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广东广州市执信中学2025-2026学年高三第二学期5月阶段测试数学试卷
1．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的共轭复数等于（　　）
A． B． C． D．
2．已知、，集合，，若，则（　　）
A． B． C．或 D．
3．点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数且在上的值域为，则（　　）
A．4 B．2 C． D．
6．已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（　　）
A．148 B． C．168 D．80
7．平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（　　）
A． B．4 C． D．5
8．已知，，则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则下列说法正确的是（　　）
A．几何体的体积为 B．BE，DF是异面直线
C． D．点A到平面BDE的距离为
10．已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（　　）
A．的离心率为
B．若，则的面积为1
C．若，则的取值范围是
D．过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为
11．已知函数，则（　　）
A．当时，是的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．不存在整数，使得的最大值为2
D．当时，在上恰有个零点
12．已知函数为偶函数，则的值为　 　.
13．已知等比数列 ，且 ， 则 的值为　 　.
14．从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为　 　．
15．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：
　 男性 女性
需要 40 20
不需要 160 280
（1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值；
（2）完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16．已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中.
（1）求公差及的值；
（2）设数列，数列的前项和为，求.
17．如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在同一球面上，设该球面的球心为．
（i）求球的表面积；
（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为E，且 ，点在C上.
（1）求C的方程.
（2）已知A，B是椭圆 上的点，是C 上一点，若线段 PA，PB 的中点都在上，记
（i）当点 P 运动时，证明：的面积是定值；
（ii）求的取值范围.
19．已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2），成立，求实数a的取值范围；
（3）若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知得， ，故z的共轭复数为 .
故答案为：D.
【分析】 把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，，且，所以，即.
若，则，此时，，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】由交集可得，且或，再检验求解即可.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线的定义可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题可知，再根据三角形面积求解.
4．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
得，
则.
即在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】建立平面直角坐标系，根据投影向量为，再由向量数量积的坐标运算求解.
5．【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：易知函数在上具有相同的单调性，
函数在上单调，要满足题意，则在上单调递增，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】易知函数在上具有相同的单调性，由题意可得在上单调递增，由求解a的值即可.
6．【答案】A
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为正四棱台的侧面都是等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为，设其高为，
则，故
所以侧面梯形的斜高为，
则梯形的面积，
上，下底底面面积分别为，，
所以该四棱台的表面积为．
故答案为：A.
【分析】由棱台得体积公式得到高，再求出斜高，进而得出表面积即可．
7．【答案】B
【知识点】圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：与轴交点：令，得，设交点为；
与轴交点：令，得，判别式，
有两个不同实根，设交点，共三个不同交点，
设过三点的圆方程为 ，
将代入得：，
将代入，
得，
又，
对应相减得：，
因为，故系数必为0，得，，
代入，解得，
令代入圆方程得：，
设两根为，由韦达定理：，，
弦长为：，
因此弦长为.
故答案为：B.
【分析】令，得到交点，设交点，再设圆的一般方程，然后求出圆的方程进行求解即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，则，可得，
由，则，解得.
对于选项A：由题意可得：，则，
令，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故A正确；
对于选项B：因为，则等价于，
由题意可得：，则，
令，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故B正确；
对于选项C：因为，则等价于，即，
令，，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故C错误；
对于选项D：令，，则，即，
可得，，则等价于，
令，则，
令，则，
可知在内单调递增，则，即，
可知在内单调递增，则，
即，所以，故D正确.
故答案为：C.
