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四川凉山州某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
1．已知复数，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ）
A．81 B．64 C．27 D．24
4．设是可导函数，且，则（　　）
A．2 B． C．6 D．
5．已知函数，则（　　）
A． B．2 C． D．
6．一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影，核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（　　）
A．48种 B．72种 C．144种 D．216种
7．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．，则
C． D．
10．下列结论正确的是（　　）
A．为正整数且
B．满足方程的值可能为或
C．甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法
D．把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种
11．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（　　）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．点到平面的距离为
12．已知直线，若，则a的值为　 　．
13．如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有　 　种不同的着色方法.
14．若不等式恒成立，则的取值范围为　 　．
15．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，求的最大值与最小值．
16．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
17．一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球；
（1）从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率；
（2）从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率；
（3）从中任取5个球，其中红球个，白球个（，），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率．
18．已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．
19．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数.
因此的虚部为.
故答案为：A
【分析】根据复数的除法运算可得，再由复数虚部的概念求解.
2．【答案】D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据图像可知时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减。
综上，只有D选项符合.
故答案为：D
【分析】根据导函数的图象，得到导函数的符号，进而可得函数的单调性，结合单调性确定选项即可.
3．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法．
故答案为：A.
【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，即每封信都有3种选择，然后将各步的方法数相乘得到总方法数，即可得到答案。
4．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：根据导数的概念可得：，
，则.
故答案为：B.
【分析】根据导数的概念求解即可.
5．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】对求导得，，
令，得，解得.
故答案为：A.
【分析】先对f(x)进行求导，接着代入进行求解即可得到结果.
6．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法，
若两个家庭之间有1个空位的排法有；
若两个家庭之间有2个空位的排法有；
所以符合要求的排座方式一共有种.
故答案为：B
【分析】先对家庭成员进行全排，再分两个家庭之间有1个、2个空位讨论求解.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，，，
所以构造函数，
则；令，解得，
当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，又易知，
所以即
故答案为：C.
【分析】根据的特征可构造函数，利用导数研究函数单调性，即可比较它们的大小.
8．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，
数列是1为首项，2为公比的等比数列，则，即，
则，
，，
故不超过2025的项有10个.
故答案为：C.
【分析】由题意先求，确定的通项为，再根据等比数列的前项和公式求出，判断不超过2025的项的个数即可.
9．【答案】B,D
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据基本初等函数以及导数的运算法则逐项求解判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数的基本计算；组合数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A正确；
对于B，由，
得或，
解得或，故B正确；
对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，
共有排法，故C错误；
对于D，由隔板法，得共有种不同的分法，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用排列数公式和组合数性质，则判断出选项A和选项B；利用插空法和排列数公式，则判断出选项C；利用隔板法和组合数公式，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：对于A，，A正确；
对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
即异面直线与所成角的余弦值为，B正确；
对于C，由B知：，，
即，C错误；
对于D，由B知：，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
设点到平面的距离为，则，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，根据向量的线性运算可得；对于B，利用向量的夹角公式求夹角即可；对于C，根据向量模长公式求解；对于D，空间向量法求点到面的距离即可．
12．【答案】3
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：由题意直线，，，
得且，
即且
解得.
故答案为：3
【分析】根据两直线平行的判定即可求解.
13．【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：先给I地区涂色有6种，
再给Ⅱ地区涂色有5种，给Ⅲ地区涂色有4种，给Ⅳ地区涂色有4种，
根据分步乘法计数原理，可得不同的着色方法有：种.
故答案为：.
【分析】先给I地区，再给Ⅱ地区、Ⅲ地区以及Ⅳ地区涂色，根据分步乘法计数原理求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，则．
令，则．当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，即，
从而，当且仅当时，等号成立．
又，所以，则，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
且当时，．
故答案为：．
【分析】不等式可化为，令，利用导数可得，即，当且仅当时，等号成立，则，令，再利用导数求函数值域即可.
