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河南南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期二模检测（二）数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．复数（　　）
A． B． C． D．
3．如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（ ）．
A．22 B．24 C．20 D．18
4．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（　　）
A． B．
C． D．
5．已知实数满足方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知复数为纯虚数，则（　　）
A． B． C． D．
7．袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（　　）
A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．点是图象的一个对称中心
D．在上单调递增
10．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（　　）
A． B．的最小值为
C．面积的最大值为 D．面积的最大值为
11．已知曲线，曲线，则（　　）
A．的周长为
B．当时，与有且只有2个公共点
C．当与有且只有6个公共点时，则的取值集合为
D．当与有8个公共点时，的取值范围为
12．已知平面向量满足，且，则与的夹角的余弦值为　 　．
13．有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为　 　.
14．已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为　 　.
15．在中，角的对边分别为，已知为的中点．
（1）求角；
（2）若，求的面积．
16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点．
（2）工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？
17．如图，在直三棱柱中，，，，P为棱上的动点，点Q为的中点.
（1）若，
（i）证明：平面；
（ii）求直线与直线的所成角的余弦值；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
18．已知函数，，设的零点为.
（1）求的值；
（2）证明：为单调数列，并求中的最小项；
（3）证明：.
19．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．
（1）求的方程；
（2）已知直线，交于，两点，
①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由；
②若，求的面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即集合，易知，则．
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，求得集合A，求函数的值域得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则化简即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】3【解答】解：因为，，
所以
，
因为，，所以，
因为直角梯形ABCD，所以，所以，
则
.
故答案为：A.
【分析】以基向量表示，再根据向量的数量积运算求解即可.
4．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，由，
可得，解得，
当时，，解得或，
又是整数，所以；
当时，，解得，此时不是整数，
所以，故A，B错误；
，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，根据等比数列的通项列出方程，解得首项和公比，再由等比数列的求和公式逐项计算判断即可．
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，可知，
两边平方整理可得，
该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如图所示：
设，则是通过定点的直线，
显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率，
当直线和圆相切于时，斜率最小，
由圆心到直线的距离是，解得，即，
则，即.
故答案为：A.
【分析】由题意求得x的范围，将两边平方，整理可得方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，作出图形，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合求解即可.
6．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】解：因为为纯虚数，所以设复数，
则，即，，则，即，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意设复数，利用复数代数形式的乘法运算，结合复数相等列式求得，代入，根据模长的公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中，
则，
所以.
故，又，
故时，，即，，
时，，即，，故A错误，B正确；
，又，
故时，，即，，
时，，即，，故C，D错误.
故答案为：B.
【分析】设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中，利用独立事件的概率乘法公式求的的表达式，逐项作差计算判断即可.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；等差数列的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，，
令，得，显然，，解得或，
由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为，
因零点成递增等差数列，故排序为，
设公差为，则：，，
即，化简得，
两边同乘得，故.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数为偶函数，当时，令求得函数的零点，再根据函数的奇偶性的函数的四个零点，从小到大排序，设公差为，依据等差数列公差相等列式，化简求m的值即可.
9．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可得，
则，解得，
因为，所以当时，有最小值，即，则，故A正确；
因为+2，
则，
即直线不是图象的一条对称轴，故B错误；
，
故点是图象的一个对称中心，故C正确；
当时，，所以在上不单调，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】根据三角函数图象的平移变换，结合的最小值求解即可判断A；利用辅助角公式化简函数，再计算即可判断B；验证的值是否等于2即可判断C；根据正弦函数的性质，利用整体法求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、点在椭圆上，，解得，
，故A正确；
B、设点，则，将点的坐标代入椭圆的方程，
