资源简介

广东东莞外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
1．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
A．24 B．30 C．40 D．60
3．函数点处的切线方程为，则等于（　　）
A． B． C．3 D．6
4．已知随机变量的分布列为，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知为等差数列，为等比数列，，则（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
6．定义在R上的偶函数，其导函数，当x≥0时，恒有，若，则不等式的解集为（　　）
A．(，1) B．(∞，)∪(1，+∞)
C．(，+∞) D．(∞，)
7．某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（　　）
A．720 B．1480 C．1080 D．1440
8．若实数a、b、c、d满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（　　）
A．是函数的极值点 B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点
10．已知，则下列描述正确的是（　　）
A．
B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为
C．被7整除所得的余数是4
D．
11．已知函数，其中，则（　　）
A．若函数有且仅有1个零点，则
B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是
C．不存在，使函数存在唯一的极值点
D．若对恒成立，则
12．如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为　 　.（用数字作答）
13．的展开式中的系数为　 　．
14．已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为　 　．
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间以及极值；
（2）求函数在上的最值.
16．记的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
17．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．
（1）若，证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．
18．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.
19．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.
（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
（3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据初等函数的导数公式及导数的乘法公式逐项判断即可.
2．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择，
则组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 2×4×3=24.
故答案为：A．
【分析】根据分步计数原理求解即可．
3．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：D.
【分析】易知，利用导数的概念求解即可.
4．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；概率分布列
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：C.
【分析】根据随机变量的分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得，解得，，
则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意，利用等差、等比数列的通项列方程组，求出公差与公比，再利用等差数列的通项求即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数，当时，，
因为，所以，即在上单调递减，
又因为是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
由不等式，则有，
所以，解得，
则不等式的解集为．
故答案为：A.
【分析】函数，求导，由题意易知，即函数在上单调递减，利用函数的奇偶性、单调性，求解不等式即可.
7．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，
则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”，
当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，
再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为；
当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，
再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为.
根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为.
故答案为：D.
【分析】先将主治医生分组为“”或“”，再求对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇求解即可.
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以点在函数的图象上，点在直线即上，
当函数的图象过点的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，也即为的最小值，
，由得，，
到直线的距离为，所以，
所以的最小值为2.
故答案为：A.
【分析】由题可知点在函数的图象上，点在直线上，再结合导数的几何意义及两点间的距离公式求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于AC，根据导函数图象可知当时，；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减；
在上单调递增，故是极值点，故A、C正确；
对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误；
对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】 根据导函数的图象，得到的符号，根据的正负确定的单调性及极值.
10．【答案】A,B,C
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，令，得，
令，得，故，A正确；
对于B，所有含的奇数次项的二项式系数和，
与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，都为，故B正确；
对于C，，故只需考虑被7整除得余数，
因为，被7整除的余数为4，故C正确；
对于D，，
两边求导得，
再令，得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用赋值法，令x=1和x=0即可判断A的正确性；根据所有含的奇数次项的二项式系数和与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，可判断B；由，由二项式定理展开可知只需要知道被7整除得余数，可判断C；根据复合函数的求导法则对求导，再赋值令x=1即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为，
令，，则，
令得或，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，作出的图象，如下：
直线与其仅有一个公共点，则；
对于B，，令，
函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点，
令得，显然0不是函数的零点，
当时，变形为，令，
则，令得，令得或，
故在上单调递减，在上单调递增，
，作出的图象，如下：
直线与其交于两点，则，故，B正确；
对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点，
函数存在唯一的极值点，C错误；
对于D，，即，当时，满足要求，
当时，，变形为，
令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由参变分离得，令，再利用导数分析函数的单调性并作出图象，结合零点、极值和极值点的定义逐项判断即可.
12．【答案】12
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若AD同色，3种颜色（全部用完），有种，
若BC同色，3种颜色（全部用完），有种，
所以共有6+6=12种.
故答案为：12.
【分析】根据题意分AD同色或BC同色两种情况求解．
13．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
因此展开式中含的项为，故所求系数为.
故答案为：24.
【分析】根据二项式定理，结合通项公式求特定项的系数即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，因为函数，所以，则，
所以切线方程为：，又切线方程过点，
所以，化简得：，
令，所以
所以当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，极大值为，
的草图如下：
过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则，
所以.
故答案为：
【分析】设切点为，再利用导数的几何意义表示出切线，据此得到yo有三个解，然后求解即可.
15．【答案】（1）解：因为函数的定义域是，又因为，
令，得；令，得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为，无极小值.
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则函数在上的最小值为，
因为，所以，
则函数在上的最小值为，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先求出函数的定义域，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的极值.
(2)根据(1)中函数的单调性和比较法，从而得出函数在上的最值.
（1）函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值.
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以在上的最小值为.
又因为，所以，
所以函数在上的最小值为，即.
16．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
则，
又因为，则，可得，
即，所以.
