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广东梅州市兴宁市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题
1．已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（　　）
A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11
2．已知，则（　　）
A．7 B．21 C．35 D．42
3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（　　）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
5．的展开式中的系数是（　　）
A． B． C．120 D．210
6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（　　）
①图中共有675个不同的矩形
②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种
③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条
A．0 B．1 C．2 D．3
9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．各项系数之和为
B．二项式系数之和为
C．展开式中二项式系数最大的项是第项
D．展开式中第项为常数项
10．现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（　　）
A．五位学生去实习的不同安排方案有125种
B．若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种
C．若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种
D．若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种
11．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．既没有最大值也没有最小值
C．若方程有4个不等的实数根，则
D．设有3个不同的零点，则
12．设，则　 　．
13．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为　 　.
14．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为　 　.
15．已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中的有理项.
16．已知函数，且.
（1）求a的值；
（2）求的单调区间和极值.
17．已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前项和.
18．现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人；
（2）名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
（3）名老师之间必要有男女学生各人．
19．设函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：函数，则．
故答案为：B.
【分析】直接根据平均变化率的定义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】组合数公式
【解析】【解答】解：由，得或，
解得或，所以.
故答案为：B.
【分析】根据组合数的性质建立方程，从而解得的值，再利用组合数公式，从而得出的值.
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导得，
则，得，即，，
，切点为，，
故所求切线方程为，即.
故答案为：A.
【分析】求导，令求得，从而得到，以及切点，斜率，再利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可.
4．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告，
则有5种方法；插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告，
共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告，则有6种方法，
由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种.
故答案为：C.
【分析】原来有4个广告，形成5个空位，将其中一个公益广告插入，再形成5个空位插入左后一个公益广告，利用分步乘法计数原理求解即可.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为二项式展开式的通项公式为：
（且），
令，解得，
则展开式中的系数是.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和二项式定理得出展开式的通项公式，令x的指数次为4可得答案.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故答案为：A.
【分析】先对函数求导，将“函数有两个不同的极值点”转化为“导函数有两个不同的正零点”，再结合二次方程根的分布条件求解参数范围。
7．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B，
则，，
所以．
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和条件概率公式，从而得出在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率.
8．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：①、根据题意，的方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线，
在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条，
就可以组成一个矩形，则可以组成个矩形，故①错误；
②、当其中一组对角区域同色时，有种，
当其中一组对角区域异色时，有种，
由分类加法计数原理得四个区域涂色方法共有种，故②正确；
③、蚂蚁沿小正方形的边从点A出发到达C的最短路径，需要走4条小正方形的边，
向上走2条边，向右走2条边，所以有条，
然后从点C出发到达E的最短路径，需要走9条小正方形的边，
向上走3条边，向右走6条边，所以有条，
由分步乘法计数原理，则共有条，故③错误.
故答案为：B.
【分析】在 的方格纸上，有6条水平线，9条竖直线，在6条水平线中任选2条，在9条竖直线中任选2条，就可以组成一个矩形，利用分步计数原理求解即可判断①；分一组对角区域同色和一组对角区域异色讨论，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理相加即可判断②；先求出蚂蚁由到的最短路径方法，再求出由到的最短路径方法，按分步乘法计数原理得到蚁可以选择的最短路径条数即可判断③.
9．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：令，得，
所以，展开式中各项系数之和为，故A正确；
对于B：因为二项式系数和，故B错误；
对于C：因为，所以第项二项式系数为最大，故C正确；
对于D：因为二项式通项为，
令，
则第项为常数项，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用赋值法得出各项系数之和，则判断出选项A；由二项式系数的性质判断出选项B；由二项式的通项公式和二项式系数的性质以及常数项的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A错误；
对于B，因为每间工厂都有学生，需要先把5人分成3个非空组，有两种分组情况：
人数按分：种；
人数按分：种，
则总方案：种，故B正确；
对于C，因为工厂必须有学生，
所以，用总方案减去工厂没有学生的方案种数为：种，故C正确；
对于D，由选项B知，每间工厂都有学生，总方案150种，减去甲乙同厂的情况，
将甲乙绑定为1个整体，相当于4个元素分到3个工厂，每个工厂非空，
则方案数为种，
因此，甲、乙不同厂的方案数：种，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，则判断出选项A；对学生进行分组，再将分好的组进行排列，再利用分类加法计数原理，则判断出选项B；利用已知条件和间接法，则判断出选项C；用间接法计算，从而计算出每间工厂都有人的总方案数，再减去每间工厂都有人且甲、乙同厂的方案数，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
当或时，；
当时，，
所以在，上都单调递减，在上单调递增，故A不正确；
画出函数图象，如图所示，
则在上既没有最大值也没有最小值，故B正确；
当时，的图象在x轴上方，且当时，有极大值，
则在上的图象在x轴下方，
显然是偶函数且，
在方程中，当或时，方程有两个不等实根，
当时，方程无实根；
当时，方程有4个不等的实根，故C正确；
令，则，
因为有3个不同的零点等价于方程有3个不同的根，
设，
则与的图象需有3个不同的交点，如图，
当时，即当时，与的图象有3个不同的交点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则判断出选项A和选项B；利用偶函数的图象的对称性和函数的极值，从而画出函数图象， 利用数形结合求解函数的零点问题 可判断选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，得，
则.