【分析】对式子化简得，进而得到，则，令，再利用导数得到即可判断A；对于B，对不等式化简得，令，再利用导数即可判断；对于C，不等式转化为，令，，再利用导数即可判断；对于D，令，，不等式等价于等价于，，再利用导数判断即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、几何体的体积，故A正确；
B、因，平面，平面，则平面，
又平面ABCD，则，又平面，平面，
则平面，因，平面，
则平面平面，又平面，平面，，不平行，从而，是异面直线，故B正确；
C、易知，所以，故C错误；
D、，
又由A分析可得，则点A到平面BDE的距离为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据求解几何体的体积即可判断A；利用线面平行的判定定理，以及面面平行的判定证明平面平面，可得，是异面直线，即可判断选B；由题设可得，即可判断C；求的面积，由A分析可得，结合等体积法求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，双曲线中，，
则，A错误；
对于B，设，
，则，
是双曲线上一点，则，
联立得，解得，
则的面积为，B正确；
对于C，，
故，又，则，
故，即，C正确；
对于D，过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，
则，根据双曲线的对称性可知关于x轴对称，则的斜率不存在，D错误.
故答案为：BC.
【分析】直接求出双曲线离心率即可判断A；设，由可得，再联立曲线，结合三角形面积公式求解即可判断B；由向量的数量积可得，再解不等式即可判断C；对于D，易知，则的斜率不存在.
11．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
对任意的，，
所以是 的一个周期，故A正确，
对于B，若的图象关于直线对称，则，
取，可得，
而，，
，矛盾，所以的图象不关于直线对称，故B错误，
对于C，若的最大值为2，需，
，
令，左边为奇数，右边为偶数，无整数解，
故不存在整数，使得的最大值为2，故C正确，
对于D，当时，，
令，则，
根据奇数幂的性质可知，即，
所以或
当时，，
结合可得，或，
当时，，
结合，
可得，
综上，发现只有个值符合题意，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于A，直接判断是否相等即可；对于B，判断是否成立即可；对于C，若的最大值为2，则且，再求解判断即可；对于D，根据题意可得，再确定零点即可.
12．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为为偶函数，故.
化简得，故
∴.
故答案为：.
【分析】由偶函数可得，再代入求解即可.
13．【答案】4
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
则由可得①，
由可得，即②，
联立①②，，即，
故.
故答案为：4.
【分析】根据等比数列基本量的运算，列方程可得，再利用等比数列的性质求值即可.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：记，，按由小到大排序为，，，按由小到大排序为，
要使一个盒子能以相邻三面对应平行方式放入另一个盒子只需，，或，， ，
因为它与取到哪6个数无关，不失一般性，不妨以取到的6个数为1，2，3，4，5，6为例，
所以平均分成两组的分法有：种，
以下枚举与符合条件的情形：与，与，与，与，与共5种，则．
故答案为：.
【分析】记，，按由小到大排序为，，，按由小到大排序为，利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
15．【答案】（1）解：抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人，
频率为，所以的估计值是.
（2）解：列联表如下：
男性 女性 合计
需要 40 20 60
不需要 160 280 440
合计 200 300 500
，所以根据小概率值的独立性检验，
认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，
因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由频率估计概率即可；
（2）利用公式计算出的值，再根据小概率值判断，结合题意选择抽样方法.
（1）抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人，
频率为，所以的估计值是.
（2）列联表如下：
男性 女性 合计
需要 40 20 60
不需要 160 280 440
合计 200 300 500
，所以根据小概率值的独立性检验，
认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，
因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样.
16．【答案】（1）解：，
，
.
，
.
（2）解：由（1）得，，.
又的周期，
∴当时，；当时，；
当时，；当时，，其中.
∴在一个周期内，
，
.
∵数列的前20项为5个完整的周期，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的运算，结合二倍角公式，然后解方程即可；
（2）易知数列为周期数列，再求和即可.
（1），
，
.
，
.
（2）由（1）得，，
.
又的周期，
∴当时，；当时，；
当时，；当时，，其中.
∴在一个周期内，
，
.
∵数列的前20项为5个完整的周期，.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，所以平面平面，
因为平面MQN，所以平面PBC；
（2）解：取的中点，连接，则，，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
（i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设，
由得，，解得，
所以球O的半径的平方，故球O的表面积为.
