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广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试高三数学试题
1． 复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．已知 为球 的半径， 为线段 上的点，且 ，过 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆 的面积为 ，则 （　　）
A． B．3 C． D．4
5．已知是第一象限角，且，则（　　）
A． B． C． D．
6．5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（　　）种不同的分配方法
A．24 B．48 C．96 D．12
7．已知分别是椭圆的左 右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（　　）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆
C．当时，方程表示椭圆
D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
10．互不相等的一组样本数据成等差数列，公差为，则下列选项中正确的是（　　）
A．的平均数等于的平均数
B．的上四分位数和下四分位数之差为
C．从这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为
D．若的标准差为2，可得
11．下列命题正确的是（　　）
A．若数列均为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列
C．若数列为等差数列，则数列为等比数列
D．存在非零实数使得数列为等比数列
12．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则　 　.
13．的展开式中的系数是　 　.（用数字作答）
14．若函数为偶函数，则正实数的值为　 　．
15．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望．
16．已知椭圆的右焦点为，且长轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长．
17．已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，．证明：．
18．已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为，若，，
（1）求；
（2）求数列的通项公式及其前项之和.
19．已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：故 复数在复平面内对应的点为，
则该点在第二象限.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查复数的四则运算及复数的几何意义，根据复数的四则运算可得：再结合复数的几何意义即可求解.
2．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式
【解析】【解答】解：，即，，解得，又因为集合，则.
故答案为：D
【分析】先解分式不等式，通过通分转化为一元二次不等式求出集合A，再应用交集定义计算求解出答案.
3．【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设，因为点到的距离为，
则，得到，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的定义 ：点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到抛物线的准线的距离 ，再结合已知条件，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示，由题得 .
设球的半径为 ，则 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】根据题意由球的几何意义，结合三角形中的几何计算关系即可得出半径与边之间的关系，由勾股定理计算出结果即可。
5．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为是第一象限角，且，所以，则，，所以.
故答案为：A.
【分析】通过同角三角函数基本关系以及角的范围求出余弦值，计算出正余弦二倍角公式，利用余弦两角差的公式代入数据即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有 种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有 种，
故共有
故答案为：C
【分析】根据排列组合和分类计数原理即可求得。
7．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：
因为，则，
因为，所以，解得，即椭圆的离心率为．
故答案为：A.
【分析】利用椭圆的定义用a表示长度、通过勾股定理建立a和c 的关系，结合离心率公式即可得解.
8．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
，，则.
故答案为：A.
【分析】以为基向量，根据向量的线性运算进行求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、若定点，满足，动点P满足 ，则动点P的轨迹为以，为端点的线段，A不符合题意；
B、若定点，满足，动点M满足 ，则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，B符合题意；
C、当 ，即时，方程表示圆，C不符合题意；
D、若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上，其中，，可得，所以焦点坐标为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】对于A项和B项几何椭圆的定义，一动点到两定点的距离之和为常数且大于这两点的距离，该动点轨迹为椭圆即可判断；C项结合椭圆的标准方程，需注意分析焦点再x轴和y轴；D项几何椭圆的性质即可求出焦点坐标.
10．【答案】A,C
【知识点】等差数列概念与表示；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、首先看，根据等差数列下标性质知道，A符合题意；
B、当时，这个数按从小到大排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为.
当时，这个数按从大到小排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为，B不符合题意；
C、从个数中选个数的组合数种.而；；；这组能构成等差数列，所以这个数成等差数列的概率为，C符合题意；
D、已知，因为，，，，代入可得，又已知，即，所以，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】A项利用平均数求解公式以及等差数列即可判断；B项上四分位数75%、下四分位数25%结合等差数列性质即可判断；C项利用古典概率求出概率；D项通过方差和标准差公式判断其正确性.
11．【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于，设数列的公差分别为，
则，为常数，故正确；
对于，均为等比数列且公比相等，当时，数列不是等比数列，
故错误；
对于，设等差数列的公差为，则为常数，
所以为等比数列，故正确；
对于，若数列为等比数列，则，
当时，；当时，不是常数，故错误.
故选：.
【分析】根据等差、等比数列的概念及特例判断法，可判断出选项A和选项B；根据等比数列的定义与性质，可判断选项C和选项D，从而找出命题正确的选项.
12．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：已知双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上，
所以椭圆可得，且，解得.
故答案为：.
【分析】先利用双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再利用椭圆的几何性质即可求解.
13．【答案】80
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：设二项展开式的通项公式为.由.所以.
故的系数为.
故答案为：80
【分析】利用二项式定理的通项公式，并根据系数要求求出r，再带入通项公式即可求出系数.
14．【答案】4
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由偶函数定义可知，对任意，均有成立，
因为正实数，整理得：该式对任意恒成立，故 ，解得.