故答案为：81.
【分析】利用已知条件结合赋值法，从而得出的值.
13．【答案】64%
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件 为 “利率下调”，事件 为 “利率不变”， 记事件 为 “股 票价格上涨".
依题设知 ，
于是 。
答案：64%。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出该支股票将上涨的概率。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以，
则函数在R上为增函数，
又因为，
因为在R上为增函数，所以，解得.
故答案为：.
【分析】先构造函数，根据题意得到函数在R上为增函数，再将转化为，从而求解得解.
15．【答案】（1）解：由题意，得，
则，
解得.
（2）解：因为，
令，
则常数项为：.
（3）解：因为有理项指数为整数且且，
得，2，4，6，
当时：，
当时： ，
当时：，
当时：.
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用已知条件和组合数公式，从而列出关于的方程，进而求解得出n的值.
（2）利用二项式定理求出展开式的通项公式，令的指数为0求出参数，再代回展开式的通项公式，从而得出展开式中的常数项.
（3）利用有理项的定义，令的指数为整数，结合r的取值范围和元素与集合的关系，从而算出所有符合条件的的值，再根据二项式定理得出展开式的通项公式，从而得出展开式中的有理项.
（1）由题意得，则有，解得.
（2），
令，故常数项：；
（3）有理项指数为整数且且，得，2，4，6
当时：，
当时： ，
当时：，
当时：
16．【答案】（1）解：对求导，可得：
，
代入，得：，
因为，所以，
解得.

（2）解： 将代入，
得，恒成立，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，函数的单调递增区间：和，单调递减区间：，
则函数的极大值在处：，
函数的极小值在处：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则和复合函数的求导法则，再利用代入法和已知条件，从而得出实数a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的极值.
（1）对求导可得：
代入，得：，
由题，即，解得.
（2）将代入，得，恒成立，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
单调递增区间：和，单调递减区间：，
极大值在处：
极小值在处：.
17．【答案】（1）解：依题意，设等差数列的公差为，，
因为，
所以，
又因为，，成等比数列，所以，
则，
联立，
解得或（舍去），
所以.
（2）解：由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得，，
所以，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式和等比中项的性质得出等差数列的首项的值和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减的方法得出数列的前项和.
（1）依题意，设等差数列的公差为，，
因为，所以，
因为，，成等比数列，所以，即，
联立，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
两式相减得，，
所以，
所以.
18．【答案】（1）解：由题意可得共种不同的站法 ；
（2）解：先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，最后排剩余的名男学生有种站法，
则共有种不同的站法；
（3）解：先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，两老师的站法有种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，
则共有种不同的站法．
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）按照特殊位置优先安排，结合排列数公式求解即可；
（2） 不相邻 ，用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可；
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法，结合排列公式求解即可.
（1）由题意可得共种不同的站法．
（2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，
最后排剩余的名男学生有种站法，
所以共有种不同的站法．
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，
两老师的站法有种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，
所以共有种不同的站法．
19．【答案】（1）解：由，函数的定义域为，
则，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，
因此的值为.
（2）解：因为，
令，则，
①当时，因为，所以，
则，所以在上单调递增，
则，所以，
则在上单调递增，
所以，与“时恒成立”矛盾，
则不成立，所以；
②当时，则，
所以，当时，则，
所以在上单调递增，
则，所以，
因此在上单调递增，
则，与“时恒成立”矛盾，
所以不成立；
③当时，，
因为，所以，因此，
所以在上单调递减，
则，所以，
因此在上单调递减，
则，满足“时恒成立”的条件，
综上所述，当时，恒成立，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出曲线在点处的切线方程，根据已知条件得出实数a的值.
（2）线构造函数，分，，三种情况讨论，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的值域，从而得出实数a的取值范围.
（1）由，函数的定义域为，，
因为曲线在点处的切线方程为，所以，
因此的值为.
（2）因为，令，则，
①当时，因为，所以，，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，与“时恒成立”矛盾，故不成立，所以.
②当时，则，所以时，，
所以在上单调递增，则，即，
因此在上单调递增，则，与“时恒成立”矛盾，故不成立.
③当时，，而，所以，因此，
所以在上单调递减，故，即，
因此在上单调递减，则，满足“时恒成立”的条件
综上所述，当时恒成立，实数的取值范围为
1 / 1广东梅州市兴宁市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题
1．已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（　　）
A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11
【答案】B
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：函数，则．
故答案为：B.
