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浙江温州十校联合体2025-2026学年高二第二学期期中联考数学学科练习
1．已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．在一个文艺比赛中，12位观众评委给同一名选手的打分依次为：36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，75，这组数据的第80百分位数为（　　）
A．66 B．67 C．68 D．69
3．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知直线是曲线的一条切线，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．用数字0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被5整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（　　）个
A．72 B．96 C．108 D．120
8．在菱形中，，点为线段上一点，且，点为线段上的一个动点（包括端点），若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知复数，则以下说法正确的是（　　）
A．复数的虚部为 B．的模为
C．的共轭复数 D．是方程的一个根
10．下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量，且，则
B．若样本数据的方差为2，则数据的方差为5
C．一组样本数据，，，，，其经验回归方程为，则
D．利用进行独立性检验时，的值越大，判断两个分类变量不独立的把握越大
11．已知函数满足，，，，当时，，则（　　）
A． B．是偶函数
C．在上单调递增 D．存在，使得恒成立
12．在的展开式中，含项的系数是　 　．
13．已知函数在上的值域为，则的取值范围是　 　．
14．已知四面体满足，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点，内切球球心为点，过直线的平面截四面体所得的截面的周长为，则的最小值为　 　．
15．已知中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的值．
（2）若，求的最大值．
16．如图，在正三棱台中，，，点为的重心．
（1）求证：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知函数是偶函数，
（1）求的值．
（2）令，，
（ⅰ）求的值域．
（ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
18．甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为．
（1）求甲、乙两条生产线的产量之比．
（2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望．
（3）从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值．
19．已知函数，，
（1）当时，求函数的单调区间．
（2）求证：．
（3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为集合，，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和交集的运算法则、补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，得，
则第80百分位数是第10个数字，
可得这组数据的第80百分位数为68.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和百分位数求解方法，从而得出这组数据的第80百分位数.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，
又因为真包含于，小范围推出大范围，
所以，推不出，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】先解分式不等式得出x的取值范围，再根据集合间的关系和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】D
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据自变量的取值范围，再代入相应的解析式，从而得出的值.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，令，
则，解得或（负值舍去），
则，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出曲线的切线方程，再根据已知条件，从而得出实数a的值.
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】将已知式结合两角和差的正弦公式，从而得到的正弦值，再根据二倍角的余弦公式，从二得出的值.
7．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：能被5整除的数，个位只能是0或5，分两类讨论：
情况1：个位为0，个位固定为0，剩余十万位到十位五个位置，
由全排列，得总排列数为，
因为无重复数字，万位数字和千位数字大小关系只有（万<千）（万>千）两种，且数目相等，
则满足条件的个数为： ；
情况2：个位为5，个位固定为5，十万位不能为0，先选十万位，有4种选择（从中选），
剩余四个位置由剩下的4个数字全排列，
则总排列数为 ，
同理可得，满足（万位<千位）的个数为： ，
则两类相加得出这样的六位数共有的个数为：.
故答案为：C.
【分析】分个位为0或5两类，再利用排列数公式和分步乘法计数原理、分类加法计数原理，从而得出这样的六位数共有的个数.
8．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：如图，作出符合题意的图形，
记菱形的中点为，以为原点，建立平面直角坐标系，
因为，设，由题意，得，，，，
可得，，
又因为点为线段上一点，所以，
则，设，可得，
则，解得，即，
则，
因为，所以，
解得，此时，，，
又因为点为线段上的一个动点（包括端点），
设，则，
由题意，得，
则，所以，
设，，，
设，
对照系数，可得，
解得，则，所以，可得，
因为
，
由基本不等式，得，当且仅当时，即当时取等号，
则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件建系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示以及平面向量基本定理、向量的坐标运算得到， 由基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：因为复数，
所以，复数的虚部为，故A错误；
因为，故B正确，
因为复数的共轭复数，故C正确；
因为，
所以，复数是方程的一个根，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合复数的运算法则、复数虚部的定义、复数求模公式、共轭复数的定义、复数相等的判断方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；独立性检验的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为随机变量，且，
所以，
则，
所以，故A正确；
对于B，设样本数据的平均数为，
则数据的平均数为，
由题意，可得，
所以数据的方差为：
，故B错误；
对于C，由题意，可得，
又因为回归方程为，
所以，解得，故C正确；
对于D，在独立性检验中，统计量越大，观测值与期望值的差异越显著，犯错的概率越小，
则两个分类变量不独立的把握越大，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性求概率的方法，则判断出选项A；利用已知条件和方差的性质，则判断出选项B；利用已知条件和最小二乘法求回归直线方程的方法，则判断出选项C；利用独立性检验的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的值
【解析】【解答】解： 法1：赋值法
对于A：令可得， A正确；
对于B：令，得，且，为非奇非偶函数， B错误；
对于C：，，且，则，．
，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，所以在上单调递增，C正确；
对于D：令，得．
当时，，，故，即， D错误．
法2：原型函数法
，，
令，则，即．
令，则．
满足条件的函数的原型函数为，则．
由得，所以，
对于A：，A正确；
对于B：，不是偶函数，B错误；
对于C：且在上单调递增，且在上单调递增，
所以在上单调递增，C正确；
对于D：当时，，不存在，使得恒成立，D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用两种方法求解，即赋值法和原型函数法.利用已知条件和函数求值的方法、函数奇偶性定义、函数单调性的定义以及不等式恒成立问题求解方法，从而逐项判断找出正确的选项.
