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广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期考前学情自测数学试卷
1．设集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．复数的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
3．已知实数x，y，则“”是“”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知实数满足方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（　　）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8
7．已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（　　）
A． B． C．7 D．21
8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．若，，则（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（　　）
A．开口向下的抛物线的焦点坐标为
B．曲线E上两点间距离的最大值为
C．点不在曲线E的内部
D．直线l的斜率为
11．正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ）
A．若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分
B．若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分
C．若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分
D．若，则点的轨迹长度为
12．展开式中项的系数为　 　.
13．已知函数，且，则　 　．
14．在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为　 　．
15．甲 乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立.
（1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.
（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；
（ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值.
（2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.
16．如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求线段的长（用表示）；
（3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
18．已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.
证明：①为定值；
②.
19．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程.
（2）若在恒成立，求的取值范围.
（3）当时，证明：对，有.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：C.
【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以复数的共轭复数为.故答案为：B
【分析】利用复数的除法运算，几何共轭的概念即可求解.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：易知函数在R上单调递增，
由，可得，则；
由，可得，即，
则“”是“”的充要条件．
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，可知，
两边平方整理可得，
该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如图所示：
设，则是通过定点的直线，
显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率，
当直线和圆相切于时，斜率最小，
由圆心到直线的距离是，解得，即，
则，即.
故答案为：A.
【分析】由题意求得x的范围，将两边平方，整理可得方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，作出图形，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合求解即可.
5．【答案】C
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，圆台的侧面积为，
母线长，圆台的高
所以，圆台上、下底面面积为
由圆台的体积计算公式，可得：
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合圆台的侧面积公式得出母线长，利用勾股定理得出圆台的高，再根据圆的面积公式和圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.
6．【答案】B
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设男生人数为，女生人数为，
且进球数的平均值和方差分别是和，其中男生进球数的平均值和方差分别是和，女生进球数的平均值和方差分别是和，
由平均数可得，即，解得，
由方差可得，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】设设男生人数为，女生人数为，根据分层抽样均值的计算公式可得，再利用分层抽样的方差公式求解．
7．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：向量，，
因为，且与夹角为，所以，
则，即.
故答案为：A.
【分析】根据向量模的坐标表示，结合向量数量积运算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，则，
即对于恒成立，
而函数和在上均为增函数，
则函数和在上有共同的零点，
即，则，即，
设，则，
令，得或，令，得，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，且，
则，即的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据题意得，进而得到，即，再设，利用导数求函数的值域即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
∵，则，∴.
对C，，C对；
对A，，，A对；
对B，，B错；
对D，，D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角和差与积的关系，可得、，进而可得，再逐项判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的简单性质；曲线与方程
【解析】【解答】解：已知开口向右的抛物线为，焦点为，
根据对称性可设开口向左的抛物线方程为，其焦点坐标为
开口向上的抛物线方程为，其焦点坐标为，
开口向下的抛物线方程为，其焦点坐标为，
由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得，
因此四条抛物线分别为：，，
对于选项A，开口向下的抛物线为，焦点坐标为，不是，A错误，
对于选项B，联立，可得，故点的坐标为，
同理可得，
距离最大的两个点为和（或和），
最大距离为： ，选项B正确，
对于选项C，曲线的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系且，
代入： ，，因此在曲线E内部，选项C错误，
对于选项D，设直线，，在最上方，在最下方，故，
由得：，即，
联立，可得，由韦达定理： ，
代入得：，，解得，
由得，斜率，选项D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据抛物线的定义即可判断A；求出交点的坐标即可判断B；根据曲线的定义即可判断C；设直线，，联立，利用韦达定理结合计算出，进而得到斜率即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】轨迹方程；椭圆的定义；抛物线的定义
【解析】【解答】解：A选项，由正四棱柱性质可知，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角也即，
由平面可得，所以，
即点到定点的距离为定值，故点的轨迹为圆的一部分，A错误；
B选项，类似地，因为，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角，
已知该角为定值，因为是定直线，所以形成的轨迹是一个以为轴，为顶点，半顶角为的圆锥面，
点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，因为平面，
所以圆锥面轴线与侧面的夹角即为，
故点的轨迹是椭圆的一部分，B正确；
C选项，因为，所以点到直线的距离就是点到点的距离，
所以在侧面内，点到定点的距离等于到定直线的距离
（点不在直线上），故点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
D选项，在中，根据勾股定理有，若，
则，解得，故点的轨迹是在侧面内，
以为圆心，半径为的圆弧，
因为，所以圆与和有交点，分别设为，过作，在中，，
，可得，故，
于是点的轨迹长度为，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，由题可知，进而得到，则点的轨迹为圆的一部分；对于B，根据题意可知点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，是椭圆的一部分；对于C，根据抛物线的定义即可判断；对于Ｄ，根据定义可知点的轨迹为圆的一部分，再求轨迹长即可.