（2）解：因为的面积为，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
所以的周长为.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互换，结合恒等变形化简得，再得到角即可；
（2）由题可得，再利用余弦定理求得，进而得到的周长即可.
（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
又因为，则，可得，
即，所以.
（2）因为的面积为，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
所以的周长为.
17．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如图所示：
因为且，所以，
因为，所以，所以，所以 ，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则 ，即，令，可得，
由题意可得，解得或（舍），故的值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）如图连接交于点，连接
因为且，
所以，
因为，所以，
所以，所以 ，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，
则，，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则 ，即，令，得，
所以，解得或（舍）
所以的值为.
18．【答案】（1）解：设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，
则且两两互斥，
依题意，，，
且，
由全概率公式得.
（2）解：由贝叶斯公式，得所求概率为.
（3）解：设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，.
【知识点】数列的递推公式；概率的应用；全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）设事件，利用全概率公式计算求解即可.
（2）直接贝叶斯公式计算求解即可.
（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，进而可得，再化简即可求解.
（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，
则且两两互斥，
依题意，，，
且，
由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式，得所求概率为.
（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，.
19．【答案】（1）解：不是，理由如下：
函数不是“旋转函数”，理由如下：逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”.
（2）解：由题意可得函数与函数最多有1个交点，
且，
所以最多有一个根，
即最多有一个根，
因此函数与函数R最多有1个交点，
即函数在上单调，
因为，且，
所以，所以，
即，，即的最大值为.
（3）解：由题意可得函数与函数最多有1个交点，
即，
即函数与函数最多有1个交点，
即函数在上单调，
，当时，
所以，
令，则，
因为在上单调减，且，
所以存在，使，
即，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用“旋转函数”的定义直接判断即可.
（2）先将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离参数，构造新函数，转化为新函数在上单调，即可求解.
（3）同（2）可得函数g(x)与最多一个交点，构造新函数转化成在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可.
（1）函数不是“旋转函数”，理由如下：
逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”.
（2）由题意可得
函数与函数最多有1个交点，
且，
所以最多有一个根，
即最多有一个根，
因此函数与函数R最多有1个交点，
即函数在上单调，
因为，且，
所以，所以，
即，，即的最大值为.
（3）由题意可得函数与函数最多有1个交点，
即，
即函数与函数最多有1个交点，
即函数在上单调，
，当时，
所以，
令，则，
因为在上单调减，且，
所以存在，使，
即，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
1 / 1广东东莞外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
1．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据初等函数的导数公式及导数的乘法公式逐项判断即可.
2．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
A．24 B．30 C．40 D．60
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择，
则组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 2×4×3=24.
故答案为：A．
【分析】根据分步计数原理求解即可．
3．函数点处的切线方程为，则等于（　　）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：D.
【分析】易知，利用导数的概念求解即可.
4．已知随机变量的分布列为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；概率分布列
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：C.
【分析】根据随机变量的分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可.
5．已知为等差数列，为等比数列，，则（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得，解得，，
则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意，利用等差、等比数列的通项列方程组，求出公差与公比，再利用等差数列的通项求即可.
6．定义在R上的偶函数，其导函数，当x≥0时，恒有，若，则不等式的解集为（　　）
A．(，1) B．(∞，)∪(1，+∞)
C．(，+∞) D．(∞，)
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数，当时，，
因为，所以，即在上单调递减，
又因为是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
由不等式，则有，
所以，解得，
则不等式的解集为．
故答案为：A.
【分析】函数，求导，由题意易知，即函数在上单调递减，利用函数的奇偶性、单调性，求解不等式即可.
7．某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（　　）
A．720 B．1480 C．1080 D．1440
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，
则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”，
当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，
再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为；
当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为，
再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为，
最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为.
根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为.
故答案为：D.
【分析】先将主治医生分组为“”或“”，再求对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇求解即可.
8．若实数a、b、c、d满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以点在函数的图象上，点在直线即上，
当函数的图象过点的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，也即为的最小值，
，由得，，
到直线的距离为，所以，
所以的最小值为2.
故答案为：A.
【分析】由题可知点在函数的图象上，点在直线上，再结合导数的几何意义及两点间的距离公式求解即可.
9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（　　）
A．是函数的极值点 B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于AC，根据导函数图象可知当时，；
当时，，当且仅当时，，
所以函数在上单调递减；
在上单调递增，故是极值点，故A、C正确；
对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误；
对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】 根据导函数的图象，得到的符号，根据的正负确定的单调性及极值.
10．已知，则下列描述正确的是（　　）
A．
B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为
C．被7整除所得的余数是4
D．
【答案】A,B,C
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，令，得，
令，得，故，A正确；
对于B，所有含的奇数次项的二项式系数和，
与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，都为，故B正确；
对于C，，故只需考虑被7整除得余数，
因为，被7整除的余数为4，故C正确；
对于D，，
两边求导得，
再令，得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用赋值法，令x=1和x=0即可判断A的正确性；根据所有含的奇数次项的二项式系数和与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，可判断B；由，由二项式定理展开可知只需要知道被7整除得余数，可判断C；根据复合函数的求导法则对求导，再赋值令x=1即可判断D.
