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广东中山市华侨中学2026届高三下学期考前学情自测数学试题
1．已知集合，集合，则（　　）
A．且 B． C． D．
2．已知，则（　　）
A． B． C．2 D．3
3．若，且，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
4．记等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，记，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为.若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（　　）
A．样本负相关 B．
C． D．处理后的决定系数变大
10．如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（　　）
A．曲线上存在到原点的距离超过的点
B．点在曲线上
C．曲线与直线有两个交点
D．
11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1 平面ABCD），若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A1E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（　　）
A．存在某个位置，使得BM⊥A1D
B．△A1EC面积的最大值为
C．sinαsinβ
D．三棱锥A1﹣EDC体积最大时，三棱锥A1﹣EDC的外接球的表面积16π
12．若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 　 　．
13．某公司在某地区进行商品的调查，随机调查了100位购买商品的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的，从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品的概率　 　
14．数列中，表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20，，21的因数有1，3，7，21，，那么数列前项的和　 　
15．已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列与中的所有项分别构成集合，，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和
16．已知函数，曲线在点处的切线与平行．
（1）求的值；
（2）求的极值．
17．如图，与存在对顶角，，，且．
（1）证明：为中点；
（2）若，求的长．
18．双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．
（附：双曲线以点为切点的切线方程为）
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．
（i）设点的横坐标为，求的取值范围；
（ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．
19．已知且，集合，其中．若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集．例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集．
（1）判断集合是否是的子集？说明理由；
（2）判断是否为集合的变换函数？说明理由；
（3）若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即集合，
由基本初等函数的值域可得，则.
故答案为：C.
【分析】分别求函数的定义域和值域得集合M，N，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
则，
即，同除以，则.
故答案为：C．
【分析】根据两角和与差的正弦公式，结合同角三角函数基本关系的商关系求值即可.
3．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，可得，即，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】原式变形可得，再利用基本不等式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，
得，
解得，
由，
得，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】设出公差d，利用等差数列前项和公式和已知条件，从而列出方程求解得出首项的值.
5．【答案】B
【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：作出示意图如图所示：
设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形，
所以，所以，
因为球的表面积为，所以，解得，所以，
所以，
所以圆台的侧面积为.
故答案为：B.
【分析】设球的半径，利用圆台的侧面展图形是扇环，及圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积即可求解.
6．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：设曲线与相邻的三个交点为，
，
解得，
不妨取，则，
所以，
则，
由题意得为直角三角形，
所以，即，解得，
故答案为：A．
【分析】设曲线与相邻的三个交点为，利用两角差的余弦公式和辅助角公式及正弦函数的性质可得，再利用勾股定理列出方程求解即可求解．
7．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，，，点在第一象限，，
由双曲线的定义可得，，则，
在中，由勾股定理可得，
即，整理可得，解得（舍去负值），
所以，则.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，易知，根据双曲线的定义求出，在中，利用勾股定理列关于的方程，求得的值，最后根据双曲线的离心率公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，且恒成立，
则在上恒成立，令，
则，令，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以存在，使得，
当时，，也即，此时函数单调递减；
当时，，也即，此时函数单调递增；
故，
因为，所以，
则，
令，则，所以在上单调递增，则，
则
，
所以，则，
故答案为：.
【分析】分类参数可得在上恒成立，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，求最值，即可得实数的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】线性相关；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A、经验回归方程中斜率，则样本负相关，故A正确；
B、原样本均值：，由，得，故B正确：
C、由图1的数据波动较大可得比更集中，则，故C错误；
D、由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据回归方程的系数确定样本的相关关系即可判断A；根据回归方程过样本中心点计算即可判断B；由图1的数据波动性即可判断C；根据残差图，结合决定系数的定义即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：设与切于点，则始终关于点对称.
所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，，
连接如图所示：
，，延长与轴交于点，
过作轴于点，
，
，
，
则，
即曲线的参数方程为，为参数，.
