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广东肇庆市端州中学2025-2026学年高二第二学期数学期中检测试题
1．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（　　）米/秒
A．10 B．8 C．6 D．4
2．下列求导正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在曲线上的点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（　　）
A．81 B．64 C．12 D．36
5．函数的单调递减区间是（　　）
A． B． C． D．
6．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（　　）种
A． B． C．30 D．20
7．在等比数列中，是函数的极值点，则（　　）
A．2 B． C． D．1
8．已知随机事件满足，则（　　）
A． B． C． D．
9．题图为的图像，下列判断中正确的是（　　）．
A．函数在区间上是严格减函数
B．函数在区间上是严格减函数
C．函数在区间上是严格增函数
D．函数在区间上是严格增函数
10．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是函数定义域内的极大值点
B．在上的最小值为
C．是函数定义域内的极小值点
D．在定义域内既无最大值又无最小值
11．已知，则（　　）
A．
B．
C．
D．除以8所得的余数是7
12．在的展开式中，的系数为　 　.
13．已知函数，则　 　．
14．已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为　 　.
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间以及极值；
（2）求函数在上的最小值.
16．要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：
（1）如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？
（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？
17．已知函数.
（1）若1是的一个极大值点，求a的值；
（2）若的两个极值点均为正数，求a的取值范围.
18．某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递．
（1）求客户满意的概率；
（2）若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】瞬时变化率；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒.
故答案为：B.
【分析】本题考查导数的物理意义，核心是利用 “位移函数的导数为速度函数” 的性质，先求位移函数的导数，再代入时间t=1计算瞬时速度。
2．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，，两者不相等，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：因为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的运算法则和复合函数求导法则，从而逐项判断找出求导正确的选项.
3．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，，
则过点的切线方程为：，即.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为每人限报其中的一个运动队，
所以，不同的报名方法种数是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，从而得出不同的报名方法种数.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意，可得，
令，
则当时，，函数为减函数，
所以，函数的单调递减区间是.
故答案为：C.
【分析】先求定义域，求导后再令，解不等式可得 .
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有，则甲乙两人都入选的不同选法有（种）.
故答案为：C.
【分析】先从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，据此求解即可.
7．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根与系数的关系；等比中项
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得是方程的两根，则，，
又数列是等比数列，设公比为，则，，
故，，故.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得是方程的两根，由韦达定理可得，，再利用等比中项求即可.
8．【答案】A
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，所以，
又，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据条件概率以及全概率公式求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：对于A：在区间上，
则函数在区间是严格减函数，故A正确；
对于B：在区间上有正有负，故B错误；
对于C：在区间上，
则函数在区间是严格增函数，故C正确；
对于D：在区间上有正有负，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用导数的正负和函数单调性的关系和导函数的图象，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，求导可得，
当或时，，当时，，
则函数在和上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，故A错误；
B、根据函数的单调性可得在上的最小值为，故B正确；
C、由A选项可知：是的极小值点，故C正确；
D、对任意的，有，，
则没有最大值，也没有最小值，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求极值点和极值、最值即可判断ABC；证明对任意的，有，，从而得到既没有最大值也没有最小值即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】导数的加法与减法法则；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：因为二项式的通项公式为，
所以，故选项A不正确；
对于B：在中，
令，得，
令，得，
两式相加，得：
，故选项B正确；
对于C：对等式
两边同时求导，得，
令，得，故选项C正确；
对于D：因为
，
所以除以8所得的余数是7，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和二项式定理得出展开式的通项，从而得出的值，则判断出选项A；利用赋值法和求和法，则判断出选项B；利用求导的方法和赋值法，则判断出选项C；利用二项式定理求出除以8所得的余数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】15
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为，
令，解得，
则的系数为.
故答案为：15.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，令的幂指数等于7，从而求出的值，进而得出的系数.
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数，
求导得，
当时，，
所以.
故答案为：.
【分析】利用导数运算法则对已知等式两边求导，再赋值得出的值.