（ii），，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量，
所以．
故平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理，结合面面平行判定定理以及线面平行性质定理证明即可；
（2）（i）取的中点，连接，则，，利用面面垂直的性质可得，以为原点，建立空间直角坐标系，确定各点坐标；再设球心O，利用球心到距离相等列方程，求出球心坐标与半径，最后利用球的表面积公式计算即可；
（ii）根据（i）的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两平面法向量夹角的余弦值，即为平面夹角的余弦值．
（1）取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，所以平面平面，
因为平面MQN，所以平面PBC；
（2）取的中点，连接，则，，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系．
则，，
（i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设，
由得，
解得，
所以球O的半径的平方，故球O的表面积为.
（ii），，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量，
所以．
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：由题意得，，
因为，所以，整理得，
联立，整理得，即，
所以，代入得，解得，则，
所以椭圆的方程为：；
（2）证明：（i）设在上，
则的中点为在上，
代入得，整理得，
代入得，整理得，
因为在上，则，在上，则，
联立，整理得，
联立，整理得，
因此在直线上，
联立，得，则，
，
直线的斜率为，
则，
点到的距离，
则，
因为即，代入得，
即的面积是定值；
（ii）设，则，
，
故，
由（i）知，
，则
，
结合， 整理得，
其中，故，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，利用焦点距离关系，以及点在椭圆上列式求得基本量，即可得椭圆的方程；
（2）（i）设，利用中点坐标公式推出共线方程，联立直线与椭圆，利用弦长公式和点到直线距离，结合的椭圆方程化简得面积为定值即可；
（ii）设，利用用三角形面积公式，向量的数量积公式将表示为关于点积的函数，利用韦达定理求点积范围，从而得的取值范围.
（1）由题意得，，
因为，所以，整理得，
联立，整理得，即，
所以，代入得，解得，则，
所以椭圆的方程为：
（2）（i）设在上，
则的中点为在上，
代入得，整理得，
代入得，整理得，
因为在上，则，在上，则，
联立，整理得，
联立，整理得，
因此在直线上，
联立，得，则，
，
直线的斜率为，
则，
点到的距离，
则，
因为即，代入得，
即的面积是定值.
（ii）设，则，
，
故，
由（i）知，
，则
，
结合， 整理得，
其中，故，
则.
19．【答案】（1）解：当时，可得，可得，
令，可得，
当时，，可得，
即，单调递减；
当时，，所以，单调递增，
则，即，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：令，
可得，令，
则，
当时，，，，故，
当时，，，故，
所以当时，可得，单调递增，即单调递增，，
当时，，则，在上单调递增，
所以，所以成立，满足题意；
当时，存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
（3）解：当时，，可得，
设，可得，
设，可得，
设，可得，
当时，，可得，
则在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
又由
，
因为，，可得，，
可得，，所以，
则存在唯一，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
当时，，，则在上单调递增，
则，则存在唯一，使得，
当时，，当时，，
当时，，可得，
在上单调递增，，，
综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得与的图像有三个交点，
则，
，则，
又因为，则，则，
所以，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求单调区间即可；
（2）令，求得，令，求得，再分和，两种情况讨论，即可求解；
（3）分，和，再利用导数结合零点存在定理求得的取值范围，即可得证.
（1）解：当时，可得，可得，
令，可得，
当时，，可得，
即，单调递减；
当时，，所以，单调递增，
则，即，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：令，
可得，令，
则，
当时，，，，故，
当时，，，故，
所以当时，可得，单调递增，即单调递增，，
当时，，则，在上单调递增，
所以，所以成立，满足题意；
当时，存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
（3）解：当时，，可得，
设，可得，
设，可得，
设，可得，
当时，，可得，
则在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
又由
，
因为，，可得，，
可得，，所以，
则存在唯一，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
当时，，，则在上单调递增，
则，则存在唯一，使得，
当时，，当时，，
当时，，可得，
在上单调递增，，，
综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得与的图像有三个交点，
则，
，则，
又因为，则，则，
所以，得证.