15．【答案】（1）解：因为．
令，得或，
当变化时，的变化情况如表所示．
2
0 0
单调递增 28 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）解：由（1）知当时，取得极小值．
因为
.
所以．

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；
（2）根据单调性确定函数最值即可.
（1）因为．
令，得或，
当变化时，的变化情况如表所示．
2
0 0
单调递增 28 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）知当时，取得极小值．
因为
.
所以．
16．【答案】（1）解：由，当时，，
则，即，
则，即，
因为数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，；
（2）解：由（1）知，所以，
，则，
，
即，
故.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中与的关系，结合等差数列的定义求数列的通项公式即可；
（2）由（1）知，利用错位相减法求解即可.
（1）由，当时，，
则，即，
所以，即，
由数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，．
（2）由（1）知，所以，
，则，
从而，
即，
所以.
17．【答案】（1）解：从中任取2个球，2个球中至少有1个红球的概率为.
（2）从中任取4个球，白球个数不比红球多的概率为，
（3）由题意可得，解得，
可能情况为：
红球2个，白球3个，此时概率为，
红球3个，白球2个，此时概率为，
红球4个，白球1个，此时概率为，
所以总分不少于7分的概率为.

【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）（2）利用组合数求概率即可；
（3）根据题意可知红球2个，白球3个；红球3个，白球2个；红球4个，白球1个共三种情况符合题意，再结合组合数求概率即可.
（1）从中任取2个球，2个球中至少有1个红球的概率为.
（2）从中任取4个球，白球个数不比红球多的概率为，
（3）由题意可得，解得，
可能情况为：
红球2个，白球3个，此时概率为，
红球3个，白球2个，此时概率为，
红球4个，白球1个，此时概率为，
所以总分不少于7分的概率为.
18．【答案】（1）解：由题意得，且，所以，
将代入椭圆方程得，结合，得，，
所以椭圆C的方程为；
（2）解：设直线l的方程为，A、B两点的坐标分别为，，
由消去，整理得，
由可得，且，，
，
点P到直线的距离为，
，
当且仅当，即时(满足)取得等号，
即面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，列方程求出即可求解；
（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再求出点P到直线的距离，表示出面积 ，然后利用基本不等式求出最大值及对应的直线方程.
（1）由题意得，且，所以，
将代入椭圆方程得，结合，得，，
所以椭圆C的方程为；
（2）设直线l的方程为，A、B两点的坐标分别为，，
由消去，整理得，
由可得，且，，
，
点P到直线的距离为，
，
当且仅当，即时(满足)取得等号，
即面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为．
19．【答案】（1）解：的定义域为，．
当时，在上单调递增；当时，由得，
由得，由得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：因为在上有两个零点，所以，
由得，令，则，
所以，时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
有极大值，也就是最大值为，
又无限趋近时，无限趋近于0，
所以在上有两个零点时，，
所以，即的取值范围是．
（3）证明：因为有两个极值点，
所以，有两个实数根，
所以可得，
设，将代入，得，
所以，
所以要证，只需证，即．
设，则．
令，则，可知在上为增函数．
又，所以时，在上为增函数．
所以，即成立，所以成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出复合函数的导数，根据的取值情况分类讨论，从而判断函数的单调性；
（2）通过分离参数，构造新函数并求解极值，即可得到正确答案；
（3）设，将目标式用表示，再利用导数判断单调性，即可完成证明.
（1）的定义域为，．
当时，在上单调递增；当时，由得，
由得，由得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为在上有两个零点，所以，
由得，令，则，
所以，时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
有极大值，也就是最大值为，
又无限趋近时，无限趋近于0，
所以在上有两个零点时，，
所以，即的取值范围是．
（3）因为有两个极值点，
所以，有两个实数根，
所以可得，
设，将代入，得，
所以，
所以要证，只需证，即．
设，则．
令，则，可知在上为增函数．
又，所以时，在上为增函数．
所以，即成立，所以成立．
1 / 1四川凉山州某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
1．已知复数，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数.