12．【答案】42
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对，有，
则有.
故答案为：.
【分析】利用二项展开式的通项公式计算特定项的系数即可.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的性质；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，
则，所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：2028
【分析】利用函数的奇偶性求函数值即可.
14．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：整理得，
所以，所以，
因为，所以，
即，解得或（舍去），
因为，所以，
在锐角中，有，则，
所以，
因为，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，
所以
，
设，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据题意化简可得，再根据同角三角函数的关系及锐角三角形的限定可得，进而求得的范围，又，然后利用基本不等式计算最值即可.
15．【答案】（1）解：（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，
可得.
（ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，
所以，即.
，
令，得，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
（2）解：表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，
则①，
②，
联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）（i）利用独立事件乘法公式求概率即可；
（ii）由题可得，再配凑可得数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
（2）分设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，两种情况进行计算即可.
（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，
可得.
（ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，
所以，即.
，
令，得，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
（2）表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，
则①，
②，
联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为.
16．【答案】（1）证明：在矩形中，，点分别是的中点，
所以四边形和是全等的正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则 ， ， ，
因为，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
所以线段的长为 ；
（3）解：因为，
所以当时，线段最短，
此时分别为线段的中点， ， ，
则 ，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
由（1）知， 为平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质，先证明平面，得到，再结合即可证明；
(2) 以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量模长公式即可求解；
(3)利用（2）的结论确定、 的坐标，再利用空间向量法求面面夹角即可.
（1）证明：在矩形中，，点分别是的中点，
所以四边形和是全等的正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则 ， ， ，
因为，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
所以线段的长为 ；
（3）因为，
所以当时，线段最短，
此时分别为线段的中点， ， ，
则 ，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
由（1）知， 为平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）解：当时，，，解得，
当时，由，可得，
相减可得，对也成立，
由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，数列的通项公式为.
（2）解：，
则
两式相减可得：
，
整理可得，
若对任意的，恒成立，即为恒成立，
设，则，
当时，即时，所以当时，，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，，
当时，，所以，
所以的取值范围为.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）解决数列问题时，第一问通过 "通项与求和关系→递推关系→等比数列通项公式" 的流程求解；
（2）采用 "裂项相消求和→参数分离→数列单调性分析→恒成立条件求解" 的思路，这是数列通项与求和综合问题的典型解法由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求.
（1）当时，，，解得，
当时，由，可得，相减可得，对也成立，
由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以，数列的通项公式为.
（2），
则
两式相减可得：
，
整理可得，
若对任意的，恒成立，即为恒成立，
设，则，当时，即时，所以当时，，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，，
当时，，所以，
所以的取值范围为.
18．【答案】（1）解：设双曲线的方程为，
由及，可得，所以，
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）解：①由题可得，
因为，所以直线的方程为，
设，则，
所以，
，
所以，为定值.
②因为，由①得，
因为，所以，
又都是锐角，所以，
所以，所以.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，由可得，再根据离心率即可求解；
（2）①由题可知直线的方程为，设，则，再求出即可求解；②先证明，再利用几何关系证明即可.
（1）设双曲线的方程为，
由及，可得，所以，
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）①由题可得，
因为，所以直线的方程为，
设，则，
所以，
，
所以，为定值.
②因为，由①得，
因为，所以，
又都是锐角，所以，
所以，所以.
19．【答案】（1）解：当时，，而，
，由点斜式得切线方程：，
即.
（2）解：由题意化简得，
，，又，，
故 .
（3）证明：当时，原不等式等价于，即.
令，求导得，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以由，得，
只需证，即.
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，且在处取最小值；而在恒成立，
故，所以，
原不等式对所有成立.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）根据题意可得，进而可得；
（3）原不等式等价于，再利用导数可证，即证，令，再利用导数证明即可．
（1）当时，，而，
，由点斜式得切线方程：，
即.
（2）由题意化简得，
，，又，，
故 .
（3）当时，原不等式等价于，即.
令，求导得，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以由，得，
只需证，即.
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，且在处取最小值；而在恒成立，
故，所以，
原不等式对所有成立.
1 / 1广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期考前学情自测数学试卷
1．设集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：C.