得，即，点的轨迹方程为，
则的最小值为点到圆心的距离减去半径，
即，故B错误；
C、由B可知，，则当时，的面积最大，
为，故C正确；
D、由椭圆对称性，设点在第一象限，，
，
，当且仅当时，等号成立，面积的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将点A坐标代入椭圆方程可得m值，再根据椭圆的定义求解，即可判断A；设点，则，代入椭圆方程化简求得点P的轨迹，再根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式求解即可判断B；由B可知，当时，的面积最大，代入数据计算即可判断C；由椭圆对称性，设点在第一象限，利用三角形面积公式可得面积的表达式，结合基本不等式求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆；
当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆；
当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆；
当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆；
画出曲线的图象：
A、易得曲线的周长为：，故A正确；
由题知曲线与曲线均关于轴对称，我们考虑当时，
曲线，恒过定点
B、当时，，曲线在第四象限的图像是以为圆心，
1为半径的圆，此时圆心到直线的距离为，
故曲线与曲线相切，有一个公共点，根据对称性可知当时，
与有且只有2个公共点，故B正确；
C、若要保证与有且只有6个公共点，
根据图像可知曲线应与第四象限的圆相交并且与第一象限的圆相切，或者曲线过点，
当曲线应与第四象限的圆相交并且与第一象限的圆相切时，
此时第一象限的图象是以为圆心，1为半径的圆，
此时圆心到直线的距离为，解得；
当曲线过点，此时易得，故当与有且只有6个公共点时，
则的取值集合为，故C错误；
D、若要保证与有且只有8个公共点，
根据图像可知曲线应与第一象限的圆相交且不过点，
此时圆心到直线的距离为，解得，
因为曲线不过点，故，故的取值范围为且，
即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对的正负分情况讨论，去掉绝对值化简曲线，作出曲线与曲线的图象，求曲线的面积即可判断A；当时，，曲线在第四象限的图像是以为圆心，利用点到直线的距离公式，判断曲线与曲线相切，有一个公共点，再根据对称性可知当时，与有且只有2个公共点，即可判断B；根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】讲解：因为，所以，即，解得，
则，即与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直数量积为零求得，再根据向量的夹角公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：易知的可能取值为，
，
，
，
则的数学期望.
故答案为：.
【分析】易知的可能取值为，根据古典概型，结合二项分布以及独立事件乘法公式求解对应的概率，最后根据望公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以，即，即，
又因为点在椭圆上，所以，所以，则的离心率为.
故答案为：.
【分析】设，根据向量的坐标运算，结合求得点B的坐标，再根据点在椭圆上，代入椭圆方程，化简求离心率即可.
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
又，化简得，
，，
，；
（2）解：为的中点，，
，
可化为，
又在中，，
，得，
的面积.
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由为的中点，可得，利用向量的数量积，结合余弦定理可求，再利用三角形面积公式求解即可.
（1），
由正弦定理可得.
又，
化简得.
，，
，；
（2）为的中点，，
可化为，
又在中，，
，
得，
的面积.
16．【答案】（1）解：每箱产品中恰有1件不合格品的概率，，
则，令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点；
（2）解：由（1）知，
若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为，
则
；
若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为，
；
因为，所以应该选择方案一．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得，求导，利用导数判断函数的单调性，求极大值点即可；
（2）由（1）知，分别求两个方案将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用值的期望，再比较大小判断即可.
（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，，
则，令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点.
（2）由（1）知，
若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为，
则
；
若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为．
；
因为，所以应该选择方案一．
17．【答案】（1）证明：（i）因为，所以P为的中点，
连接，因为Q为的中点，所以，且Q为的中点，
所以为的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（ii）取的中点O，的中点E，连接，，
因为三棱柱为直棱柱，且的中点为，的中点E，
所以平面，又因为，且的中点为，所以，
所以，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，，，
所以，则，，，，
所以，，
所以，
故直线与直线的所成角的余弦值为；
（2）解：在（ii）的坐标系下，设（），
又，则，
设平面的一个法向量为，
则即取，则，，可得，
易知为平面的一个法向量，，
整理得，解得或（舍），则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）（i）连接，利用中位线的性质，结合线面平行的判定定理证明即可；（ii）取的中点O，的中点E，连接，，推出，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求证即可；
（2）由（ii）的直角坐标系，设（），求得，再分别求出两个平面的法向量，最后利用向量夹角公式建立方程求解即可.
（1）（i）因为，所以P为的中点，
连接，因为Q为的中点，所以，且Q为的中点，
所以为的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（ii）取的中点O，的中点E，连接，，
因为三棱柱为直棱柱，且的中点为，的中点E，
所以平面，又因为，且的中点为，所以，
所以，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，，
所以，则，，，，
所以，，
所以，
故直线与直线的所成角的余弦值为.
（2）在（ii）的坐标系下，设（），
又，则，
设平面的一个法向量为，
则即
取，则，，
所以，
易知为平面的一个法向量，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以.