故答案为：4
【分析】根据偶函数关系满足，分别表示出f（-x）以及f（x）再进行化简即可求出a值。
15．【答案】 解：（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”．
由已知，，，．设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4．
；；；
∴X的分布列为
X 1 2 3 4
P
∴．
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）（2）利用相互独立事件概率公式求解即可；
（3）通过讨论分析回答问题的个数求解相对应的概率，列出分布列，通过期望公式求解出期望.
16．【答案】（1）解：因为椭圆的长轴长为，即，则，
又因为椭圆的右焦点为，即，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由题意可得直线的方程为，
与椭圆方程联立得，得，
设，，
则，，
故.
所以线段的长为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）通过长轴长2a求出，根据焦点坐标得到，结合a，b，c的关系求出，求出椭圆的标准方程；
（2）通过倾斜角求出直线斜率再结合点坐标求出直线的方程为，与椭圆方程联立，通过弦长公式即可求解.
（1）因为椭圆的长轴长为，即，则，
又因为椭圆的右焦点为，即，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可得直线的方程为，
与椭圆方程联立得，得，
设，，
则，，
故.
所以线段的长为.
17．【答案】（1）解：由椭圆短轴长为，得，所以.
又的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，所以，即.
又，解得，.
所以椭圆的方程为.
（2）证明：设直线的方程为（当直线斜率不存在时，直线过点，不合题意）.
设，.
联立，整理得，
，
则，，
，
而，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据短轴长2b求出b值，再几何题目中的面积进行表示并结合a，b，c关系进行列方程求出，即可写出椭圆方程；
（2）设出直线方程，注意讨论斜率不存在的情况，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，表示AN以及BN的斜率代入式子进行化简即可.
（1）由椭圆短轴长为，得，所以.
又的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，所以，即.
又，解得，.
所以椭圆的方程为.
（2）略
18．【答案】（1）解：由，，成等比数列，故，即，
即，又，故，，
故等比数列的公比
（2）解：在等差数列中，，
在等比数列中，，
故，即，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）利用等比中项公式即可得到关系式，再结合等差数列的通项公式得到，进行表示a6和a1从而得出公比q；
（2）利用等差与等比数列的通项公式推得，进而利用分组求和法，需要借助等比数列的前n项和公式以及常数列求和公式即可得解.
（1）由，，成等比数列，故，即，
即，又，故，，
故等比数列的公比.
（2）在等差数列中，，
在等比数列中，，
故，即，
所以
.
19．【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素的个数问题；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
1 / 1广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期校二模考试高三数学试题
1． 复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：故 复数在复平面内对应的点为，
则该点在第二象限.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查复数的四则运算及复数的几何意义，根据复数的四则运算可得：再结合复数的几何意义即可求解.
2．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式
【解析】【解答】解：，即，，解得，又因为集合，则.
故答案为：D
【分析】先解分式不等式，通过通分转化为一元二次不等式求出集合A，再应用交集定义计算求解出答案.
3．已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设，因为点到的距离为，
则，得到，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的定义 ：点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到抛物线的准线的距离 ，再结合已知条件，即可求解.
4．已知 为球 的半径， 为线段 上的点，且 ，过 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆 的面积为 ，则 （　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示，由题得 .
设球的半径为 ，则 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】根据题意由球的几何意义，结合三角形中的几何计算关系即可得出半径与边之间的关系，由勾股定理计算出结果即可。
5．已知是第一象限角，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为是第一象限角，且，所以，则，，所以.
故答案为：A.
【分析】通过同角三角函数基本关系以及角的范围求出余弦值，计算出正余弦二倍角公式，利用余弦两角差的公式代入数据即可求出答案.
6．5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（　　）种不同的分配方法
A．24 B．48 C．96 D．12
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有 种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有 种，
故共有
故答案为：C
【分析】根据排列组合和分类计数原理即可求得。
7．已知分别是椭圆的左 右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：
因为，则，
因为，所以，解得，即椭圆的离心率为．
故答案为：A.
【分析】利用椭圆的定义用a表示长度、通过勾股定理建立a和c 的关系，结合离心率公式即可得解.
8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
，，则.
故答案为：A.
【分析】以为基向量，根据向量的线性运算进行求解即可.
9．下列说法正确的是（　　）
A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆
C．当时，方程表示椭圆
D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：A、若定点，满足，动点P满足 ，则动点P的轨迹为以，为端点的线段，A不符合题意；
B、若定点，满足，动点M满足 ，则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，B符合题意；
C、当 ，即时，方程表示圆，C不符合题意；
D、若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上，其中，，可得，所以焦点坐标为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】对于A项和B项几何椭圆的定义，一动点到两定点的距离之和为常数且大于这两点的距离，该动点轨迹为椭圆即可判断；C项结合椭圆的标准方程，需注意分析焦点再x轴和y轴；D项几何椭圆的性质即可求出焦点坐标.