因此的虚部为.
故答案为：A
【分析】根据复数的除法运算可得，再由复数虚部的概念求解.
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据图像可知时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减。
综上，只有D选项符合.
故答案为：D
【分析】根据导函数的图象，得到导函数的符号，进而可得函数的单调性，结合单调性确定选项即可.
3．有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ）
A．81 B．64 C．27 D．24
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法．
故答案为：A.
【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，即每封信都有3种选择，然后将各步的方法数相乘得到总方法数，即可得到答案。
4．设是可导函数，且，则（　　）
A．2 B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：根据导数的概念可得：，
，则.
故答案为：B.
【分析】根据导数的概念求解即可.
5．已知函数，则（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】对求导得，，
令，得，解得.
故答案为：A.
【分析】先对f(x)进行求导，接着代入进行求解即可得到结果.
6．一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影，核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（　　）
A．48种 B．72种 C．144种 D．216种
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法，
若两个家庭之间有1个空位的排法有；
若两个家庭之间有2个空位的排法有；
所以符合要求的排座方式一共有种.
故答案为：B
【分析】先对家庭成员进行全排，再分两个家庭之间有1个、2个空位讨论求解.
7．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，，，
所以构造函数，
则；令，解得，
当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，又易知，
所以即
故答案为：C.
【分析】根据的特征可构造函数，利用导数研究函数单调性，即可比较它们的大小.
8．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，
数列是1为首项，2为公比的等比数列，则，即，
则，
，，
故不超过2025的项有10个.
故答案为：C.
【分析】由题意先求，确定的通项为，再根据等比数列的前项和公式求出，判断不超过2025的项的个数即可.
9．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．，则
C． D．
【答案】B,D
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据基本初等函数以及导数的运算法则逐项求解判断即可.
10．下列结论正确的是（　　）
A．为正整数且
B．满足方程的值可能为或
C．甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法
D．把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种
【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数的基本计算；组合数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A正确；
对于B，由，
得或，
解得或，故B正确；
对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，
共有排法，故C错误；
对于D，由隔板法，得共有种不同的分法，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用排列数公式和组合数性质，则判断出选项A和选项B；利用插空法和排列数公式，则判断出选项C；利用隔板法和组合数公式，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（　　）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．点到平面的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：对于A，，A正确；
对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
即异面直线与所成角的余弦值为，B正确；
对于C，由B知：，，
即，C错误；
对于D，由B知：，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
设点到平面的距离为，则，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，根据向量的线性运算可得；对于B，利用向量的夹角公式求夹角即可；对于C，根据向量模长公式求解；对于D，空间向量法求点到面的距离即可．
12．已知直线，若，则a的值为　 　．
【答案】3
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：由题意直线，，，
得且，
即且
解得.
故答案为：3
【分析】根据两直线平行的判定即可求解.
13．如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有　 　种不同的着色方法.
【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：先给I地区涂色有6种，
再给Ⅱ地区涂色有5种，给Ⅲ地区涂色有4种，给Ⅳ地区涂色有4种，
根据分步乘法计数原理，可得不同的着色方法有：种.
故答案为：.
【分析】先给I地区，再给Ⅱ地区、Ⅲ地区以及Ⅳ地区涂色，根据分步乘法计数原理求解即可.
14．若不等式恒成立，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，则．
令，则．当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，即，
从而，当且仅当时，等号成立．
又，所以，则，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
且当时，．
故答案为：．
【分析】不等式可化为，令，利用导数可得，即，当且仅当时，等号成立，则，令，再利用导数求函数值域即可.
15．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，求的最大值与最小值．
【答案】（1）解：因为．
令，得或，
当变化时，的变化情况如表所示．
2
0 0
单调递增 28 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）解：由（1）知当时，取得极小值．
因为
.
所以．

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；
（2）根据单调性确定函数最值即可.
（1）因为．
令，得或，
当变化时，的变化情况如表所示．
2
0 0
单调递增 28 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）知当时，取得极小值．
因为
.
