点的横坐标，
因为与半圆的图象都关于直线对称，
画出与半圆的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称，
所以的零点和为.
故答案为：C.
【分析】先判断出表示以为圆心，半径为的半圆，再利用函数零点和两函数的交点的横坐标的等价关系，从而得出与半圆的图象都关于直线对称，进而画出与半圆的图象，再利用数形结合得出函数所有零点的和.
8．在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，，
∵，∴，则点G的轨迹为，
又因为，所以，
则，所以，
化简得点P的轨迹为，
在平面直角坐标系中作出点G，P轨迹，
设点G的轨迹与y轴两个交点分别为点M，N，P的轨迹为圆，
则圆心为，半径，且与y轴两个交点分别为H，T，如图所示，
结合图象，得：，
又因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用和两三角形相似对应边成比例，从而分别求出点P，G的轨迹，再把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，再根据数形结合可得的取值范围.
9．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在上有且仅有一个极值点
【答案】A,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由函数的部分图象，可知：，
又因为，所以，
结合函数的单调性，可得，则，
所以，则，解得，
所以，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C：当时，可得，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于D：当时，，
则当时，函数取到极小值，
因为相邻的两个极大值点分别为和，均不在的取值范围内，
所以在上有且仅有一个极值点，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】由图象可知的值，令，则得出的值，再结合正弦型函数的单调性可得的值，根据代入法得出的值，则判断出选项A；利用赋值法判断出选项B；利用正弦型函数的对称性，则判断出选项C；利用函数求极值点的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过F的直线与C交于A，B两点，连接并延长与准线相交于点P，与x轴交于Q点，准线与y轴交于点G，则（　　）
A． B．为锐角 C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线的方程为，联立抛物线C：，
消去y，得，则，
由，解得，所以.
对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离，
则，故选项A正确；
对于选项B，因为，所以，
则，
所以必定为钝角，故选项B错误；
对于选项C，由，，则为的中位线，
所以，
又因为，所以，故选项C正确；
对于选项D，过点B作准线的垂线，垂足为H，
则，
所以，
则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设出直线的方程，与抛物线C联立，则根据韦达定理求出，由已知条件求出点的坐标，再结合抛物线的定义判断出选项A；由的值得到的值，再利用数量积的坐标表示得出的值，则可判断选项B；利用中位线定义易得为的中位线，则，再利用得出，则判断出选项C；过点B作准线的垂线，得到，再利用两三角形相似对应边成比例，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，Q为正方体表面上的一个动点（含边界），则下列说法中正确的是（　　）
A．过A，F，C的平面截该正方体所得的截面图形的周长为
B．若P为棱的中点，且平面，则线段的最小值为
C．若Q是正方形内的一个动点，且满足，则动点Q的轨迹是一条线段
D．若P为棱的中点，则四面体外接球的表面积为11π
【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；空间中两点间的距离公式；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，.
对于A，取中点，连接，，
则，所以，
因为点，因此，
得到四边形是过A，F，C的平面截该正方体所得的截面，
其周长为，故A正确；
对于B，取与中点、，连接、、，
由正方体性质，可得，，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
由平面，则点的轨迹是除去点，
得到到的距离为，到的距离为，到的距离为，
所以线段的最小值为，故B错误；
对于C，由Q是正方形内的动点，
设，，，则，，
由，得，解得，
则点，，
所以动点Q的轨迹是一条长度为2的线段，故C正确；
对于D，点，设四面体外接球的球心，球半径为R，
则
解得，，，，
因此四面体外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件结合正方体的结构特征建立以点为原点的空间直角坐标系，利用向量法对选项逐项计算判断.
12．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为　 　.
【答案】15
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为二项式的展开式中所有项的系数和为64，
所以或舍去，
因为二项式的通项公式为，
令，
所以，展开式中的常数项为.
故答案为：.
【分析】根据赋值法得出二项式的展开式中所有项的系数和，再利用已知条件得出a的值，再利用二项式定理得出展开式的通项求解.
13．已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导得，
则，曲线在处的切线方程为：，即，
圆心到直线的距离为，
则，其中为圆的半径.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义结合点斜式求得切线方程，再利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求解即可.
14．已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，　 　；若存在n，使得，则m的最小值为　 　.
【答案】6；16
【知识点】函数的周期性；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：当时，即当时，，不符合题意；
当时，即当时，
因为为偶数，所以，
则，，
所以，解得，
综上所述，当时，，当时，，
则数列是周期数列，周期为，所以的正负，
只需考查即可，
当时，奇数项构成首项，公差为的等差数列，
则偶数项构成首项为，公比为的等比数列，
当，时，
，
则，
∵当时，，；
当时，，，
若存在，使得，则，
所以的最小值为16.
故答案为：6；16.
【分析】①分和两种情况讨论和数列的通项公式，再利用已知条件得出m的值；利用数列的周期性和等差数列的定义、等比数列的定义以及等差数列求和公式、等比数列求和公式，从而分类讨论等差满足要求的实数m的取值范围，进而得出存在n，使得的实数m的最小值.
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理，得，
则，
所以，
两边同时除以，
得，
又因为，
所以.

（2）解：由正弦定理和余弦定理，
得，
因为，
所以，
当时，即当时，取得最大值.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式得出的值.
（2）利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和已知条件，从而将所求表达式化成角的函数式，再利用正弦型函数求最值的方法，从而得出的最大值.
（1）由正弦定理，得，
即，
于是，
两边同时除以，得，
又，
所以.