【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.
2．复数的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以复数的共轭复数为.故答案为：B
【分析】利用复数的除法运算，几何共轭的概念即可求解.
3．已知实数x，y，则“”是“”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：易知函数在R上单调递增，
由，可得，则；
由，可得，即，
则“”是“”的充要条件．
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．已知实数满足方程，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，可知，
两边平方整理可得，
该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如图所示：
设，则是通过定点的直线，
显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率，
当直线和圆相切于时，斜率最小，
由圆心到直线的距离是，解得，即，
则，即.
故答案为：A.
【分析】由题意求得x的范围，将两边平方，整理可得方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，作出图形，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合求解即可.
5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，圆台的侧面积为，
母线长，圆台的高
所以，圆台上、下底面面积为
由圆台的体积计算公式，可得：
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合圆台的侧面积公式得出母线长，利用勾股定理得出圆台的高，再根据圆的面积公式和圆台的体积公式，从而得出该圆台的体积.
6．已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（　　）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8
【答案】B
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设男生人数为，女生人数为，
且进球数的平均值和方差分别是和，其中男生进球数的平均值和方差分别是和，女生进球数的平均值和方差分别是和，
由平均数可得，即，解得，
由方差可得，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】设设男生人数为，女生人数为，根据分层抽样均值的计算公式可得，再利用分层抽样的方差公式求解．
7．已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（　　）
A． B． C．7 D．21
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：向量，，
因为，且与夹角为，所以，
则，即.
故答案为：A.
【分析】根据向量模的坐标表示，结合向量数量积运算求解即可.
8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，则，
即对于恒成立，
而函数和在上均为增函数，
则函数和在上有共同的零点，
即，则，即，
设，则，
令，得或，令，得，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，且，
则，即的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据题意得，进而得到，即，再设，利用导数求函数的值域即可.
9．若，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
∵，则，∴.
对C，，C对；
对A，，，A对；
对B，，B错；
对D，，D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角和差与积的关系，可得、，进而可得，再逐项判断即可.
10．如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（　　）
A．开口向下的抛物线的焦点坐标为
B．曲线E上两点间距离的最大值为
C．点不在曲线E的内部
D．直线l的斜率为
【答案】B,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的简单性质；曲线与方程
【解析】【解答】解：已知开口向右的抛物线为，焦点为，
根据对称性可设开口向左的抛物线方程为，其焦点坐标为
开口向上的抛物线方程为，其焦点坐标为，
开口向下的抛物线方程为，其焦点坐标为，
由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得，
因此四条抛物线分别为：，，
对于选项A，开口向下的抛物线为，焦点坐标为，不是，A错误，
对于选项B，联立，可得，故点的坐标为，
同理可得，
距离最大的两个点为和（或和），
最大距离为： ，选项B正确，
对于选项C，曲线的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系且，
代入： ，，因此在曲线E内部，选项C错误，
对于选项D，设直线，，在最上方，在最下方，故，
由得：，即，
联立，可得，由韦达定理： ，
代入得：，，解得，
由得，斜率，选项D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据抛物线的定义即可判断A；求出交点的坐标即可判断B；根据曲线的定义即可判断C；设直线，，联立，利用韦达定理结合计算出，进而得到斜率即可判断D.
11．正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ）
A．若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分
B．若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分
C．若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分
D．若，则点的轨迹长度为
【答案】B,C,D
【知识点】轨迹方程；椭圆的定义；抛物线的定义
【解析】【解答】解：A选项，由正四棱柱性质可知，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角也即，
由平面可得，所以，
即点到定点的距离为定值，故点的轨迹为圆的一部分，A错误；
B选项，类似地，因为，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角，
已知该角为定值，因为是定直线，所以形成的轨迹是一个以为轴，为顶点，半顶角为的圆锥面，
点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，因为平面，
所以圆锥面轴线与侧面的夹角即为，
故点的轨迹是椭圆的一部分，B正确；
C选项，因为，所以点到直线的距离就是点到点的距离，
所以在侧面内，点到定点的距离等于到定直线的距离
（点不在直线上），故点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
D选项，在中，根据勾股定理有，若，
则，解得，故点的轨迹是在侧面内，
以为圆心，半径为的圆弧，
因为，所以圆与和有交点，分别设为，过作，在中，，
，可得，故，
于是点的轨迹长度为，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，由题可知，进而得到，则点的轨迹为圆的一部分；对于B，根据题意可知点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，是椭圆的一部分；对于C，根据抛物线的定义即可判断；对于Ｄ，根据定义可知点的轨迹为圆的一部分，再求轨迹长即可.