【分析】直接根据平均变化率的定义求解即可.
2．已知，则（　　）
A．7 B．21 C．35 D．42
【答案】B
【知识点】组合数公式
【解析】【解答】解：由，得或，
解得或，所以.
故答案为：B.
【分析】根据组合数的性质建立方程，从而解得的值，再利用组合数公式，从而得出的值.
3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导得，
则，得，即，，
，切点为，，
故所求切线方程为，即.
故答案为：A.
【分析】求导，令求得，从而得到，以及切点，斜率，再利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可.
4．某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（　　）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告，
则有5种方法；插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告，
共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告，则有6种方法，
由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种.
故答案为：C.
【分析】原来有4个广告，形成5个空位，将其中一个公益广告插入，再形成5个空位插入左后一个公益广告，利用分步乘法计数原理求解即可.
5．的展开式中的系数是（　　）
A． B． C．120 D．210
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为二项式展开式的通项公式为：
（且），
令，解得，
则展开式中的系数是.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和二项式定理得出展开式的通项公式，令x的指数次为4可得答案.
6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故答案为：A.
【分析】先对函数求导，将“函数有两个不同的极值点”转化为“导函数有两个不同的正零点”，再结合二次方程根的分布条件求解参数范围。
7．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B，
则，，
所以．
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和条件概率公式，从而得出在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率.
8．在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（　　）
①图中共有675个不同的矩形
②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种
③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：①、根据题意，的方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线，
在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条，
就可以组成一个矩形，则可以组成个矩形，故①错误；
②、当其中一组对角区域同色时，有种，
当其中一组对角区域异色时，有种，
由分类加法计数原理得四个区域涂色方法共有种，故②正确；
③、蚂蚁沿小正方形的边从点A出发到达C的最短路径，需要走4条小正方形的边，
向上走2条边，向右走2条边，所以有条，
然后从点C出发到达E的最短路径，需要走9条小正方形的边，
向上走3条边，向右走6条边，所以有条，
由分步乘法计数原理，则共有条，故③错误.
故答案为：B.
【分析】在 的方格纸上，有6条水平线，9条竖直线，在6条水平线中任选2条，在9条竖直线中任选2条，就可以组成一个矩形，利用分步计数原理求解即可判断①；分一组对角区域同色和一组对角区域异色讨论，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理相加即可判断②；先求出蚂蚁由到的最短路径方法，再求出由到的最短路径方法，按分步乘法计数原理得到蚁可以选择的最短路径条数即可判断③.
9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．各项系数之和为
B．二项式系数之和为
C．展开式中二项式系数最大的项是第项
D．展开式中第项为常数项
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：令，得，
所以，展开式中各项系数之和为，故A正确；
对于B：因为二项式系数和，故B错误；
对于C：因为，所以第项二项式系数为最大，故C正确；
对于D：因为二项式通项为，
令，
则第项为常数项，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用赋值法得出各项系数之和，则判断出选项A；由二项式系数的性质判断出选项B；由二项式的通项公式和二项式系数的性质以及常数项的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（　　）
A．五位学生去实习的不同安排方案有125种
B．若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种
C．若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种
D．若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种
【答案】B,C,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A错误；
对于B，因为每间工厂都有学生，需要先把5人分成3个非空组，有两种分组情况：
人数按分：种；
人数按分：种，
则总方案：种，故B正确；
对于C，因为工厂必须有学生，
所以，用总方案减去工厂没有学生的方案种数为：种，故C正确；
对于D，由选项B知，每间工厂都有学生，总方案150种，减去甲乙同厂的情况，
将甲乙绑定为1个整体，相当于4个元素分到3个工厂，每个工厂非空，
则方案数为种，
因此，甲、乙不同厂的方案数：种，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，则判断出选项A；对学生进行分组，再将分好的组进行排列，再利用分类加法计数原理，则判断出选项B；利用已知条件和间接法，则判断出选项C；用间接法计算，从而计算出每间工厂都有人的总方案数，再减去每间工厂都有人且甲、乙同厂的方案数，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．既没有最大值也没有最小值
C．若方程有4个不等的实数根，则
D．设有3个不同的零点，则
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
当或时，；
当时，，
所以在，上都单调递减，在上单调递增，故A不正确；
画出函数图象，如图所示，
则在上既没有最大值也没有最小值，故B正确；
当时，的图象在x轴上方，且当时，有极大值，
则在上的图象在x轴下方，
显然是偶函数且，
在方程中，当或时，方程有两个不等实根，
当时，方程无实根；
当时，方程有4个不等的实根，故C正确；
令，则，
因为有3个不同的零点等价于方程有3个不同的根，
设，
则与的图象需有3个不同的交点，如图，
当时，即当时，与的图象有3个不同的交点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则判断出选项A和选项B；利用偶函数的图象的对称性和函数的极值，从而画出函数图象， 利用数形结合求解函数的零点问题 可判断选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．设，则　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，得，
则.