14．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件为“选取苹果”，事件B为“选取香蕉”，事件C为 “选取猕猴桃”，
事件D为“选取的一个水果新鲜”，
则，
根据全概率公式，
可知
.
故答案为：.
【分析】根据已知条件设出各个事件，再根据条件概率公式和全概率公式，从而得出从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率.
15．【答案】（1）解：函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值；
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)、求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间和极值即可；
(2)、由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，可得函数的最小值是，比较和的大小，求函数的最小值即可.
（1）函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值.
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为.
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
16．【答案】（1）解：要完成分配任务，可以分为三步：
第一步，分给甲3本书，有种方法；
第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，有种方法；
第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，有种方法，
因此，共有不同的分法数为.
（2）解：要完成分配任务，可分为两步：
第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有种方法；
第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法．
因此，共有不同的分法数为：
．
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）利用已知条件和分步乘法计数原理，从而得出共有不同的分法种数.
（2）利用已知条件和分步乘法计数原理，从而得出共有不同的分法种数.
（1）解：要完成分配任务，可以分为三步：
第一步，分给甲3本书，有种方法；
第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有种方法；
第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有种方法．
因此共有不同的分法数为；
（2）要完成分配任务，可以分为两步：
第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有种方法；
第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法．
因此共有不同的分法数为．
17．【答案】（1）解：因为，
依题意，有，
解得，
所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，
则.
（2）解：由题意，可得关于x的方程有两个不相等的正实数根，
设为，，
则
解得，
所以a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极大值点，再利用已知条件得出实数a的值.
（2）先根据导数求极值点的方法和已知条件，则根据韦达定理和判别式法，从而得出实数a的取值范围.
（1），依题意有，解得，
所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，
故.
（2）由题意可得关于x的方程有两个不相等的正实数根，设为，，
则
解得，所以a的取值范围是.
18．【答案】（1）解：从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：.
所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：.
（2）解：设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件，则客户满意且是甲运送的概率为：，
客户满意且是乙运送的概率为：，
客户满意且是丙运送的概率为：.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件和互斥事件加法求概率公式，从而得出客户满意的概率.
（2）利用已知条件和条件概率公式，从而得出本次满意是甲、乙、丙的概率.
（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：.
所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：.
（2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件，
则客户满意且是甲运送的概率为：，
客户满意且是乙运送的概率为：，
客户满意且是丙运送的概率为：.
19．【答案】（1）解：因为的定义域为，且，
当时，在上恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：由，，
得，
令，
则，
令，则，
令，得，则，解得.
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减，
因此 在 处取得极小值，同时也是最小值，即
则 对 恒成立，所以，
同理可得，
令，
则
所以即在上单调递增，
则，
当时，即当时，，则在上单调递增，
所以，此时符合题意；
当时，即当时，，
设，则，
令，则，
所以即在上单调递增，
则，
所以在上单调递增，
则0，所以，
因为
，
由零点存在定理和在上单调递增，
可知存在唯一的，使得，
则当时，，所以在上单调递减，
则，此时不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先得出函数定义域，再利用分类讨论的方法和导数的正负判断函数单调性的方法，从而讨论出函数的单调性.
（2）由，，得，
令，令，利用导数的正负判断函数的单调性，由端点导数值分和讨论，结合不等式放缩与零点存在定理验证，最终确定的取值范围.
（1）的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得；令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由，，得．
令，则，
令，则.
令，得，即，解得.
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减.
因此 在 处取得极小值，同时也是最小值：.
故 对 恒成立，即，同理也可得.
令，
则，
所以，即在上单调递增，从而．
当，即时，，则在上单调递增，从而，
此时符合题意；
当，即时，．
设，则.
令，则，则即在上单调递增.
所以，从而在上单调递增.