对于A，，
上不存在到原点的距离超过的点，A错；
对于B，若在上，则，
由①解得或0，
验证知仅当时，代入②符合，在曲线上，故B正确；
对于C，由，将曲线的参数方程代入得
，
即，
，
如下图，分别作出与的大致图象，
可知两函数图象共有两个交点，故C正确；
对于D，，
，
，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】先利用几何性质求解动点的轨迹方程利用两点间距离公式及三角函数有界性即可判断A；由点，利用参数方程解方程组即可判断B；联立直线与参数方程，结合三角函数图象可得交点个数即可判断C；利用，利用均值不等式即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、设是的中点，连接，
由于是的中点，所以，
由于，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以是直线与直线所成角（或其补角），
在三角形中，，所以，故A错误；
B、由于，所以，
设分别是的中点，连接，则是三角形的中位线，
所以，则，
而，所以是平面与平面所成二面角，即，
当时，平面平面，
此时，由于平面平面，
所以平面，由于平面，
所以，由于平面，，
所以平面，由于平面，所以，
所以面积的最大值为，故B正确；
C、过作，垂足为，连接，
由上述分析可知：，而平面，
，所以平面，由于平面，
所以，由于平面，，
所以平面，所以，
由于，而，
所以，故C正确；
D、三棱锥体积最大时，平面平面，
由于平面平面，平面，，
所以平面，由于是的外心，是的外心，
所以是三棱锥的外接球的球心，
所以外接球的半径，表面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设是的中点，连接，推出是直线与直线所成角（或其补角），
在三角形中，即可判断A；设分别是的中点，连接，根据线线垂直、三角形的面积公式、面面角和线面角求解即可判断BC；三棱锥体积最大时，平面平面，求得外接球的半径，再求外接球的表面积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设从该地区中任选一人，此人是男性为事件，此人购买商品为事件，
则该地区男性人口占该地区总人口的，
则，，
由条件概率公式可得.
故答案为：.
【分析】设从该地区中任选一人，此人是男性为事件，此人购买商品为事件，利用条件概率的公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的应用；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：由已知可得，，，
，
，
则可猜想，，
（1）当时，成立；
（2）假设时，该式成立，即，即.
则当时，有，
由定义可知，，
所以，
，
所以，
即当时，该式也成立，
由（1）（2）可知，对都成立，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意求，，，猜想，，再利用数学归纳法证明对任意正整数都成立即可，最后根据，结合等比数列前项和公式求解即可.
15．【答案】（1）解：数列为等差数列，且，，
则，即，，即，
因为数列是公比为2的等比数列，，所以，则；
（2）解：由（1）知，则数列的元素是由数列中去除数列，数列中去掉2，4，8，16，
因为，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由数列为等差数列，，利用等差中项求得，即可得公差值，以及等差数列的通项公式；由数列的等比为2的等比数列求出的值，再写其通项公式即可；
（2）由（1）知，去掉数列中的2，4，8，16，再利用等差数列的求和公式求即可.
（1）∵数列为等差数列，且，，
∴，即，∴，即，
∵数列是公比为2的等比数列，，∴，
即.
（2）由（1）知，∴数列的元素是由数列中去除数列
∴数列中去掉2，4，8，16，
，.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
由题意，即，解得；
（2）解：由（1）可得函数，，
令，即，解得；
令，即，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数取得极小值，且.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求的值即可；
（2）由（1）可得函数，，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值.
（1）因为，.
所以，.
由题意.
（2）因为，.
所以，.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数取得极小值，且.
17．【答案】（1）证明：设，，则，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
由，可得，化简得，
故为中点；
（2）解：过点做，交与，如图所示：
则，
由（），
所以，又，所以，所以，
所以，又，，所以，
由，
所以，
又，所以，所以，
所以，即，
在中，由正弦定理，可得，解得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）设，，在和，分别利用余弦定理表示出与，再根据列式化简求解即可；
（2）过点做，交与，利用三角形全等确定角的数量关系，再根据求角的三角函数，最后在中，利用正弦定理求的长即可.
（1）设，，则，.
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：.
故为中点.
（2）如图：
过点做，交与.
则.
由（）.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，.
所以.
由
所以.
又，所以，所以.
所以.
即.
在中，根据正弦定理，可得：.