12．【答案】40
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项为：，
令，解得，
所以，含项的系数为.
故答案为：40.
【分析】先利用二项式定理得出的展开式的通项，再令的幂指数等于2，从而求出对应的值，再将值代入展开式的通项的系数部分，从而得出含项的系数.
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，
则当时，，
又因为函数在上的值域为，
因为，
结合正弦曲线可知，
解得.
故答案为：.
【分析】利用x的取值范围以及正弦型函数求值域的方法可得出的取值范围.
14．【答案】
【知识点】球内接多面体；空间向量基本定理；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可得为等腰直角三角形，
又因为为等边三角形，
所以点是的中点，
取的中点，点在线段上，
设截面与交于点，则截面与相交于点，
设，，
则
，
，，
又，，，
可证，，
，，则截面关于直线对称，
翻折可得，
所以的最小值为．（若截面与相交，则截面与相交，情况与上面一样）
故答案为：.
【分析】由题意可得点是的中点，点在线段上(点是的中点)，作出截面，再利用平面向量基本定理和两三角形全等的性质，从而得出截面关于直线对称，翻折可得的值，从而得出的最小值．
15．【答案】（1）解：法一：由余弦定理，
可得，
，，
，.
法二：由正弦定理，
可得，
，
，
，，，
，.
（2）解：法一：，
，
，
，则，当且仅当时取等号，
的最大值为2.
法二：由，
得，．
，
当时，取到最大值2．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
法一：利用已知条件和余弦定理将角化为边，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角的值．
法二：利用已知条件和正弦定理将边化为角，再利用两角和的正弦公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）法一：利用余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值．
法二：利用正弦定理将边化为角，再利用三角恒等变换公式和正弦型函数求最值的方法，从而得出的最大值．
（1）法一：借助余弦定理可得，
，，，；
法二：借助正弦定理可得，
，，
，，，，；
（2）法一：，，
，
，即，当且仅当时取等．
的最大值为2.
法二：由，得，．
，
当时，取到最大值2．
16．【答案】（1）证明：如图，延长交于点，取的中点，连接和，
∵点为的重心，为正三角形，
∴点为的中点，，
又点为的中点，侧面是等腰梯形，
，
，平面，
平面，
平面，
.
（2）解：法1：如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质，可得，，
由勾股定理，得，
由，
得，
则，
由勾股定理，得．
，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，
令，则，，
，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
法2：如图，过点作交于点，连接，
平面平面，
∴平面平面.
又平面平面，平面，，
平面，
是直线与平面所成角，
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质，可得，，
由勾股定理，得，
由，
则，
可得，所以，
则，
，
在中，，
则直线与平面所成角的正弦值为．
法3：如图，补形为正三棱锥，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
，
，
由，，
知，
，
由勾股定理，得，
则，
，
则直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）延长交于点，取的中点，连接和，证明平面即可.
（2）利用三种方法求解.
方法一：先建系，则得出点的坐标，再利用正三角形的性质和勾股定理，从而得出向量的坐标，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
方法二：过点作交于点，连接，利用线面垂直证出面面垂直，再利用面面垂直的性质定理得出线面垂直，从而得出是直线与平面所成角，解三角形可得.