故答案为：81.
【分析】利用已知条件结合赋值法，从而得出的值.
13．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为　 　.
【答案】64%
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件 为 “利率下调”，事件 为 “利率不变”， 记事件 为 “股 票价格上涨".
依题设知 ，
于是 。
答案：64%。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出该支股票将上涨的概率。
14．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以，
则函数在R上为增函数，
又因为，
因为在R上为增函数，所以，解得.
故答案为：.
【分析】先构造函数，根据题意得到函数在R上为增函数，再将转化为，从而求解得解.
15．已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中的有理项.
【答案】（1）解：由题意，得，
则，
解得.
（2）解：因为，
令，
则常数项为：.
（3）解：因为有理项指数为整数且且，
得，2，4，6，
当时：，
当时： ，
当时：，
当时：.
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用已知条件和组合数公式，从而列出关于的方程，进而求解得出n的值.
（2）利用二项式定理求出展开式的通项公式，令的指数为0求出参数，再代回展开式的通项公式，从而得出展开式中的常数项.
（3）利用有理项的定义，令的指数为整数，结合r的取值范围和元素与集合的关系，从而算出所有符合条件的的值，再根据二项式定理得出展开式的通项公式，从而得出展开式中的有理项.
（1）由题意得，则有，解得.
（2），
令，故常数项：；
（3）有理项指数为整数且且，得，2，4，6
当时：，
当时： ，
当时：，
当时：
16．已知函数，且.
（1）求a的值；
（2）求的单调区间和极值.
【答案】（1）解：对求导，可得：
，
代入，得：，
因为，所以，
解得.

（2）解： 将代入，
得，恒成立，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，函数的单调递增区间：和，单调递减区间：，
则函数的极大值在处：，
函数的极小值在处：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则和复合函数的求导法则，再利用代入法和已知条件，从而得出实数a的值.
（2）利用（1）中a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的极值.
（1）对求导可得：
代入，得：，
由题，即，解得.
（2）将代入，得，恒成立，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
单调递增区间：和，单调递减区间：，
极大值在处：
极小值在处：.
17．已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前项和.
【答案】（1）解：依题意，设等差数列的公差为，，
因为，
所以，
又因为，，成等比数列，所以，
则，
联立，
解得或（舍去），
所以.
（2）解：由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得，，
所以，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式和等比中项的性质得出等差数列的首项的值和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减的方法得出数列的前项和.
（1）依题意，设等差数列的公差为，，
因为，所以，
因为，，成等比数列，所以，即，
联立，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
两式相减得，，
所以，
所以.
18．现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人；
（2）名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
（3）名老师之间必要有男女学生各人．
【答案】（1）解：由题意可得共种不同的站法 ；
（2）解：先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，最后排剩余的名男学生有种站法，
则共有种不同的站法；
（3）解：先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，两老师的站法有种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，
则共有种不同的站法．
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）按照特殊位置优先安排，结合排列数公式求解即可；
（2） 不相邻 ，用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可；
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法，结合排列公式求解即可.
（1）由题意可得共种不同的站法．
（2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，
最后排剩余的名男学生有种站法，
所以共有种不同的站法．
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，
两老师的站法有种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，
所以共有种不同的站法．
19．设函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，函数的定义域为，
则，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，
因此的值为.
（2）解：因为，
令，则，
①当时，因为，所以，
则，所以在上单调递增，
则，所以，
则在上单调递增，
所以，与“时恒成立”矛盾，
则不成立，所以；
②当时，则，
所以，当时，则，
所以在上单调递增，
则，所以，
因此在上单调递增，
则，与“时恒成立”矛盾，
所以不成立；
③当时，，
因为，所以，因此，
所以在上单调递减，
则，所以，
因此在上单调递减，
则，满足“时恒成立”的条件，
综上所述，当时，恒成立，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出曲线在点处的切线方程，根据已知条件得出实数a的值.
（2）线构造函数，分，，三种情况讨论，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的值域，从而得出实数a的取值范围.
（1）由，函数的定义域为，，
因为曲线在点处的切线方程为，所以，
因此的值为.
（2）因为，令，则，
①当时，因为，所以，，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，与“时恒成立”矛盾，故不成立，所以.
②当时，则，所以时，，
所以在上单调递增，则，即，
因此在上单调递增，则，与“时恒成立”矛盾，故不成立.
③当时，，而，所以，因此，
所以在上单调递减，故，即，
因此在上单调递减，则，满足“时恒成立”的条件
综上所述，当时恒成立，实数的取值范围为
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