18．【答案】（1）解：直线方程中，令，则，
则直线与轴交于，所以，离心率，所以，，
则双曲线的标准方程为
（2）解：（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，
联立双曲线方程得，
则，解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，
与双曲线方程联立得：，
令，
整理得：，由于，所以且，
上式整理得：，
由题意，有两个相异实根，所以，
且，整理得：，解得，
综上所述，的取值范围是；
（ii）设，
直线和方程分别为和，
联立得点，
又点在直线上，代入整理得：①，
在直线方程中，令，则，得点，
故直线方程为，
设直线与直线交点为，联立两直线方程：，
解得，
设直线与直线交点为，
同理可得：，
由①式，计算的分子之差有
计算的分母之差有
则可得和表达式的分子分母分别相等，
故两点重合，所以直线与的交点在定直线上．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）直线方程中，令，求得，即可得双曲线的实半轴，再根据双曲线的离心率求得，最后利用双曲线的关系求出，即可得双曲线的标准方程；
（2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，联立直线与双曲线方程，由，求得k的值，得渐近线方程，不符合两条切线的题意；则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，联立直线与双曲线，利用相切判别式为零化简，得到关于斜率的一元二次方程，依据有两个相异斜率的条件，结合二次项系数不为零、判别式大于零及排除渐近线对应取值，最终求出的取值范围；
（ii）设，先写出双曲线在、处的切线方程，联立求出切点弦交点坐标，再由在定直线上得到坐标关系式，接着求出点坐标并写出直线方程，联立定直线求得交点的横坐标，同理写出直线与定直线交点的横坐标，借助已得关系式分别化简、横坐标的分子与分母，证得二者分别相等，从而推出、重合，证明两直线交点恒在定直线上.
（1）直线方程中，令，则，
则直线与轴交于，所以，离心率，
所以，故．
所以双曲线的标准方程为．
（2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，
联立双曲线方程得，
则，
解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，
与双曲线方程联立得：，
令
整理得：，由于，所以且．
上式整理得：．
由题意，有两个相异实根，所以，
且．
整理得：，解得：．
综上所述，的取值范围是．
（ii）设．
直线和方程分别为和．
联立得点．
又点在直线上，代入整理得：．①
在直线方程中，令，则，得点．
故直线方程为：．
设直线与直线交点为，联立两直线方程：．
解得：．
设直线与直线交点为，
同理可得：．
由①式，计算的分子之差有
计算的分母之差有
则可得和表达式的分子分母分别相等．
故两点重合，所以直线与的交点在定直线上．
19．【答案】（1）解：当函数时，，
此时函数是集合的变换函数，
∴集合是的子集.
（2）解：函数在定义域上单调递减，当时集合，其中，
假设函数为集合的变换函数，
则，
即，即，
由①-②，得，
整理后得，
∵即，∴，
而由①式易得，显然产生矛盾，
即函数不是集合的变换函数.
（3）解：设中满足首项为1，公比为的等比数列，，则，满足，
设，则对且，，
而且时，，及有个不同元素，即能覆盖所有元素.
又∵的图象在区间上是一段连续曲线，
∴存在函数，使得集合是的子集.
【知识点】集合间关系的判断；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）由题中新定义及已知集合构造一个满足定义的函数即可；
（2）分析得到函数的单调性，用假设法进行判断.先假设，然后由题中定义可知，建立方程后求得的关系，推理产生矛盾，从而得到结论；
（3）构造满足题意得集合和，再验证满足题中定义即可求解.
（1）当函数时，
，
此时函数是集合的变换函数，
∴集合是的子集.
（2）函数在定义域上单调递减，
当时集合，其中，
假设函数为集合的变换函数，
则，
即，即，
由①-②，得，
整理后得，
∵即，∴，
而由①式易得，显然产生矛盾，
即函数不是集合的变换函数.
（3）设中满足首项为1，公比为的等比数列，
，则，满足，
设，则对且，，
而且时，，及有个不同元素，即能覆盖所有元素.
又∵的图象在区间上是一段连续曲线，
∴存在函数，使得集合是的子集.
1 / 1广东中山市华侨中学2026届高三下学期考前学情自测数学试题
1．已知集合，集合，则（　　）
A．且 B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即集合，
由基本初等函数的值域可得，则.