1 / 1广东广州市执信中学2025-2026学年高三第二学期5月阶段测试数学试卷
1．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的共轭复数等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知得， ，故z的共轭复数为 .
故答案为：D.
【分析】 把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
2．已知、，集合，，若，则（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，，且，所以，即.
若，则，此时，，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】由交集可得，且或，再检验求解即可.
3．点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线的定义可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题可知，再根据三角形面积求解.
4．向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
得，
则.
即在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】建立平面直角坐标系，根据投影向量为，再由向量数量积的坐标运算求解.
5．已知函数且在上的值域为，则（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：易知函数在上具有相同的单调性，
函数在上单调，要满足题意，则在上单调递增，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】易知函数在上具有相同的单调性，由题意可得在上单调递增，由求解a的值即可.
6．已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（　　）
A．148 B． C．168 D．80
【答案】A
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为正四棱台的侧面都是等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为，设其高为，
则，故
所以侧面梯形的斜高为，
则梯形的面积，
上，下底底面面积分别为，，
所以该四棱台的表面积为．
故答案为：A.
【分析】由棱台得体积公式得到高，再求出斜高，进而得出表面积即可．
7．平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【知识点】圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：与轴交点：令，得，设交点为；
与轴交点：令，得，判别式，
有两个不同实根，设交点，共三个不同交点，
设过三点的圆方程为 ，
将代入得：，
将代入，
得，
又，
对应相减得：，
因为，故系数必为0，得，，
代入，解得，
令代入圆方程得：，
设两根为，由韦达定理：，，
弦长为：，
因此弦长为.
故答案为：B.
【分析】令，得到交点，设交点，再设圆的一般方程，然后求出圆的方程进行求解即可.
8．已知，，则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，则，可得，
由，则，解得.
对于选项A：由题意可得：，则，
令，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故A正确；
对于选项B：因为，则等价于，
由题意可得：，则，
令，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故B正确；
对于选项C：因为，则等价于，即，
令，，则，
可知在内单调递减，则，
所以，即，故C错误；
对于选项D：令，，则，即，
可得，，则等价于，
令，则，
令，则，
可知在内单调递增，则，即，
可知在内单调递增，则，
即，所以，故D正确.
故答案为：C.
【分析】对式子化简得，进而得到，则，令，再利用导数得到即可判断A；对于B，对不等式化简得，令，再利用导数即可判断；对于C，不等式转化为，令，，再利用导数即可判断；对于D，令，，不等式等价于等价于，，再利用导数判断即可.
9．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则下列说法正确的是（　　）
A．几何体的体积为 B．BE，DF是异面直线
C． D．点A到平面BDE的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、几何体的体积，故A正确；
B、因，平面，平面，则平面，
又平面ABCD，则，又平面，平面，
则平面，因，平面，
则平面平面，又平面，平面，，不平行，从而，是异面直线，故B正确；
C、易知，所以，故C错误；
D、，
又由A分析可得，则点A到平面BDE的距离为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据求解几何体的体积即可判断A；利用线面平行的判定定理，以及面面平行的判定证明平面平面，可得，是异面直线，即可判断选B；由题设可得，即可判断C；求的面积，由A分析可得，结合等体积法求解即可判断D.
10．已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（　　）
A．的离心率为
B．若，则的面积为1
C．若，则的取值范围是
D．过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为
【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，双曲线中，，
则，A错误；
对于B，设，
，则，
是双曲线上一点，则，
联立得，解得，
则的面积为，B正确；
对于C，，
故，又，则，
故，即，C正确；
对于D，过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，
则，根据双曲线的对称性可知关于x轴对称，则的斜率不存在，D错误.
故答案为：BC.
【分析】直接求出双曲线离心率即可判断A；设，由可得，再联立曲线，结合三角形面积公式求解即可判断B；由向量的数量积可得，再解不等式即可判断C；对于D，易知，则的斜率不存在.