18．【答案】（1）解：当时，的定义域为，
，则函数在上单调递增，
又，所以在内的唯一零点为，所以；
（2）证明：的零点为，得，
则，
两式相减，得，
所以，
令，由（1）分析可知在上单调递增，所以，
故为递增数列，且中的最小项为；
（3）证明：令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
因为的零点为，则，
移项得，则，
当时，有，则，
所以，
又，所以当时，，
当时，，
综上所述.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合；不等式的证明；反证法与放缩法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当时，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数在上单调性，再根据，判断在内的唯一零点为，即可得的值；
（2）根据的零点为，将代入中，两式作差得到，令，通过求导证明在上单调递增，即可证明，即可证明为递增数列；
（3）令，求导，利用导数判断函数的单调性，证明，进而得到，即，通过放缩得到时，，即可证明.
（1）当时，的定义域为，
因，则此时在上单调递增，
又，
所以在内的唯一零点为，所以.
（2）的零点为，得，
则，
两式相减，得，
所以，
令，由（1）分析可知在上单调递增，所以，
故为递增数列，且中的最小项为.
（3）令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
因为的零点为，则，
移项得，则，
当时，有，则，
所以，
又，所以当时，，
当时，，
综上所述.
19．【答案】（1）解：因为，可得，
由，代入得，则，
由在双曲线上，代入，解得，则，
故双曲线方程为；
（2）解：由题可设，将代入双曲线中，整理得，
由韦达定理可得，
，
①不存在符合的直线，
令，
由，得，即，
将代入上式得，
展开并整理，
将根与系数关系代入，化简整理得，解得，
因此直线方程为，
检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系，
因此不存在满足条件的直线；
②、弦长，
到直线的距离，
，
令，可知在单调递增，
故，所以的面积最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据双曲线离心率以及点在双曲线上，结合双曲线中之间的关系，列式求双曲线方程即可；
(2)由题可设，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得，
①、利用向量数量积的坐标运算，结合韦达定理整理出参数方程，求直线方程即可；
②、利用弦长公式以及点到直线的距离公式，表示的面积，再利用单调性求出面积最小值即可.
（1）因为，故.
由，代入得，则.
又因为在双曲线上，代入，得，则，
故双曲线方程为.
（2）由题可设，将代入双曲线中，
整理得，由根与系数关系得，
，
.
①不存在符合的直线.
令，
由得，即，
将代入上式得，
，
展开并整理，
将根与系数关系代入，
化简整理得，解得.
因此直线方程为.
检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系，
因此不存在满足条件的直线.
②弦长，
到直线的距离，
，
令，可知在单调递增，
故，所以的面积最小值为.
1 / 1河南南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期二模检测（二）数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即集合，易知，则．
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，求得集合A，求函数的值域得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则化简即可.
3．如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（ ）．
A．22 B．24 C．20 D．18
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】3【解答】解：因为，，
所以
，
因为，，所以，
因为直角梯形ABCD，所以，所以，
则
.
故答案为：A.
【分析】以基向量表示，再根据向量的数量积运算求解即可.
4．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，由，
可得，解得，
当时，，解得或，
又是整数，所以；
当时，，解得，此时不是整数，
所以，故A，B错误；
，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，根据等比数列的通项列出方程，解得首项和公比，再由等比数列的求和公式逐项计算判断即可．
5．已知实数满足方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，可知，
两边平方整理可得，
该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如图所示：
设，则是通过定点的直线，
显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率，
当直线和圆相切于时，斜率最小，
由圆心到直线的距离是，解得，即，
则，即.
故答案为：A.
【分析】由题意求得x的范围，将两边平方，整理可得方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，作出图形，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合求解即可.
6．已知复数为纯虚数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】解：因为为纯虚数，所以设复数，
则，即，，则，即，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意设复数，利用复数代数形式的乘法运算，结合复数相等列式求得，代入，根据模长的公式求解即可.
7．袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中，
则，
所以.
故，又，
故时，，即，，
时，，即，，故A错误，B正确；
，又，
故时，，即，，
时，，即，，故C，D错误.
故答案为：B.
【分析】设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中，利用独立事件的概率乘法公式求的的表达式，逐项作差计算判断即可.
8．已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；等差数列的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，，
令，得，显然，，解得或，
由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为，
因零点成递增等差数列，故排序为，
设公差为，则：，，
即，化简得，
两边同乘得，故.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数为偶函数，当时，令求得函数的零点，再根据函数的奇偶性的函数的四个零点，从小到大排序，设公差为，依据等差数列公差相等列式，化简求m的值即可.