故答案为：C.
【分析】分别求函数的定义域和值域得集合M，N，再根据集合的交集运算求解即可.
2．已知，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
则，
即，同除以，则.
故答案为：C．
【分析】根据两角和与差的正弦公式，结合同角三角函数基本关系的商关系求值即可.
3．若，且，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，可得，即，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】原式变形可得，再利用基本不等式求解即可.
4．记等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，
得，
解得，
由，
得，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】设出公差d，利用等差数列前项和公式和已知条件，从而列出方程求解得出首项的值.
5．已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：作出示意图如图所示：
设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形，
所以，所以，
因为球的表面积为，所以，解得，所以，
所以，
所以圆台的侧面积为.
故答案为：B.
【分析】设球的半径，利用圆台的侧面展图形是扇环，及圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积即可求解.
6．已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：设曲线与相邻的三个交点为，
，
解得，
不妨取，则，
所以，
则，
由题意得为直角三角形，
所以，即，解得，
故答案为：A．
【分析】设曲线与相邻的三个交点为，利用两角差的余弦公式和辅助角公式及正弦函数的性质可得，再利用勾股定理列出方程求解即可求解．
7．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，记，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为.若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，，，点在第一象限，，
由双曲线的定义可得，，则，
在中，由勾股定理可得，
即，整理可得，解得（舍去负值），
所以，则.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，易知，根据双曲线的定义求出，在中，利用勾股定理列关于的方程，求得的值，最后根据双曲线的离心率公式求解即可.
8．已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，且恒成立，
则在上恒成立，令，
则，令，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以存在，使得，
当时，，也即，此时函数单调递减；
当时，，也即，此时函数单调递增；
故，
因为，所以，
则，
令，则，所以在上单调递增，则，
则
，
所以，则，
故答案为：.
【分析】分类参数可得在上恒成立，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，求最值，即可得实数的取值范围.
9．一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（　　）
A．样本负相关 B．
C． D．处理后的决定系数变大
【答案】A,B,D
【知识点】线性相关；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A、经验回归方程中斜率，则样本负相关，故A正确；
B、原样本均值：，由，得，故B正确：
C、由图1的数据波动较大可得比更集中，则，故C错误；
D、由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据回归方程的系数确定样本的相关关系即可判断A；根据回归方程过样本中心点计算即可判断B；由图1的数据波动性即可判断C；根据残差图，结合决定系数的定义即可判断D.
10．如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（　　）
A．曲线上存在到原点的距离超过的点
B．点在曲线上
C．曲线与直线有两个交点
D．
【答案】B,C,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：设与切于点，则始终关于点对称.
所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，，
连接如图所示：
，，延长与轴交于点，
过作轴于点，
，
，
，
则，
即曲线的参数方程为，为参数，.
对于A，，
上不存在到原点的距离超过的点，A错；
对于B，若在上，则，
由①解得或0，
验证知仅当时，代入②符合，在曲线上，故B正确；
对于C，由，将曲线的参数方程代入得
，
即，
，
如下图，分别作出与的大致图象，
可知两函数图象共有两个交点，故C正确；
对于D，，
，
，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】先利用几何性质求解动点的轨迹方程利用两点间距离公式及三角函数有界性即可判断A；由点，利用参数方程解方程组即可判断B；联立直线与参数方程，结合三角函数图象可得交点个数即可判断C；利用，利用均值不等式即可判断D.