11．已知函数，则（　　）
A．当时，是的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．不存在整数，使得的最大值为2
D．当时，在上恰有个零点
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
对任意的，，
所以是 的一个周期，故A正确，
对于B，若的图象关于直线对称，则，
取，可得，
而，，
，矛盾，所以的图象不关于直线对称，故B错误，
对于C，若的最大值为2，需，
，
令，左边为奇数，右边为偶数，无整数解，
故不存在整数，使得的最大值为2，故C正确，
对于D，当时，，
令，则，
根据奇数幂的性质可知，即，
所以或
当时，，
结合可得，或，
当时，，
结合，
可得，
综上，发现只有个值符合题意，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于A，直接判断是否相等即可；对于B，判断是否成立即可；对于C，若的最大值为2，则且，再求解判断即可；对于D，根据题意可得，再确定零点即可.
12．已知函数为偶函数，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为为偶函数，故.
化简得，故
∴.
故答案为：.
【分析】由偶函数可得，再代入求解即可.
13．已知等比数列 ，且 ， 则 的值为　 　.
【答案】4
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
则由可得①，
由可得，即②，
联立①②，，即，
故.
故答案为：4.
【分析】根据等比数列基本量的运算，列方程可得，再利用等比数列的性质求值即可.
14．从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：记，，按由小到大排序为，，，按由小到大排序为，
要使一个盒子能以相邻三面对应平行方式放入另一个盒子只需，，或，， ，
因为它与取到哪6个数无关，不失一般性，不妨以取到的6个数为1，2，3，4，5，6为例，
所以平均分成两组的分法有：种，
以下枚举与符合条件的情形：与，与，与，与，与共5种，则．
故答案为：.
【分析】记，，按由小到大排序为，，，按由小到大排序为，利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
15．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：
　 男性 女性
需要 40 20
不需要 160 280
（1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值；
（2）完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）解：抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人，
频率为，所以的估计值是.
（2）解：列联表如下：
男性 女性 合计
需要 40 20 60
不需要 160 280 440
合计 200 300 500
，所以根据小概率值的独立性检验，
认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，
因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由频率估计概率即可；
（2）利用公式计算出的值，再根据小概率值判断，结合题意选择抽样方法.
（1）抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人，
频率为，所以的估计值是.
（2）列联表如下：
男性 女性 合计
需要 40 20 60
不需要 160 280 440
合计 200 300 500
，所以根据小概率值的独立性检验，
认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，
因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样.
16．已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中.
（1）求公差及的值；
（2）设数列，数列的前项和为，求.
【答案】（1）解：，
，
.
，
.
（2）解：由（1）得，，.
又的周期，
∴当时，；当时，；
当时，；当时，，其中.
∴在一个周期内，
，
.
∵数列的前20项为5个完整的周期，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的运算，结合二倍角公式，然后解方程即可；
（2）易知数列为周期数列，再求和即可.
（1），
，
.
，
.
（2）由（1）得，，
.
又的周期，
∴当时，；当时，；
当时，；当时，，其中.
∴在一个周期内，
，
.
∵数列的前20项为5个完整的周期，.
17．如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在同一球面上，设该球面的球心为．
（i）求球的表面积；
（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，所以平面平面，
因为平面MQN，所以平面PBC；
（2）解：取的中点，连接，则，，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
（i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设，
由得，，解得，
所以球O的半径的平方，故球O的表面积为.
（ii），，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量，
所以．
故平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理，结合面面平行判定定理以及线面平行性质定理证明即可；
（2）（i）取的中点，连接，则，，利用面面垂直的性质可得，以为原点，建立空间直角坐标系，确定各点坐标；再设球心O，利用球心到距离相等列方程，求出球心坐标与半径，最后利用球的表面积公式计算即可；
（ii）根据（i）的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两平面法向量夹角的余弦值，即为平面夹角的余弦值．
（1）取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，所以平面平面，
因为平面MQN，所以平面PBC；
（2）取的中点，连接，则，，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系．
则，，
（i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设，
由得，
解得，
所以球O的半径的平方，故球O的表面积为.