方法三：补形为正三棱锥，再利用等体积法和三棱锥的体积公式以及已知条件，从而得出，再利用勾股定理得出PO的长， 而得出d的值，再利用正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）如图，延长交于点，取的中点，连接和，
∵点为的重心，为正三角形，
∴点为的中点，，
又点为的中点，侧面是等腰梯形，
，
，平面，平面，
平面，.
（2）法1：
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系．
则，，．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质可得，，由勾股定理得，
由，
即可得，由勾股定理得．
，，
，，.
设平面的法向量为．
由得，令，则，．
．
，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
法2：
如图，过点作交于点，连接．
平面平面，
∴平面平面.
又平面平面，平面，，
平面，
是直线与平面所成角．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质可得，，由勾股定理得，
由，
即可得，
所以，所以．
．
在中，，即直线与平面所成角的正弦值为．
法3：
如图，补形为正三棱锥．
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为．
，，
由，，知，，
由勾股定理得，即，
，即直线与平面所成角的正弦值为．
17．【答案】（1）解：是偶函数，，
则，
，
，
，
．
（2）解：（ⅰ）由（1）可得．
，
令，则，
，，
在上单调递增，
，
的值域为．
（ⅱ）令，则，
所以，
则不等式可化为，
所以对任意恒成立，
令，
因为的对称轴为，只需．
当时，恒成立，
当时，在单调递增，
则，
解得；
当时，在单调递减，
则，
解得，
综上所述，的取值范围是．
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用已知条件和偶函数的定义，从而得出a的值.
(2) （ⅰ）由（1）得出函数，令，则，再结合对勾函数的单调性求值域的方法，从而得出函数的值域．
（ⅱ）令，将问题转化为对任意恒成立，
令，利用的对称轴为，从而转化为，再结合分类讨论的方法和函数的单调性求最值的方法，根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）是偶函数，
即
，，
，．
（2）（ⅰ）由（1）可得．
，
令，则．
，．
在上单调递增，
的值域为．
（ⅱ）令，则，．
不等式，可化为，即对任意恒成立．
令，的对称轴为，只需．
当时，恒成立．
当时，在单调递增，，解得．
当时，在单调递减，，解得．
综上所述，的取值范围是．
18．【答案】（1）解：设甲生产线生产的这批电子产品有件，
乙生产线生产的这批电子产品有件，
因为事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，
事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，
事件“混合在一起的某一零件是合格品”，
则，，
由，
得，
所以甲、乙两条生产线的产量之比为．
（2）解：由（1）可知，甲生产线产品占总量的，
所以，
则，
，
，
，
所以的分布列：
0 1 2 3
则．
（3）解：从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为，
则，
由，解得．
则当或100时，取得最大值．
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】(1)利用已知条件和古典概率公式、全概率公式，从而得出甲、乙两条生产线的产量之比．
(2) 由（1）可知甲生产线产品占总量的，利用二项分布定义，从而可得，再利用二项分布求出随机变量X的分布列，从而得出随机变量X的数学期望.
(3)由题意可得，再利用得出n的取值范围，从而得出取得最大值时的值．
（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件，
事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，
事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，
事件“混合在一起的某一零件是合格品”，
则，．
由，
得．
所以甲、乙两条生产线的产量之比为．
（2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以．
，，
，，
所以的分布列：
0 1 2 3
．
（3）从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为，
则，
由，解得．
所以当或100时，取得最大值．
19．【答案】（1）解：当时，，则，
令，得；令，得，
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）证明：因为函数的定义域为，
求导得，
，，
，使得，
则，所以，
又在上单调递增，
∴当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
在上单调递减，
，
则．
（3）解：因为，
，且，
都有，
则，
在上单调递减，在上单调递增，
在上恒成立，则在上恒成立，
因为，
令，在上单调递增，，
则，
在上恒成立，
则在上恒成立，
由，得，
令，则，因为，
所以在上单调递减，
则，所以，
由，得，
令，则，
因为，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
则，所以，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间．
（2）先对求导，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而确定函数的最小值点，再将最小值与所给常数比较，从而证出不等式.
（3）将转化为函数在上单调递减和在上单调递增，从而得到，再代入的表达式，令，则把问题转化为参数在区间上的不等式恒成立问题，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，从而得出的取值范围.
（1）当时，，．
令得，令得．
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）略
（3），
，且都有，即．
在上单调递减，在上单调递增．
在上恒成立，在上恒成立．
，
令，在上单调递增，，．
在上恒成立，在上恒成立，
由得，令，则．
，在上单调递减，，
所以．
由得，令，则．
，当时，单调递增；当时，单调递减．
，所以．
综上所述，实数的取值范围为．
1 / 1浙江温州十校联合体2025-2026学年高二第二学期期中联考数学学科练习
1．已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为集合，，，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和交集的运算法则、补集的运算法则，从而得出集合.