所以0，故．
又，
由零点存在定理及在上单调递增可知存在唯一的，使得，所以当时，，则在上单调递减，从而，此时不符合题意．
综上，的取值范围为．
1 / 1广东肇庆市端州中学2025-2026学年高二第二学期数学期中检测试题
1．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（　　）米/秒
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】瞬时变化率；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒.
故答案为：B.
【分析】本题考查导数的物理意义，核心是利用 “位移函数的导数为速度函数” 的性质，先求位移函数的导数，再代入时间t=1计算瞬时速度。
2．下列求导正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，，两者不相等，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：因为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的运算法则和复合函数求导法则，从而逐项判断找出求导正确的选项.
3．在曲线上的点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数定义域为，，，
则过点的切线方程为：，即.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求解即可.
4．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（　　）
A．81 B．64 C．12 D．36
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为每人限报其中的一个运动队，
所以，不同的报名方法种数是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，从而得出不同的报名方法种数.
5．函数的单调递减区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意，可得，
令，
则当时，，函数为减函数，
所以，函数的单调递减区间是.
故答案为：C.
【分析】先求定义域，求导后再令，解不等式可得 .
6．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（　　）种
A． B． C．30 D．20
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有，则甲乙两人都入选的不同选法有（种）.
故答案为：C.
【分析】先从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，据此求解即可.
7．在等比数列中，是函数的极值点，则（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根与系数的关系；等比中项
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得是方程的两根，则，，
又数列是等比数列，设公比为，则，，
故，，故.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得是方程的两根，由韦达定理可得，，再利用等比中项求即可.
8．已知随机事件满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，所以，
又，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据条件概率以及全概率公式求解即可.
9．题图为的图像，下列判断中正确的是（　　）．
A．函数在区间上是严格减函数
B．函数在区间上是严格减函数
C．函数在区间上是严格增函数
D．函数在区间上是严格增函数
【答案】A,C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：对于A：在区间上，
则函数在区间是严格减函数，故A正确；
对于B：在区间上有正有负，故B错误；
对于C：在区间上，
则函数在区间是严格增函数，故C正确；
对于D：在区间上有正有负，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用导数的正负和函数单调性的关系和导函数的图象，从而逐项判断找出正确的选项.
10．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是函数定义域内的极大值点
B．在上的最小值为
C．是函数定义域内的极小值点
D．在定义域内既无最大值又无最小值
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，求导可得，
当或时，，当时，，
则函数在和上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，故A错误；
B、根据函数的单调性可得在上的最小值为，故B正确；
C、由A选项可知：是的极小值点，故C正确；
D、对任意的，有，，
则没有最大值，也没有最小值，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求极值点和极值、最值即可判断ABC；证明对任意的，有，，从而得到既没有最大值也没有最小值即可判断D.
11．已知，则（　　）
A．
B．
C．
D．除以8所得的余数是7
【答案】B,C,D
【知识点】导数的加法与减法法则；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：因为二项式的通项公式为，
所以，故选项A不正确；
对于B：在中，
令，得，
令，得，
两式相加，得：
，故选项B正确；
对于C：对等式
两边同时求导，得，
令，得，故选项C正确；
对于D：因为
，
所以除以8所得的余数是7，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和二项式定理得出展开式的通项，从而得出的值，则判断出选项A；利用赋值法和求和法，则判断出选项B；利用求导的方法和赋值法，则判断出选项C；利用二项式定理求出除以8所得的余数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．在的展开式中，的系数为　 　.
【答案】15
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为，
令，解得，
则的系数为.
故答案为：15.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，令的幂指数等于7，从而求出的值，进而得出的系数.
13．已知函数，则　 　．
【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数，
求导得，
当时，，
所以.
故答案为：.
【分析】利用导数运算法则对已知等式两边求导，再赋值得出的值.
14．已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为　 　.
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件为“选取苹果”，事件B为“选取香蕉”，事件C为 “选取猕猴桃”，
事件D为“选取的一个水果新鲜”，
则，
根据全概率公式，
可知
.
故答案为：.