（ii），，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量，
所以．
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为E，且 ，点在C上.
（1）求C的方程.
（2）已知A，B是椭圆 上的点，是C 上一点，若线段 PA，PB 的中点都在上，记
（i）当点 P 运动时，证明：的面积是定值；
（ii）求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得，，
因为，所以，整理得，
联立，整理得，即，
所以，代入得，解得，则，
所以椭圆的方程为：；
（2）证明：（i）设在上，
则的中点为在上，
代入得，整理得，
代入得，整理得，
因为在上，则，在上，则，
联立，整理得，
联立，整理得，
因此在直线上，
联立，得，则，
，
直线的斜率为，
则，
点到的距离，
则，
因为即，代入得，
即的面积是定值；
（ii）设，则，
，
故，
由（i）知，
，则
，
结合， 整理得，
其中，故，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，利用焦点距离关系，以及点在椭圆上列式求得基本量，即可得椭圆的方程；
（2）（i）设，利用中点坐标公式推出共线方程，联立直线与椭圆，利用弦长公式和点到直线距离，结合的椭圆方程化简得面积为定值即可；
（ii）设，利用用三角形面积公式，向量的数量积公式将表示为关于点积的函数，利用韦达定理求点积范围，从而得的取值范围.
（1）由题意得，，
因为，所以，整理得，
联立，整理得，即，
所以，代入得，解得，则，
所以椭圆的方程为：
（2）（i）设在上，
则的中点为在上，
代入得，整理得，
代入得，整理得，
因为在上，则，在上，则，
联立，整理得，
联立，整理得，
因此在直线上，
联立，得，则，
，
直线的斜率为，
则，
点到的距离，
则，
因为即，代入得，
即的面积是定值.
（ii）设，则，
，
故，
由（i）知，
，则
，
结合， 整理得，
其中，故，
则.
19．已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2），成立，求实数a的取值范围；
（3）若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：.
【答案】（1）解：当时，可得，可得，
令，可得，
当时，，可得，
即，单调递减；
当时，，所以，单调递增，
则，即，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：令，
可得，令，
则，
当时，，，，故，
当时，，，故，
所以当时，可得，单调递增，即单调递增，，
当时，，则，在上单调递增，
所以，所以成立，满足题意；
当时，存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
（3）解：当时，，可得，
设，可得，
设，可得，
设，可得，
当时，，可得，
则在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
又由
，
因为，，可得，，
可得，，所以，
则存在唯一，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
当时，，，则在上单调递增，
则，则存在唯一，使得，
当时，，当时，，
当时，，可得，
在上单调递增，，，
综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得与的图像有三个交点，
则，
，则，
又因为，则，则，
所以，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求单调区间即可；
（2）令，求得，令，求得，再分和，两种情况讨论，即可求解；
（3）分，和，再利用导数结合零点存在定理求得的取值范围，即可得证.
（1）解：当时，可得，可得，
令，可得，
当时，，可得，
即，单调递减；
当时，，所以，单调递增，
则，即，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：令，
可得，令，
则，
当时，，，，故，
当时，，，故，
所以当时，可得，单调递增，即单调递增，，
当时，，则，在上单调递增，
所以，所以成立，满足题意；
当时，存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
（3）解：当时，，可得，
设，可得，
设，可得，
设，可得，
当时，，可得，
则在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
又由
，
因为，，可得，，
可得，，所以，
则存在唯一，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
当时，，，则在上单调递增，
则，则存在唯一，使得，
当时，，当时，，
当时，，可得，
在上单调递增，，，
综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得与的图像有三个交点，
则，
，则，
又因为，则，则，
所以，得证.
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