11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1 平面ABCD），若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A1E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（　　）
A．存在某个位置，使得BM⊥A1D
B．△A1EC面积的最大值为
C．sinαsinβ
D．三棱锥A1﹣EDC体积最大时，三棱锥A1﹣EDC的外接球的表面积16π
【答案】B,C,D
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、设是的中点，连接，
由于是的中点，所以，
由于，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以是直线与直线所成角（或其补角），
在三角形中，，所以，故A错误；
B、由于，所以，
设分别是的中点，连接，则是三角形的中位线，
所以，则，
而，所以是平面与平面所成二面角，即，
当时，平面平面，
此时，由于平面平面，
所以平面，由于平面，
所以，由于平面，，
所以平面，由于平面，所以，
所以面积的最大值为，故B正确；
C、过作，垂足为，连接，
由上述分析可知：，而平面，
，所以平面，由于平面，
所以，由于平面，，
所以平面，所以，
由于，而，
所以，故C正确；
D、三棱锥体积最大时，平面平面，
由于平面平面，平面，，
所以平面，由于是的外心，是的外心，
所以是三棱锥的外接球的球心，
所以外接球的半径，表面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设是的中点，连接，推出是直线与直线所成角（或其补角），
在三角形中，即可判断A；设分别是的中点，连接，根据线线垂直、三角形的面积公式、面面角和线面角求解即可判断BC；三棱锥体积最大时，平面平面，求得外接球的半径，再求外接球的表面积即可判断D.
12．若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 　 　．
【答案】
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设直线AB的方程为，则点A(0，b)
∵直线AB与圆 相切
∴，解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.
13．某公司在某地区进行商品的调查，随机调查了100位购买商品的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的，从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品的概率　 　
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设从该地区中任选一人，此人是男性为事件，此人购买商品为事件，
则该地区男性人口占该地区总人口的，
则，，
由条件概率公式可得.
故答案为：.
【分析】设从该地区中任选一人，此人是男性为事件，此人购买商品为事件，利用条件概率的公式求解即可.
14．数列中，表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20，，21的因数有1，3，7，21，，那么数列前项的和　 　
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的应用；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：由已知可得，，，
，
，
则可猜想，，
（1）当时，成立；
（2）假设时，该式成立，即，即.
则当时，有，
由定义可知，，
所以，
，
所以，
即当时，该式也成立，
由（1）（2）可知，对都成立，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意求，，，猜想，，再利用数学归纳法证明对任意正整数都成立即可，最后根据，结合等比数列前项和公式求解即可.
15．已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列与中的所有项分别构成集合，，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和
【答案】（1）解：数列为等差数列，且，，
则，即，，即，
因为数列是公比为2的等比数列，，所以，则；
（2）解：由（1）知，则数列的元素是由数列中去除数列，数列中去掉2，4，8，16，
因为，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由数列为等差数列，，利用等差中项求得，即可得公差值，以及等差数列的通项公式；由数列的等比为2的等比数列求出的值，再写其通项公式即可；
（2）由（1）知，去掉数列中的2，4，8，16，再利用等差数列的求和公式求即可.
（1）∵数列为等差数列，且，，
∴，即，∴，即，
∵数列是公比为2的等比数列，，∴，
即.
（2）由（1）知，∴数列的元素是由数列中去除数列
∴数列中去掉2，4，8，16，
，.
16．已知函数，曲线在点处的切线与平行．
（1）求的值；
（2）求的极值．
【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
由题意，即，解得；
（2）解：由（1）可得函数，，
令，即，解得；
令，即，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数取得极小值，且.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求的值即可；
（2）由（1）可得函数，，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值.
（1）因为，.
所以，.
由题意.
（2）因为，.
所以，.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数取得极小值，且.
17．如图，与存在对顶角，，，且．
（1）证明：为中点；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：设，，则，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
由，可得，化简得，
故为中点；
（2）解：过点做，交与，如图所示：
则，
由（），
所以，又，所以，所以，
所以，又，，所以，
由，
所以，
又，所以，所以，
所以，即，
在中，由正弦定理，可得，解得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）设，，在和，分别利用余弦定理表示出与，再根据列式化简求解即可；
（2）过点做，交与，利用三角形全等确定角的数量关系，再根据求角的三角函数，最后在中，利用正弦定理求的长即可.
（1）设，，则，.
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：.
故为中点.
（2）如图：
过点做，交与.
则.
由（）.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，.
所以.
由
所以.
又，所以，所以.
所以.
即.
在中，根据正弦定理，可得：.