2．在一个文艺比赛中，12位观众评委给同一名选手的打分依次为：36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，75，这组数据的第80百分位数为（　　）
A．66 B．67 C．68 D．69
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，得，
则第80百分位数是第10个数字，
可得这组数据的第80百分位数为68.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和百分位数求解方法，从而得出这组数据的第80百分位数.
3．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，
又因为真包含于，小范围推出大范围，
所以，推不出，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】先解分式不等式得出x的取值范围，再根据集合间的关系和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】根据自变量的取值范围，再代入相应的解析式，从而得出的值.
5．已知直线是曲线的一条切线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，令，
则，解得或（负值舍去），
则，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出曲线的切线方程，再根据已知条件，从而得出实数a的值.
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】将已知式结合两角和差的正弦公式，从而得到的正弦值，再根据二倍角的余弦公式，从二得出的值.
7．用数字0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被5整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（　　）个
A．72 B．96 C．108 D．120
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：能被5整除的数，个位只能是0或5，分两类讨论：
情况1：个位为0，个位固定为0，剩余十万位到十位五个位置，
由全排列，得总排列数为，
因为无重复数字，万位数字和千位数字大小关系只有（万<千）（万>千）两种，且数目相等，
则满足条件的个数为： ；
情况2：个位为5，个位固定为5，十万位不能为0，先选十万位，有4种选择（从中选），
剩余四个位置由剩下的4个数字全排列，
则总排列数为 ，
同理可得，满足（万位<千位）的个数为： ，
则两类相加得出这样的六位数共有的个数为：.
故答案为：C.
【分析】分个位为0或5两类，再利用排列数公式和分步乘法计数原理、分类加法计数原理，从而得出这样的六位数共有的个数.
8．在菱形中，，点为线段上一点，且，点为线段上的一个动点（包括端点），若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：如图，作出符合题意的图形，
记菱形的中点为，以为原点，建立平面直角坐标系，
因为，设，由题意，得，，，，
可得，，
又因为点为线段上一点，所以，
则，设，可得，
则，解得，即，
则，
因为，所以，
解得，此时，，，
又因为点为线段上的一个动点（包括端点），
设，则，
由题意，得，
则，所以，
设，，，
设，
对照系数，可得，
解得，则，所以，可得，
因为
，
由基本不等式，得，当且仅当时，即当时取等号，
则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件建系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示以及平面向量基本定理、向量的坐标运算得到， 由基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
9．已知复数，则以下说法正确的是（　　）
A．复数的虚部为 B．的模为
C．的共轭复数 D．是方程的一个根
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：因为复数，
所以，复数的虚部为，故A错误；
因为，故B正确，
因为复数的共轭复数，故C正确；
因为，
所以，复数是方程的一个根，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合复数的运算法则、复数虚部的定义、复数求模公式、共轭复数的定义、复数相等的判断方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量，且，则
B．若样本数据的方差为2，则数据的方差为5
C．一组样本数据，，，，，其经验回归方程为，则
D．利用进行独立性检验时，的值越大，判断两个分类变量不独立的把握越大
【答案】A,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；独立性检验的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为随机变量，且，
所以，
则，
所以，故A正确；
对于B，设样本数据的平均数为，
则数据的平均数为，
由题意，可得，
所以数据的方差为：
，故B错误；
对于C，由题意，可得，
又因为回归方程为，
所以，解得，故C正确；
对于D，在独立性检验中，统计量越大，观测值与期望值的差异越显著，犯错的概率越小，
则两个分类变量不独立的把握越大，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性求概率的方法，则判断出选项A；利用已知条件和方差的性质，则判断出选项B；利用已知条件和最小二乘法求回归直线方程的方法，则判断出选项C；利用独立性检验的方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．已知函数满足，，，，当时，，则（　　）
A． B．是偶函数
C．在上单调递增 D．存在，使得恒成立
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的值
【解析】【解答】解： 法1：赋值法
对于A：令可得， A正确；
对于B：令，得，且，为非奇非偶函数， B错误；
对于C：，，且，则，．
，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，所以在上单调递增，C正确；
对于D：令，得．
当时，，，故，即， D错误．
法2：原型函数法
，，
令，则，即．
令，则．
满足条件的函数的原型函数为，则．
由得，所以，
对于A：，A正确；
对于B：，不是偶函数，B错误；
对于C：且在上单调递增，且在上单调递增，
所以在上单调递增，C正确；
对于D：当时，，不存在，使得恒成立，D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用两种方法求解，即赋值法和原型函数法.利用已知条件和函数求值的方法、函数奇偶性定义、函数单调性的定义以及不等式恒成立问题求解方法，从而逐项判断找出正确的选项.