9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（　　）
A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．点是图象的一个对称中心
D．在上单调递增
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可得，
则，解得，
因为，所以当时，有最小值，即，则，故A正确；
因为+2，
则，
即直线不是图象的一条对称轴，故B错误；
，
故点是图象的一个对称中心，故C正确；
当时，，所以在上不单调，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】根据三角函数图象的平移变换，结合的最小值求解即可判断A；利用辅助角公式化简函数，再计算即可判断B；验证的值是否等于2即可判断C；根据正弦函数的性质，利用整体法求解即可判断D.
10．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（　　）
A． B．的最小值为
C．面积的最大值为 D．面积的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、点在椭圆上，，解得，
，故A正确；
B、设点，则，将点的坐标代入椭圆的方程，
得，即，点的轨迹方程为，
则的最小值为点到圆心的距离减去半径，
即，故B错误；
C、由B可知，，则当时，的面积最大，
为，故C正确；
D、由椭圆对称性，设点在第一象限，，
，
，当且仅当时，等号成立，面积的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将点A坐标代入椭圆方程可得m值，再根据椭圆的定义求解，即可判断A；设点，则，代入椭圆方程化简求得点P的轨迹，再根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式求解即可判断B；由B可知，当时，的面积最大，代入数据计算即可判断C；由椭圆对称性，设点在第一象限，利用三角形面积公式可得面积的表达式，结合基本不等式求解即可判断D.
11．已知曲线，曲线，则（　　）
A．的周长为
B．当时，与有且只有2个公共点
C．当与有且只有6个公共点时，则的取值集合为
D．当与有8个公共点时，的取值范围为
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆；
当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆；
当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆；
当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆；
画出曲线的图象：
A、易得曲线的周长为：，故A正确；
由题知曲线与曲线均关于轴对称，我们考虑当时，
曲线，恒过定点
B、当时，，曲线在第四象限的图像是以为圆心，
1为半径的圆，此时圆心到直线的距离为，
故曲线与曲线相切，有一个公共点，根据对称性可知当时，
与有且只有2个公共点，故B正确；
C、若要保证与有且只有6个公共点，
根据图像可知曲线应与第四象限的圆相交并且与第一象限的圆相切，或者曲线过点，
当曲线应与第四象限的圆相交并且与第一象限的圆相切时，
此时第一象限的图象是以为圆心，1为半径的圆，
此时圆心到直线的距离为，解得；
当曲线过点，此时易得，故当与有且只有6个公共点时，
则的取值集合为，故C错误；
D、若要保证与有且只有8个公共点，
根据图像可知曲线应与第一象限的圆相交且不过点，
此时圆心到直线的距离为，解得，
因为曲线不过点，故，故的取值范围为且，
即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对的正负分情况讨论，去掉绝对值化简曲线，作出曲线与曲线的图象，求曲线的面积即可判断A；当时，，曲线在第四象限的图像是以为圆心，利用点到直线的距离公式，判断曲线与曲线相切，有一个公共点，再根据对称性可知当时，与有且只有2个公共点，即可判断B；根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可判断CD.
12．已知平面向量满足，且，则与的夹角的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】讲解：因为，所以，即，解得，
则，即与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直数量积为零求得，再根据向量的夹角公式求解即可.
13．有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为　 　.
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：易知的可能取值为，
，
，
，
则的数学期望.
故答案为：.
【分析】易知的可能取值为，根据古典概型，结合二项分布以及独立事件乘法公式求解对应的概率，最后根据望公式求解即可.
14．已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以，即，即，
又因为点在椭圆上，所以，所以，则的离心率为.
故答案为：.
【分析】设，根据向量的坐标运算，结合求得点B的坐标，再根据点在椭圆上，代入椭圆方程，化简求离心率即可.
15．在中，角的对边分别为，已知为的中点．
（1）求角；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
又，化简得，
，，
，；
（2）解：为的中点，，
，
可化为，
又在中，，
，得，
的面积.
【知识点】向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由为的中点，可得，利用向量的数量积，结合余弦定理可求，再利用三角形面积公式求解即可.
（1），
由正弦定理可得.
又，
化简得.
，，
，；
（2）为的中点，，
可化为，
又在中，，
，
得，
的面积.
16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点．
（2）工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？
【答案】（1）解：每箱产品中恰有1件不合格品的概率，，
则，令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点；
（2）解：由（1）知，
若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为，
则
；
若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为，
；
因为，所以应该选择方案一．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得，求导，利用导数判断函数的单调性，求极大值点即可；
（2）由（1）知，分别求两个方案将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用值的期望，再比较大小判断即可.
（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，，
则，令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点.
（2）由（1）知，
若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为，
则
；
若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为．
；
因为，所以应该选择方案一．
17．如图，在直三棱柱中，，，，P为棱上的动点，点Q为的中点.