11．已知函数，其中，则（　　）
A．若函数有且仅有1个零点，则
B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是
C．不存在，使函数存在唯一的极值点
D．若对恒成立，则
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为，
令，，则，
令得或，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，作出的图象，如下：
直线与其仅有一个公共点，则；
对于B，，令，
函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点，
令得，显然0不是函数的零点，
当时，变形为，令，
则，令得，令得或，
故在上单调递减，在上单调递增，
，作出的图象，如下：
直线与其交于两点，则，故，B正确；
对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点，
函数存在唯一的极值点，C错误；
对于D，，即，当时，满足要求，
当时，，变形为，
令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由参变分离得，令，再利用导数分析函数的单调性并作出图象，结合零点、极值和极值点的定义逐项判断即可.
12．如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为　 　.（用数字作答）
【答案】12
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若AD同色，3种颜色（全部用完），有种，
若BC同色，3种颜色（全部用完），有种，
所以共有6+6=12种.
故答案为：12.
【分析】根据题意分AD同色或BC同色两种情况求解．
13．的展开式中的系数为　 　．
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
因此展开式中含的项为，故所求系数为.
故答案为：24.
【分析】根据二项式定理，结合通项公式求特定项的系数即可.
14．已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，因为函数，所以，则，
所以切线方程为：，又切线方程过点，
所以，化简得：，
令，所以
所以当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，极大值为，
的草图如下：
过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则，
所以.
故答案为：
【分析】设切点为，再利用导数的几何意义表示出切线，据此得到yo有三个解，然后求解即可.
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间以及极值；
（2）求函数在上的最值.
【答案】（1）解：因为函数的定义域是，又因为，
令，得；令，得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为，无极小值.
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则函数在上的最小值为，
因为，所以，
则函数在上的最小值为，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先求出函数的定义域，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的极值.
(2)根据(1)中函数的单调性和比较法，从而得出函数在上的最值.
（1）函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值.
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以在上的最小值为.
又因为，所以，
所以函数在上的最小值为，即.
16．记的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
则，
又因为，则，可得，
即，所以.
（2）解：因为的面积为，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
所以的周长为.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互换，结合恒等变形化简得，再得到角即可；
（2）由题可得，再利用余弦定理求得，进而得到的周长即可.
（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
又因为，则，可得，
即，所以.
（2）因为的面积为，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
所以的周长为.
17．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．
（1）若，证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如图所示：
因为且，所以，
因为，所以，所以，所以 ，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则 ，即，令，可得，
由题意可得，解得或（舍），故的值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）如图连接交于点，连接
因为且，
所以，
因为，所以，
所以，所以 ，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，
则，，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则 ，即，令，得，
所以，解得或（舍）
所以的值为.
18．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.
【答案】（1）解：设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，
则且两两互斥，
依题意，，，
且，
由全概率公式得.
（2）解：由贝叶斯公式，得所求概率为.
（3）解：设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，.
【知识点】数列的递推公式；概率的应用；全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）设事件，利用全概率公式计算求解即可.
（2）直接贝叶斯公式计算求解即可.
（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，进而可得，再化简即可求解.
（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，
则且两两互斥，
依题意，，，
且，
由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式，得所求概率为.
（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，.
19．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.
（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
（3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围.
【答案】（1）解：不是，理由如下：
函数不是“旋转函数”，理由如下：逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”.
（2）解：由题意可得函数与函数最多有1个交点，
且，
所以最多有一个根，
即最多有一个根，
因此函数与函数R最多有1个交点，
即函数在上单调，
因为，且，
所以，所以，
即，，即的最大值为.
（3）解：由题意可得函数与函数最多有1个交点，
即，
即函数与函数最多有1个交点，
即函数在上单调，
，当时，
所以，
令，则，
因为在上单调减，且，
所以存在，使，
即，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用“旋转函数”的定义直接判断即可.
（2）先将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离参数，构造新函数，转化为新函数在上单调，即可求解.
（3）同（2）可得函数g(x)与最多一个交点，构造新函数转化成在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可.
（1）函数不是“旋转函数”，理由如下：
逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”.
（2）由题意可得
函数与函数最多有1个交点，
且，
所以最多有一个根，
即最多有一个根，
因此函数与函数R最多有1个交点，
即函数在上单调，
因为，且，
所以，所以，
即，，即的最大值为.
（3）由题意可得函数与函数最多有1个交点，
即，
即函数与函数最多有1个交点，
即函数在上单调，
，当时，
所以，
令，则，
因为在上单调减，且，
所以存在，使，
即，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
1 / 1

展开更多......

收起↑