（2）由正弦定理及余弦定理，得.
又因为，
所以，
当，即时，取得最大值.
16．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
因，则，
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以，
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以，
又，从而侧面，
又侧面，故；
（2）解：由（1）平面，则直线与平面所成的角，所以，
又，所以，
假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为，
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC 所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设， ，得
即，，
设平面的一个法向量，
由，，可得，取，
由（1）知平面，平面的一个法向量，
则，解得，
即点E为线段中点时，二面角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接交于点，利用面面垂直的性质证明侧面，再根据线面垂直的判定证明即可；
（2）由（1）平面，则直线与平面所成的角，以点A为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求相关的向量坐标，求平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可.
（1）证明：连接交于点，
因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以.
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.
又，从而侧面，
又侧面，故.
（2）由（1）平面，则直线与平面所成的角，
所以，又，所以
假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为，
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC 所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
且设， ，
得
所以，
设平面的一个法向量，由，得：
，取，
由（1）知平面，所以平面的一个法向量，
所以，解得，
∴点E为线段中点时，二面角的大小为.
17．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）.
第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金.
（1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；
（2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
【答案】（1）解：由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率.
（2）解：由题意，易知，
则游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
所以，第局和第局均未获胜的概率为，
则可知，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
则随机变量的期望
或.
（3）解：应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额，
游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
，
游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
第局获胜的概率为，
，
从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式，从而得出游戏Ⅰ第2局获胜的概率.
（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，再得出第局和第局均未获胜的概率，利用随机变量服从二项分布，从而得出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式计算即可.
（3）利用数学期望公式分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，再利用比较法可知应选择游戏Ⅱ.
（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率.
（2）易知，
游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为，
因此可知，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的期望或.
（3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额，
游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
，
游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，
，
从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ.
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点.
（1）求的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点.
（i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）当面积取最大值时，求的值.
【答案】（1）解：由已知，得，
解得，
所以，椭圆C的方程为.
（2）解：（i）设过点的直线，
由，
消去x，得，
则，
所以，
因为，，
由（1）知，，
则直线，，
直线，，
所以
，
则存在，使得.
（ii）法一：因为，
又因为，
因为，所以，
则，
因为点M在第一象限，所以，
令，
则，
令，解得或，
则在上单调递增，在单调递减，
所以，当时，取最大值，
则.
法二：因为，
又因为，
设，，
所以，
令，
则
，
令，解得或，
因为，所以，
则存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时取最大值，
则.
法三：设，则，所以，
则直线，
由，得，
因为，
令，
则，
令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，取最大值，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆的离心率公式、代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列出方程组，进而得出的值，则可得到椭圆C的方程.
（2）（i）设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式法得出参数的取值范围，再根据韦达定理得到交点坐标与参数的关系式，从而写出直线的方程，进而两点得到坐标，再通过向量共线定理得出的值.
（ii）利用两种方法求解.
方法一：由（1）得出，再利用三角形的面积公式表示出，从而得到，再利用点M所在的象限得到的取值范围，再构造函数，根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出当面积取最大值时的的值.
方法二：由（1）得出，利用三角形面积公式表示出，，再构造函数，利用导数得出最大值及此时的的值.
方法三：设点的坐标，从而得到点的坐标，再利用两点距离公式得出，从而得出直线方程，联立直线方程和椭圆方程得出，再利用三角形面积公式列出，构造函数，再利用导数得出的最大值及此时的的值.
（1）由已知，，解得，
所以C的方程为；
（2）（i）设过点的直线，
由，消去x得，
，，
，，
由（1）知，
则直线，，
直线，，
，
所以存在，使得；
（ii）法一：，
，
因为，所以，
，
因为M在第一象限，所以，
令，
，
令，解得或，
在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取最大值，所以.
法二：，
，
设，，
所以，
令，
，
令，解得或，
因为，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以当时取最大值，所以.
法三：设，则，所以，
直线，
由，得，
，
令，
，
令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，
所以.
19．已知函数和的定义域均为，其中.
（1）求的极值.
（2）若，使得.
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】（1）解：因为，.
当时，，
则函数在上单调递增，既无极大值也无极小值；
当时，令，得，
若，，函数单调递减；
若，，函数单调递增.
所以，函数在处取得极小值，极小值是，无极大值，
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数的极小值是，无极大值.
（2）解：（i）当时，由，得，则，
令，则.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
当时，，
所以且，
则或，
所以的取值范围是.
（ii）设方程的正实数根为，
则，所以，点为直线上一点，
则表示点到原点的距离，
显然，该距离不小于原点到直线的距离，
则，所以，
不妨设，，则，
所以函数在上单调递减，
则，所以，
因为，
所以，
设，，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）分和两种情况结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值.
（2）（i）当时，由得出，构造函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而可得的取值范围，进而得到的取值范围.
（ii）利用的几何意义得出，对不等式进行放缩并构造函数，，再利用导数得到函数的最小值，进而证出不等式成立.
（1），.
当时，，函数在上单调递增，既无极大值也无极小值；
当时，令，得.
若，，函数单调递减；若，，函数单调递增.
所以函数在处取得极小值，极小值是，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数的极小值是，无极大值.
（2）（i）当时，由得，即，
令，则.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
因时，，
所以且，即或，
所以的取值范围是.
（ii）设方程的正实数根为，则，
即点为直线上一点，表示点到原点的距离，
显然，该距离不小于原点到直线的距离，
即，即，
不妨设，，则，
所以函数在上单调递减，则，即.
又，则，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即.
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