12．展开式中项的系数为　 　.
【答案】42
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对，有，
则有.
故答案为：.
【分析】利用二项展开式的通项公式计算特定项的系数即可.
13．已知函数，且，则　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的性质；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，
则，所以，
因为，
所以，
所以.
故答案为：2028
【分析】利用函数的奇偶性求函数值即可.
14．在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：整理得，
所以，所以，
因为，所以，
即，解得或（舍去），
因为，所以，
在锐角中，有，则，
所以，
因为，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，
所以
，
设，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据题意化简可得，再根据同角三角函数的关系及锐角三角形的限定可得，进而求得的范围，又，然后利用基本不等式计算最值即可.
15．甲 乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立.
（1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.
（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；
（ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值.
（2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.
【答案】（1）解：（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，
可得.
（ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，
所以，即.
，
令，得，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
（2）解：表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，
则①，
②，
联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；等比数列的实际应用
【解析】【分析】（1）（i）利用独立事件乘法公式求概率即可；
（ii）由题可得，再配凑可得数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
（2）分设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，两种情况进行计算即可.
（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，
可得.
（ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，
所以，即.
，
令，得，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
（2）表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，
则①，
②，
联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为.
16．如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求线段的长（用表示）；
（3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：在矩形中，，点分别是的中点，
所以四边形和是全等的正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则 ， ， ，
因为，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
所以线段的长为 ；
（3）解：因为，
所以当时，线段最短，
此时分别为线段的中点， ， ，
则 ，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
由（1）知， 为平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质，先证明平面，得到，再结合即可证明；
(2) 以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量模长公式即可求解；
(3)利用（2）的结论确定、 的坐标，再利用空间向量法求面面夹角即可.
（1）证明：在矩形中，，点分别是的中点，
所以四边形和是全等的正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则 ， ， ，
因为，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
所以线段的长为 ；
（3）因为，
所以当时，线段最短，
此时分别为线段的中点， ， ，
则 ，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
由（1）知， 为平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，解得，
当时，由，可得，
相减可得，对也成立，
由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，数列的通项公式为.
（2）解：，
则
两式相减可得：
，
整理可得，
若对任意的，恒成立，即为恒成立，
设，则，
当时，即时，所以当时，，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，，
当时，，所以，
所以的取值范围为.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）解决数列问题时，第一问通过 "通项与求和关系→递推关系→等比数列通项公式" 的流程求解；
（2）采用 "裂项相消求和→参数分离→数列单调性分析→恒成立条件求解" 的思路，这是数列通项与求和综合问题的典型解法由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求.
（1）当时，，，解得，
当时，由，可得，相减可得，对也成立，
由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以，数列的通项公式为.
（2），
则
两式相减可得：
，
整理可得，
若对任意的，恒成立，即为恒成立，
设，则，当时，即时，所以当时，，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，，
当时，，所以，
所以的取值范围为.
18．已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.
证明：①为定值；
②.
【答案】（1）解：设双曲线的方程为，
由及，可得，所以，
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）解：①由题可得，
因为，所以直线的方程为，
设，则，
所以，
，
所以，为定值.
②因为，由①得，
因为，所以，
又都是锐角，所以，
所以，所以.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，由可得，再根据离心率即可求解；
（2）①由题可知直线的方程为，设，则，再求出即可求解；②先证明，再利用几何关系证明即可.
（1）设双曲线的方程为，
由及，可得，所以，
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）①由题可得，
因为，所以直线的方程为，
设，则，
所以，
，
所以，为定值.
②因为，由①得，
因为，所以，
又都是锐角，所以，
所以，所以.
19．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程.
（2）若在恒成立，求的取值范围.
（3）当时，证明：对，有.
【答案】（1）解：当时，，而，
，由点斜式得切线方程：，
即.
（2）解：由题意化简得，
，，又，，
故 .
（3）证明：当时，原不等式等价于，即.
令，求导得，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以由，得，
只需证，即.
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，且在处取最小值；而在恒成立，
故，所以，
原不等式对所有成立.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）根据题意可得，进而可得；
（3）原不等式等价于，再利用导数可证，即证，令，再利用导数证明即可．
（1）当时，，而，
，由点斜式得切线方程：，
即.
（2）由题意化简得，
，，又，，
故 .
（3）当时，原不等式等价于，即.
令，求导得，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以由，得，
只需证，即.
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，且在处取最小值；而在恒成立，
故，所以，
原不等式对所有成立.
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