（1）若，
（i）证明：平面；
（ii）求直线与直线的所成角的余弦值；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明：（i）因为，所以P为的中点，
连接，因为Q为的中点，所以，且Q为的中点，
所以为的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（ii）取的中点O，的中点E，连接，，
因为三棱柱为直棱柱，且的中点为，的中点E，
所以平面，又因为，且的中点为，所以，
所以，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，，，
所以，则，，，，
所以，，
所以，
故直线与直线的所成角的余弦值为；
（2）解：在（ii）的坐标系下，设（），
又，则，
设平面的一个法向量为，
则即取，则，，可得，
易知为平面的一个法向量，，
整理得，解得或（舍），则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）（i）连接，利用中位线的性质，结合线面平行的判定定理证明即可；（ii）取的中点O，的中点E，连接，，推出，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求证即可；
（2）由（ii）的直角坐标系，设（），求得，再分别求出两个平面的法向量，最后利用向量夹角公式建立方程求解即可.
（1）（i）因为，所以P为的中点，
连接，因为Q为的中点，所以，且Q为的中点，
所以为的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（ii）取的中点O，的中点E，连接，，
因为三棱柱为直棱柱，且的中点为，的中点E，
所以平面，又因为，且的中点为，所以，
所以，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，，
所以，则，，，，
所以，，
所以，
故直线与直线的所成角的余弦值为.
（2）在（ii）的坐标系下，设（），
又，则，
设平面的一个法向量为，
则即
取，则，，
所以，
易知为平面的一个法向量，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以.
18．已知函数，，设的零点为.
（1）求的值；
（2）证明：为单调数列，并求中的最小项；
（3）证明：.
【答案】（1）解：当时，的定义域为，
，则函数在上单调递增，
又，所以在内的唯一零点为，所以；
（2）证明：的零点为，得，
则，
两式相减，得，
所以，
令，由（1）分析可知在上单调递增，所以，
故为递增数列，且中的最小项为；
（3）证明：令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
因为的零点为，则，
移项得，则，
当时，有，则，
所以，
又，所以当时，，
当时，，
综上所述.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合；不等式的证明；反证法与放缩法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）当时，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数在上单调性，再根据，判断在内的唯一零点为，即可得的值；
（2）根据的零点为，将代入中，两式作差得到，令，通过求导证明在上单调递增，即可证明，即可证明为递增数列；
（3）令，求导，利用导数判断函数的单调性，证明，进而得到，即，通过放缩得到时，，即可证明.
（1）当时，的定义域为，
因，则此时在上单调递增，
又，
所以在内的唯一零点为，所以.
（2）的零点为，得，
则，
两式相减，得，
所以，
令，由（1）分析可知在上单调递增，所以，
故为递增数列，且中的最小项为.
（3）令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
因为的零点为，则，
移项得，则，
当时，有，则，
所以，
又，所以当时，，
当时，，
综上所述.
19．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．
（1）求的方程；
（2）已知直线，交于，两点，
①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由；
②若，求的面积的最小值．
【答案】（1）解：因为，可得，
由，代入得，则，
由在双曲线上，代入，解得，则，
故双曲线方程为；
（2）解：由题可设，将代入双曲线中，整理得，
由韦达定理可得，
，
①不存在符合的直线，
令，
由，得，即，
将代入上式得，
展开并整理，
将根与系数关系代入，化简整理得，解得，
因此直线方程为，
检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系，
因此不存在满足条件的直线；
②、弦长，
到直线的距离，
，
令，可知在单调递增，
故，所以的面积最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据双曲线离心率以及点在双曲线上，结合双曲线中之间的关系，列式求双曲线方程即可；
(2)由题可设，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得，
①、利用向量数量积的坐标运算，结合韦达定理整理出参数方程，求直线方程即可；
②、利用弦长公式以及点到直线的距离公式，表示的面积，再利用单调性求出面积最小值即可.
（1）因为，故.
由，代入得，则.
又因为在双曲线上，代入，得，则，
故双曲线方程为.
（2）由题可设，将代入双曲线中，
整理得，由根与系数关系得，
，
.
①不存在符合的直线.
令，
由得，即，
将代入上式得，
，
展开并整理，
将根与系数关系代入，
化简整理得，解得.
因此直线方程为.
检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系，
因此不存在满足条件的直线.
②弦长，
到直线的距离，
，
令，可知在单调递增，
故，所以的面积最小值为.
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