12．在的展开式中，含项的系数是　 　．
【答案】40
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项为：，
令，解得，
所以，含项的系数为.
故答案为：40.
【分析】先利用二项式定理得出的展开式的通项，再令的幂指数等于2，从而求出对应的值，再将值代入展开式的通项的系数部分，从而得出含项的系数.
13．已知函数在上的值域为，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，
则当时，，
又因为函数在上的值域为，
因为，
结合正弦曲线可知，
解得.
故答案为：.
【分析】利用x的取值范围以及正弦型函数求值域的方法可得出的取值范围.
14．已知四面体满足，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点，内切球球心为点，过直线的平面截四面体所得的截面的周长为，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】球内接多面体；空间向量基本定理；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可得为等腰直角三角形，
又因为为等边三角形，
所以点是的中点，
取的中点，点在线段上，
设截面与交于点，则截面与相交于点，
设，，
则
，
，，
又，，，
可证，，
，，则截面关于直线对称，
翻折可得，
所以的最小值为．（若截面与相交，则截面与相交，情况与上面一样）
故答案为：.
【分析】由题意可得点是的中点，点在线段上(点是的中点)，作出截面，再利用平面向量基本定理和两三角形全等的性质，从而得出截面关于直线对称，翻折可得的值，从而得出的最小值．
15．已知中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的值．
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）解：法一：由余弦定理，
可得，
，，
，.
法二：由正弦定理，
可得，
，
，
，，，
，.
（2）解：法一：，
，
，
，则，当且仅当时取等号，
的最大值为2.
法二：由，
得，．
，
当时，取到最大值2．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
法一：利用已知条件和余弦定理将角化为边，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角的值．
法二：利用已知条件和正弦定理将边化为角，再利用两角和的正弦公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）法一：利用余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值．
法二：利用正弦定理将边化为角，再利用三角恒等变换公式和正弦型函数求最值的方法，从而得出的最大值．
（1）法一：借助余弦定理可得，
，，，；
法二：借助正弦定理可得，
，，
，，，，；
（2）法一：，，
，
，即，当且仅当时取等．
的最大值为2.
法二：由，得，．
，
当时，取到最大值2．
16．如图，在正三棱台中，，，点为的重心．
（1）求证：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，延长交于点，取的中点，连接和，
∵点为的重心，为正三角形，
∴点为的中点，，
又点为的中点，侧面是等腰梯形，
，
，平面，
平面，
平面，
.
（2）解：法1：如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质，可得，，
由勾股定理，得，
由，
得，
则，
由勾股定理，得．
，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，
令，则，，
，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
法2：如图，过点作交于点，连接，
平面平面，
∴平面平面.
又平面平面，平面，，
平面，
是直线与平面所成角，
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质，可得，，
由勾股定理，得，
由，
则，
可得，所以，
则，
，
在中，，
则直线与平面所成角的正弦值为．
法3：如图，补形为正三棱锥，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
，
，
由，，
知，
，
由勾股定理，得，
则，
，
则直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）延长交于点，取的中点，连接和，证明平面即可.
（2）利用三种方法求解.
方法一：先建系，则得出点的坐标，再利用正三角形的性质和勾股定理，从而得出向量的坐标，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
方法二：过点作交于点，连接，利用线面垂直证出面面垂直，再利用面面垂直的性质定理得出线面垂直，从而得出是直线与平面所成角，解三角形可得.
方法三：补形为正三棱锥，再利用等体积法和三棱锥的体积公式以及已知条件，从而得出，再利用勾股定理得出PO的长， 而得出d的值，再利用正弦函数的定义得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）如图，延长交于点，取的中点，连接和，
∵点为的重心，为正三角形，
∴点为的中点，，
又点为的中点，侧面是等腰梯形，
，
，平面，平面，
平面，.
（2）法1：
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系．
则，，．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质可得，，由勾股定理得，
由，
即可得，由勾股定理得．
，，
，，.