【分析】根据已知条件设出各个事件，再根据条件概率公式和全概率公式，从而得出从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率.
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间以及极值；
（2）求函数在上的最小值.
【答案】（1）解：函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值；
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)、求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间和极值即可；
(2)、由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，可得函数的最小值是，比较和的大小，求函数的最小值即可.
（1）函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值.
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为.
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
16．要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学：
（1）如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？
（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？
【答案】（1）解：要完成分配任务，可以分为三步：
第一步，分给甲3本书，有种方法；
第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，有种方法；
第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，有种方法，
因此，共有不同的分法数为.
（2）解：要完成分配任务，可分为两步：
第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有种方法；
第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法．
因此，共有不同的分法数为：
．
【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）利用已知条件和分步乘法计数原理，从而得出共有不同的分法种数.
（2）利用已知条件和分步乘法计数原理，从而得出共有不同的分法种数.
（1）解：要完成分配任务，可以分为三步：
第一步，分给甲3本书，有种方法；
第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有种方法；
第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有种方法．
因此共有不同的分法数为；
（2）要完成分配任务，可以分为两步：
第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有种方法；
第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法．
因此共有不同的分法数为．
17．已知函数.
（1）若1是的一个极大值点，求a的值；
（2）若的两个极值点均为正数，求a的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
依题意，有，
解得，
所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，
则.
（2）解：由题意，可得关于x的方程有两个不相等的正实数根，
设为，，
则
解得，
所以a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极大值点，再利用已知条件得出实数a的值.
（2）先根据导数求极值点的方法和已知条件，则根据韦达定理和判别式法，从而得出实数a的取值范围.
（1），依题意有，解得，
所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，
故.
（2）由题意可得关于x的方程有两个不相等的正实数根，设为，，
则
解得，所以a的取值范围是.
18．某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递．
（1）求客户满意的概率；
（2）若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？
【答案】（1）解：从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：.
所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：.
（2）解：设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件，则客户满意且是甲运送的概率为：，
客户满意且是乙运送的概率为：，
客户满意且是丙运送的概率为：.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件和互斥事件加法求概率公式，从而得出客户满意的概率.
（2）利用已知条件和条件概率公式，从而得出本次满意是甲、乙、丙的概率.
（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：；
从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：.
所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：.
（2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件，
则客户满意且是甲运送的概率为：，
客户满意且是乙运送的概率为：，
客户满意且是丙运送的概率为：.
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为的定义域为，且，
当时，在上恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：由，，
得，
令，
则，
令，则，
令，得，则，解得.
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减，
因此 在 处取得极小值，同时也是最小值，即
则 对 恒成立，所以，
同理可得，
令，
则
所以即在上单调递增，
则，
当时，即当时，，则在上单调递增，
所以，此时符合题意；
当时，即当时，，
设，则，
令，则，
所以即在上单调递增，
则，
所以在上单调递增，
则0，所以，
因为
，
由零点存在定理和在上单调递增，
可知存在唯一的，使得，
则当时，，所以在上单调递减，
则，此时不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先得出函数定义域，再利用分类讨论的方法和导数的正负判断函数单调性的方法，从而讨论出函数的单调性.
（2）由，，得，
令，令，利用导数的正负判断函数的单调性，由端点导数值分和讨论，结合不等式放缩与零点存在定理验证，最终确定的取值范围.
（1）的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得；令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由，，得．
令，则，
令，则.
令，得，即，解得.
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减.
因此 在 处取得极小值，同时也是最小值：.
故 对 恒成立，即，同理也可得.
令，
则，
所以，即在上单调递增，从而．
当，即时，，则在上单调递增，从而，
此时符合题意；
当，即时，．
设，则.
令，则，则即在上单调递增.
所以，从而在上单调递增.
所以0，故．
又，
由零点存在定理及在上单调递增可知存在唯一的，使得，所以当时，，则在上单调递减，从而，此时不符合题意．
综上，的取值范围为．
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