10．互不相等的一组样本数据成等差数列，公差为，则下列选项中正确的是（　　）
A．的平均数等于的平均数
B．的上四分位数和下四分位数之差为
C．从这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为
D．若的标准差为2，可得
【答案】A,C
【知识点】等差数列概念与表示；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、首先看，根据等差数列下标性质知道，A符合题意；
B、当时，这个数按从小到大排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为.
当时，这个数按从大到小排列，上四分位数是，下四分位数是，此时上四分位数和下四分位数之差为，B不符合题意；
C、从个数中选个数的组合数种.而；；；这组能构成等差数列，所以这个数成等差数列的概率为，C符合题意；
D、已知，因为，，，，代入可得，又已知，即，所以，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】A项利用平均数求解公式以及等差数列即可判断；B项上四分位数75%、下四分位数25%结合等差数列性质即可判断；C项利用古典概率求出概率；D项通过方差和标准差公式判断其正确性.
11．下列命题正确的是（　　）
A．若数列均为等差数列，则数列为等差数列
B．若数列是公比相同的等比数列，则数列为等比数列
C．若数列为等差数列，则数列为等比数列
D．存在非零实数使得数列为等比数列
【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于，设数列的公差分别为，
则，为常数，故正确；
对于，均为等比数列且公比相等，当时，数列不是等比数列，
故错误；
对于，设等差数列的公差为，则为常数，
所以为等比数列，故正确；
对于，若数列为等比数列，则，
当时，；当时，不是常数，故错误.
故选：.
【分析】根据等差、等比数列的概念及特例判断法，可判断出选项A和选项B；根据等比数列的定义与性质，可判断选项C和选项D，从而找出命题正确的选项.
12．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：已知双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上，
所以椭圆可得，且，解得.
故答案为：.
【分析】先利用双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再利用椭圆的几何性质即可求解.
13．的展开式中的系数是　 　.（用数字作答）
【答案】80
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：设二项展开式的通项公式为.由.所以.
故的系数为.
故答案为：80
【分析】利用二项式定理的通项公式，并根据系数要求求出r，再带入通项公式即可求出系数.
14．若函数为偶函数，则正实数的值为　 　．
【答案】4
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由偶函数定义可知，对任意，均有成立，
因为正实数，整理得：该式对任意恒成立，故 ，解得.
故答案为：4
【分析】根据偶函数关系满足，分别表示出f（-x）以及f（x）再进行化简即可求出a值。
15．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望．
【答案】 解：（Ⅰ）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题”．
由已知，，，．设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4．
；；；
∴X的分布列为
X 1 2 3 4
P
∴．
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）（2）利用相互独立事件概率公式求解即可；
（3）通过讨论分析回答问题的个数求解相对应的概率，列出分布列，通过期望公式求解出期望.
16．已知椭圆的右焦点为，且长轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长．
【答案】（1）解：因为椭圆的长轴长为，即，则，
又因为椭圆的右焦点为，即，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由题意可得直线的方程为，
与椭圆方程联立得，得，
设，，
则，，
故.
所以线段的长为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）通过长轴长2a求出，根据焦点坐标得到，结合a，b，c的关系求出，求出椭圆的标准方程；
（2）通过倾斜角求出直线斜率再结合点坐标求出直线的方程为，与椭圆方程联立，通过弦长公式即可求解.
（1）因为椭圆的长轴长为，即，则，
又因为椭圆的右焦点为，即，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可得直线的方程为，
与椭圆方程联立得，得，
设，，
则，，
故.
所以线段的长为.
17．已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，．证明：．
【答案】（1）解：由椭圆短轴长为，得，所以.
又的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，所以，即.
又，解得，.
所以椭圆的方程为.
（2）证明：设直线的方程为（当直线斜率不存在时，直线过点，不合题意）.
设，.
联立，整理得，
，
则，，
，
而，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据短轴长2b求出b值，再几何题目中的面积进行表示并结合a，b，c关系进行列方程求出，即可写出椭圆方程；
（2）设出直线方程，注意讨论斜率不存在的情况，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，表示AN以及BN的斜率代入式子进行化简即可.
（1）由椭圆短轴长为，得，所以.
又的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，所以，即.
又，解得，.
所以椭圆的方程为.
（2）略
18．已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为，若，，
（1）求；
（2）求数列的通项公式及其前项之和.
【答案】（1）解：由，，成等比数列，故，即，
即，又，故，，
故等比数列的公比
（2）解：在等差数列中，，
在等比数列中，，
故，即，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）利用等比中项公式即可得到关系式，再结合等差数列的通项公式得到，进行表示a6和a1从而得出公比q；
（2）利用等差与等比数列的通项公式推得，进而利用分组求和法，需要借助等比数列的前n项和公式以及常数列求和公式即可得解.
（1）由，，成等比数列，故，即，
即，又，故，，
故等比数列的公比.
（2）在等差数列中，，
在等比数列中，，
故，即，
所以
.
19．已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
【答案】（1）证明：设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 ，
由 知：
即 ，即 ，
因为 ，故 ，解得
故集合 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素的个数问题；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
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