设平面的法向量为．
由得，令，则，．
．
，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
法2：
如图，过点作交于点，连接．
平面平面，
∴平面平面.
又平面平面，平面，，
平面，
是直线与平面所成角．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质可得，，由勾股定理得，
由，
即可得，
所以，所以．
．
在中，，即直线与平面所成角的正弦值为．
法3：
如图，补形为正三棱锥．
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为．
，，
由，，知，，
由勾股定理得，即，
，即直线与平面所成角的正弦值为．
17．已知函数是偶函数，
（1）求的值．
（2）令，，
（ⅰ）求的值域．
（ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：是偶函数，，
则，
，
，
，
．
（2）解：（ⅰ）由（1）可得．
，
令，则，
，，
在上单调递增，
，
的值域为．
（ⅱ）令，则，
所以，
则不等式可化为，
所以对任意恒成立，
令，
因为的对称轴为，只需．
当时，恒成立，
当时，在单调递增，
则，
解得；
当时，在单调递减，
则，
解得，
综上所述，的取值范围是．
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用已知条件和偶函数的定义，从而得出a的值.
(2) （ⅰ）由（1）得出函数，令，则，再结合对勾函数的单调性求值域的方法，从而得出函数的值域．
（ⅱ）令，将问题转化为对任意恒成立，
令，利用的对称轴为，从而转化为，再结合分类讨论的方法和函数的单调性求最值的方法，根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）是偶函数，
即
，，
，．
（2）（ⅰ）由（1）可得．
，
令，则．
，．
在上单调递增，
的值域为．
（ⅱ）令，则，．
不等式，可化为，即对任意恒成立．
令，的对称轴为，只需．
当时，恒成立．
当时，在单调递增，，解得．
当时，在单调递减，，解得．
综上所述，的取值范围是．
18．甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为．
（1）求甲、乙两条生产线的产量之比．
（2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望．
（3）从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值．
【答案】（1）解：设甲生产线生产的这批电子产品有件，
乙生产线生产的这批电子产品有件，
因为事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，
事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，
事件“混合在一起的某一零件是合格品”，
则，，
由，
得，
所以甲、乙两条生产线的产量之比为．
（2）解：由（1）可知，甲生产线产品占总量的，
所以，
则，
，
，
，
所以的分布列：
0 1 2 3
则．
（3）解：从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为，
则，
由，解得．
则当或100时，取得最大值．
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】(1)利用已知条件和古典概率公式、全概率公式，从而得出甲、乙两条生产线的产量之比．
(2) 由（1）可知甲生产线产品占总量的，利用二项分布定义，从而可得，再利用二项分布求出随机变量X的分布列，从而得出随机变量X的数学期望.
(3)由题意可得，再利用得出n的取值范围，从而得出取得最大值时的值．
（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件，
事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，
事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，
事件“混合在一起的某一零件是合格品”，
则，．
由，
得．
所以甲、乙两条生产线的产量之比为．
（2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以．
，，
，，
所以的分布列：
0 1 2 3
．
（3）从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为，
则，
由，解得．
所以当或100时，取得最大值．
19．已知函数，，
（1）当时，求函数的单调区间．
（2）求证：．
（3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则，
令，得；令，得，
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）证明：因为函数的定义域为，
求导得，
，，
，使得，
则，所以，
又在上单调递增，
∴当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
在上单调递减，
，
则．
（3）解：因为，
，且，
都有，
则，
在上单调递减，在上单调递增，
在上恒成立，则在上恒成立，
因为，
令，在上单调递增，，
则，
在上恒成立，
则在上恒成立，
由，得，
令，则，因为，
所以在上单调递减，
则，所以，
由，得，
令，则，
因为，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
则，所以，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间．
（2）先对求导，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而确定函数的最小值点，再将最小值与所给常数比较，从而证出不等式.
（3）将转化为函数在上单调递减和在上单调递增，从而得到，再代入的表达式，令，则把问题转化为参数在区间上的不等式恒成立问题，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，从而得出的取值范围.
（1）当时，，．
令得，令得．
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）略
（3），
，且都有，即．
在上单调递减，在上单调递增．
在上恒成立，在上恒成立．
，
令，在上单调递增，，．
在上恒成立，在上恒成立，
由得，令，则．
，在上单调递减，，
所以．
由得，令，则．
，当时，单调递增；当时，单调递减．
，所以．
综上所述，实数的取值范围为．
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