所以．
16．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：由，当时，，
则，即，
则，即，
因为数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，；
（2）解：由（1）知，所以，
，则，
，
即，
故.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中与的关系，结合等差数列的定义求数列的通项公式即可；
（2）由（1）知，利用错位相减法求解即可.
（1）由，当时，，
则，即，
所以，即，
由数列为正项数列，所以，从而有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，．
（2）由（1）知，所以，
，则，
从而，
即，
所以.
17．一个盒子里装有大小和质地完全相同的4个红球、6个白球；
（1）从中任取2个球，求2个球中至少有1个红球的概率；
（2）从中任取4个球，求白球个数不比红球多的概率；
（3）从中任取5个球，其中红球个，白球个（，），若取一个红球记2分，取一个白球记1分，求使总分不少于7分的概率．
【答案】（1）解：从中任取2个球，2个球中至少有1个红球的概率为.
（2）从中任取4个球，白球个数不比红球多的概率为，
（3）由题意可得，解得，
可能情况为：
红球2个，白球3个，此时概率为，
红球3个，白球2个，此时概率为，
红球4个，白球1个，此时概率为，
所以总分不少于7分的概率为.

【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）（2）利用组合数求概率即可；
（3）根据题意可知红球2个，白球3个；红球3个，白球2个；红球4个，白球1个共三种情况符合题意，再结合组合数求概率即可.
（1）从中任取2个球，2个球中至少有1个红球的概率为.
（2）从中任取4个球，白球个数不比红球多的概率为，
（3）由题意可得，解得，
可能情况为：
红球2个，白球3个，此时概率为，
红球3个，白球2个，此时概率为，
红球4个，白球1个，此时概率为，
所以总分不少于7分的概率为.
18．已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【答案】（1）解：由题意得，且，所以，
将代入椭圆方程得，结合，得，，
所以椭圆C的方程为；
（2）解：设直线l的方程为，A、B两点的坐标分别为，，
由消去，整理得，
由可得，且，，
，
点P到直线的距离为，
，
当且仅当，即时(满足)取得等号，
即面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，列方程求出即可求解；
（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再求出点P到直线的距离，表示出面积 ，然后利用基本不等式求出最大值及对应的直线方程.
（1）由题意得，且，所以，
将代入椭圆方程得，结合，得，，
所以椭圆C的方程为；
（2）设直线l的方程为，A、B两点的坐标分别为，，
由消去，整理得，
由可得，且，，
，
点P到直线的距离为，
，
当且仅当，即时(满足)取得等号，
即面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为．
19．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，证明：．
【答案】（1）解：的定义域为，．
当时，在上单调递增；当时，由得，
由得，由得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：因为在上有两个零点，所以，
由得，令，则，
所以，时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
有极大值，也就是最大值为，
又无限趋近时，无限趋近于0，
所以在上有两个零点时，，
所以，即的取值范围是．
（3）证明：因为有两个极值点，
所以，有两个实数根，
所以可得，
设，将代入，得，
所以，
所以要证，只需证，即．
设，则．
令，则，可知在上为增函数．
又，所以时，在上为增函数．
所以，即成立，所以成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出复合函数的导数，根据的取值情况分类讨论，从而判断函数的单调性；
（2）通过分离参数，构造新函数并求解极值，即可得到正确答案；
（3）设，将目标式用表示，再利用导数判断单调性，即可完成证明.
（1）的定义域为，．
当时，在上单调递增；当时，由得，
由得，由得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为在上有两个零点，所以，
由得，令，则，
所以，时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
有极大值，也就是最大值为，
又无限趋近时，无限趋近于0，
所以在上有两个零点时，，
所以，即的取值范围是．
（3）因为有两个极值点，
所以，有两个实数根，
所以可得，
设，将代入，得，
所以，
所以要证，只需证，即．
设，则．
令，则，可知在上为增函数．
又，所以时，在上为增函数．
所以，即成立，所以成立．
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