18．双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．
（附：双曲线以点为切点的切线方程为）
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．
（i）设点的横坐标为，求的取值范围；
（ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．
【答案】（1）解：直线方程中，令，则，
则直线与轴交于，所以，离心率，所以，，
则双曲线的标准方程为
（2）解：（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，
联立双曲线方程得，
则，解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，
与双曲线方程联立得：，
令，
整理得：，由于，所以且，
上式整理得：，
由题意，有两个相异实根，所以，
且，整理得：，解得，
综上所述，的取值范围是；
（ii）设，
直线和方程分别为和，
联立得点，
又点在直线上，代入整理得：①，
在直线方程中，令，则，得点，
故直线方程为，
设直线与直线交点为，联立两直线方程：，
解得，
设直线与直线交点为，
同理可得：，
由①式，计算的分子之差有
计算的分母之差有
则可得和表达式的分子分母分别相等，
故两点重合，所以直线与的交点在定直线上．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）直线方程中，令，求得，即可得双曲线的实半轴，再根据双曲线的离心率求得，最后利用双曲线的关系求出，即可得双曲线的标准方程；
（2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，联立直线与双曲线方程，由，求得k的值，得渐近线方程，不符合两条切线的题意；则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，联立直线与双曲线，利用相切判别式为零化简，得到关于斜率的一元二次方程，依据有两个相异斜率的条件，结合二次项系数不为零、判别式大于零及排除渐近线对应取值，最终求出的取值范围；
（ii）设，先写出双曲线在、处的切线方程，联立求出切点弦交点坐标，再由在定直线上得到坐标关系式，接着求出点坐标并写出直线方程，联立定直线求得交点的横坐标，同理写出直线与定直线交点的横坐标，借助已得关系式分别化简、横坐标的分子与分母，证得二者分别相等，从而推出、重合，证明两直线交点恒在定直线上.
（1）直线方程中，令，则，
则直线与轴交于，所以，离心率，
所以，故．
所以双曲线的标准方程为．
（2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，
联立双曲线方程得，
则，
解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，
与双曲线方程联立得：，
令
整理得：，由于，所以且．
上式整理得：．
由题意，有两个相异实根，所以，
且．
整理得：，解得：．
综上所述，的取值范围是．
（ii）设．
直线和方程分别为和．
联立得点．
又点在直线上，代入整理得：．①
在直线方程中，令，则，得点．
故直线方程为：．
设直线与直线交点为，联立两直线方程：．
解得：．
设直线与直线交点为，
同理可得：．
由①式，计算的分子之差有
计算的分母之差有
则可得和表达式的分子分母分别相等．
故两点重合，所以直线与的交点在定直线上．
19．已知且，集合，其中．若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集．例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集．
（1）判断集合是否是的子集？说明理由；
（2）判断是否为集合的变换函数？说明理由；
（3）若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：当函数时，，
此时函数是集合的变换函数，
∴集合是的子集.
（2）解：函数在定义域上单调递减，当时集合，其中，
假设函数为集合的变换函数，
则，
即，即，
由①-②，得，
整理后得，
∵即，∴，
而由①式易得，显然产生矛盾，
即函数不是集合的变换函数.
（3）解：设中满足首项为1，公比为的等比数列，，则，满足，
设，则对且，，
而且时，，及有个不同元素，即能覆盖所有元素.
又∵的图象在区间上是一段连续曲线，
∴存在函数，使得集合是的子集.
【知识点】集合间关系的判断；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）由题中新定义及已知集合构造一个满足定义的函数即可；
（2）分析得到函数的单调性，用假设法进行判断.先假设，然后由题中定义可知，建立方程后求得的关系，推理产生矛盾，从而得到结论；
（3）构造满足题意得集合和，再验证满足题中定义即可求解.
（1）当函数时，
，
此时函数是集合的变换函数，
∴集合是的子集.
（2）函数在定义域上单调递减，
当时集合，其中，
假设函数为集合的变换函数，
则，
即，即，
由①-②，得，
整理后得，
∵即，∴，
而由①式易得，显然产生矛盾，
即函数不是集合的变换函数.
（3）设中满足首项为1，公比为的等比数列，
，则，满足，
设，则对且，，
而且时，，及有个不同元素，即能覆盖所有元素.
又∵的图象在区间上是一段连续曲线，
∴存在函数，使得集合是的子集.
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